一包a4纸多少张

一张A4纸最大能包立体图形最大体积的建模分析

一、问题重述。

现有一张A4纸，用它纸包住一个闭合的空间，不一定要求把纸边重叠起来，

现用它来包装正方体、长方体、球体、圆锥体等，求包装上述形体的东西时所包

装物体体积最大值。

建模要求：

（1）包装的方法要有图例说明

（2）至少给出两种以上形体的包装方法，并说明理由。

二、模型的假设。

1、假设这张纸没有厚度，可以随意折叠。

2、假设这张纸不能拉大，也不许剪破。

3、假设建模的模型能够完全覆盖被装的物体。

三、符号假设。

a代表长方体的宽。

b代表长方体的高。

c代表长方体一半的宽。

d代表长方体的长。

v代表物体的体积。

r为圆的半径。

h为圆锥的高。

l为圆锥的母线长

四、模型的建立和求解。

模型一：长方体

A4纸大小为为21cm×29.7cm.要使得被包住图形的体积最大，则要使得重叠的面

积最小，首先我们可以考虑将其直接包起来的情况。

22218.74

22

229.7214

2

abcdc

acac

dbc

b





























232

214

(8.74)2

2

(8.74)(214)1649.2182.7

c

vabdcc

cccccc







,2

,

max

v4898.4182.7=0

v=3.228

v=566.86

cc令

求得还有一解舍去。

可以求出

a

b

c

d

求

得：

3cm

接着我们从无盖的长方体体积最大，想到无盖的两个长方体拼起来就是一个有盖

的长方体了，进行第二次包装。

32

,2

max

+2=21=21-2

b7.25

+2=14.5=14.5-2

v=2=(21-2b)(14.5-2b)2b

=8b-142b-609b

v=24b-284b-609=0b=2.8584

v=2abc=797.97

cbcb

abab

abc













其中

令

模型二：正方体。

首先受长方体的影响，正方体就是特殊的长方体，如下图所示：

33

max

a==2

2=7.25

4=21

=(2b)=381.07

cb

bcm

b

vcm









令

a

c

b

a

b

c

3cm

但是后来我们发现沿着对角线进行包装，通过

CAD工程制图，进行模拟包装微调，发现边

长最大为7.45cm,此时被包装的正方体面积最大

3

max

=413.49vcm

。

模型三：球体

1.若已A4纸的宽作为半球平面的周长，则有：

3

max

3

max

2=21

=156.38

4

=

3

r

vcm

vr

















r=3.34cm

因为

2r

<29.7cm，所以此时只要适当调整球的位置，可以进行无间隙的包装。

2.若已A4纸的长作为半球平面的周长，则有：

3

max

3

max

2=29.7

=4.73=442.4

4

=

3

r

rcmvcm

vr

















半球面周长大于21cm，故不能完成包装！

3.沿对角线进行包装。

模型四：圆锥体。

圆锥的体积为

2

11

==

33

vshrh

，体积与

2r

和h有关，而r对体积的影响更加的大，所以

我们要尽量使得h和r大，易求得r=5.25cm,,母线长l=21cm.，h=20.33cm.

模型五：圆柱体

符号约定：与水平方向夹角θ

圆柱的底面半径r

圆柱的高h

圆柱的体积V

图1图2

23

11

===586.79

33

vshrhcm

A4纸的长宽比为297/210，在纸上画出一条经过对角线中点且与垂直方向夹角为θ的直

线其a，中θ满足：

297

tan1.4143

210



arctan50.90

再以对角线为对称轴，画出与之对应的另一条线b，两条线均经过对角线中点，效果如

图1。做圆柱展开图时选择直线b做圆柱侧面的展开方向，直线b的角度可以保证底面圆同

时与侧面展开矩形和A4纸两边相切。

在autoCAD软件中画出图1样式，以直线b为对象，同时向两侧偏移，在逼近过程中当

偏移距离为4.65cm时，底面圆满足同时与A4纸两边以及圆柱侧面展开矩形相切，此时算得

底面圆半径为r=4.491cm，高h=9.3cm效果如图2。

用此方法得出最大圆柱体体积22589.20Vrhcm