课型有哪些

数学课的基本课型

一、关于数学基本课型

（一）数学概念课

概念具有确定研究对象和任务的作用。数学概

念是导出全部数学定理、法则的逻辑基础，数

学概念是相互联系、由简到繁形成学科体系。

数学概念不但是建立理论系统的中心环节，同

时也是提升解决问题的前提。所以，概念教学

是数学基础知识和基本技能教学的核心。它是

以“事实学习”为中心内容的课型。

我们认为，通过概念教学，力求让学生明了以

下几点：

第一，这个概念讨论的对象是什么？有何背

景？其来龙去脉如何？学习这个概念有什么意

义？它们与过去学过的概念有什么联系？

第二，概念中有哪些补充规定或限制条件？这

些规定和限制条件的确切含义又是什么？

第三，概念的名称、实行表述时的术语有什么

特点？与日常生活用语比较，与其他概念、术

语比较，有没有容易混淆的地方？理应如何强

调这些区别？

第四，这个概念有没有重要的等价说法？为什

么等价？应用时应如何处理这个等价转换？

第五，根据概念中的条件和规定，能够归纳出

哪些基本的性质？这些性质又分别由概念中的

哪些因素（或条件）所决定？它们在应用中起

什么作用？能否派生出一些数学思想方法？

因为数学概念是抽象的，所以在教学时要研究

引入概念的途径和方法。一定要坚持从学生的

理解水平出发，通过一定数量日常生活或生产

实际的感性材料来引入，力求做到从感知到理

解。还要注意在引用实例时一定要抓住概念的

本质特征，着力揭示概念的本质属性。

人类的理解活动是一个特殊的心理过程，智力

不同的学生完成这个过程往往有明显的差异。

在教学时要从面向全体学生出发，从不同的角

度，设计不同的方式，使学生对概念作辩证的

分析，进而理解概念的本质属性。例如选择一

些简单的巩固练习来辨认、识别，协助学生掌

握概念的外延和内涵；通过变式或变式图形，

深化对概念的理解；通过新旧概念的对比，分

析概念的矛盾运动。抓住概念之间的联系与区

别来形成准确的概念。有些存有种属关系的概

念，常分散在各单元出现，在教学实行到一定

阶段，应适时归类整理，形成系统和网络，以

求巩固、深化、发展和使用。

（二）数学命题课

表达数学判断的陈述句或用数学符号联结数和

表示数的句子的关系统称为数学命题。定义、

公理、定理、推论、公式都是符合客观实际的

真命题。数学命题的教学是获得新知的必由之

路，也是提升数学素养的基础。所以，它是数

学课的又一重要基本课型。通过命题教学，使

学生学会判断命题的真伪，学会推理论证的方

法，从中加深学生对数学思想方法的理解和使

用。培养数学语言水平、逻辑思维水平、空间

想象水平和运算水平，培养数学思维的特有品

质。

在实行命题教学时，首先要重视指导学生区分

命题的条件与结论。其次要引导学生探索由条

件到结论转化的证明思路。因为数学证明常会

用证明一个等效的命题来代替原命题的真实

性，因而还要注意引导学生在证明过程中如何

实行命题的转换，一定要展示完整的思维过程，

并要注意命题转换时的等价性。特别通过一个

阶段的教学后，要即时归纳和小结证明的手段

和方法。使学生掌握演绎法的原理和步骤，逐

步掌握综合法、分析法、反证法等证明方法（高

中还有数学归纳法）。

命题课教学还要注意：

第一，对基本问题，要详细讲解，认真作图，

教学语言要准确，论证要严格，书写要规范，

便于学生模仿。在引导探索时，要允许学生有

一个适合和准备的过程，对练习及作业中出现

的共同性问题应即时在课堂集体纠正。

第二，要着重介绍命题证明的思路，想想条件

与结论有无必然联系和依赖性。通常宜采用“分

析与综合相结合”的方法，即假定结论成立，看

其应具备什么充分条件或从已知条件出发，看

其能推出什么结果。即前后结合实行分析。此

外，还可考虑是否需要添加辅助元素（线、角、

元等），把欲证的问题作分解、组合或其他转换。

第三，在命题教学中，不宜把思维过程嚼得过

碎，更不能采用灌输式教学方法。例如，不要

总是由教师给学生实行化难为易的讲解，也不

要步步提示或做铺垫，应积极引导学生养成知

难而进，经历化难为易的思维过程的训练，实

行学习的有效迁移。使学生养成独立思考、勤

奋、目标明确、坚持不懈等良好的个性品质，

既尝试和体会成功的喜悦，又能提升进一步学

习的兴趣。

第四，在命题教学中，对学有余力的学生要适

时适度地对他们做专题研究的训练，揭示知识

间的内在联系，让他们获得超出原有知识框架

的认知水平，有助他们思维的发展和创新，把

命题研究和所学知识重新组织，建构新的认知

结构。

（三）数学解题课

中学数学教学中，解题教学相当重要。因为中

学数学解题方法是数学方法论研究的重要组成

部分。数学习题具有教学功能、思想教育功能、

发展功能和反馈功能。但我们又不能把解题教

学用来代替全部的数学教学内容。

数学习题可使学生加深对基本概念的理解，从

而使概念完整化、具体化，牢固掌握所学知识

系统，逐步形成完善合理的认知结构。通过解

题教学，达到知识的应用，有利于启发学生学

习的积极性。它是采用一段原理去解释具体的

同类事物，由抽象到具体的过程。此外，解答

习题也是一种独立的创造性的活动。习题所提

供的问题情境，需要探索思维和整体思维，也

需要发散思维和收敛思维。因而可培养人的观

察、归纳、类比、直觉、抽象以及寻找论证方

法，准确地、简要地表述以及判断、决策等一

系列技能和水平，给学生以施展才华、发展智

慧的机会。所以，数学解题课是中学数学课又

一重要的基本课型。

中学的数学习题按题目条件、解法与解题根据

三个要素来分，一般可分为标准性题（三个要

素都知道的）、训练性题（三个要素中有一个是

不知道的）、探索性题（三个要素中有两个是不

知道的）。实行解题教学时，同样要根据需要和

学生的实际情况确定教学目标，对教科书的例

题、练习、习题重新组构。所以，准确和合理

选择、配置例题、练习和习题，以及选择适当

的方法去组织习题教学是优化的关键。因为只

要对某一道习题的条件作一些变动不大的处理

或者改变向学生提出这道题的时间、发问角度，

都可能从本质上改变该题的教学意义。

为了使解题教学课达到优化，要切实把握好以

下几个程序：

第一，审题。即要求学生对题目的条件和结论

有一个全面的理解，要协助学生掌握题目的数

形特征。有些问题往往需要对条件或所求结论

实行转换，使之化为较简单易解或具有典型解

法的问题。如果题中给出的条件不明显，即具

有隐含条件，就要引导学生去发现。通过认真

审题，能够为探索解法指明方向。

第二，探索。数学问题中已知条件和要解决的

问题之间有内在的逻辑联系和必然的因果关

系。在审题之后，应让学生学会探索。即引导

学生分析解题思路，寻找解题途径，逐渐发现

和形成一些解题规律。尤其要让学生仔细分析

题目的目标是什么？因为题目的目标就是寻求

解答的主要方向，要掌握解题的思维方向，想

方设法将所给的题目同自己会解的某一类相近

题目联系起来，选择解题策略：试试能否换一

种方式叙述题目的条件或简化题目的条件或者

将该题相关的概念用它的等价定义来代替；将

条件分解成几个部分，再将这几部分构成一个

新的组合，将所有的局部结果同题目的条件和

结论作比较，检查自己的解题意图是否合理；

能否把问题分解成一串辅助问题，以便依次解

答这些辅助问题就能够综合所给题目的解答；

研究题的特殊化情况或者某些部分的极端情

况，是否会对题目有影响。即试图由一般退化

为特殊或从特殊推广到一般。每个习题遵循上

述思考方向总能够通过探索实验得到解决。当

然要注意限制实验的次数，并防止在解题开始

阶段便误入歧途。

在探索阶段，有时学生尚不会独自分析，需要

教师的辅导。但切勿匆匆忙把教师想好的解题

思路和盘托出或把拟好的解法过程在黑板上书

写一番，更不能让学生死记硬背解法步骤，以

记忆代替思考。而应分析关键环节，以激活学

生思维的停滞状态。一定要让学生明白怎样解

题，为什么这样解？为什么想到这样解？以促

动学生的思维活动进一步发展。

第三，表述。如何表述解题过程？一定要合乎

逻辑顺序、层次分明、严谨规范，简洁明了。

教师对教学进程的每个阶段的解题要求应通过

板书示范。先让学生模仿，然后养成习惯，逐

步做到数学语言、符号准确，说理清楚明白，

书写整洁有序。表述是交流的重要方面，一定

要抓好。

第四，回顾。在解题以后，回过头来对解题活

动加以反思、探讨、分析与研究是非常重要的

环节。因为对解题过程的回顾和审视会对题目

有更全面、更深刻的理解，既能够检验解题结

果是否准确、全面，推理过程是否无误、简捷，

还能够揭示数学题目之间规律性的联系，发挥

例题、习题的“迁移”功能，收到“解一题会一片”

的效果。有时还会得到更完美的解答方案。

要做好解题教学的上述四个环节，特别要注意：

（1）突出思维过程，在例题的配置上，以探索

性问题为主；在解题环节上，突出解题思路的

探索过程；在思维层次上，随着学生年龄的递

增，注意问题的概略解决，给猜想、类比、归

纳的推理以应有的地位。

（2）学生是学习的主体，在解题教学中要充分

发挥学生参与活动的主动性。在课堂上，要给

学生充分的思维活动空间，尽可能多地靠学生

自己发现解题思路和动手作答。

（3）要让学生实行独立、限时的练习训练。以

期学生能精力集中，提升练习的速度和有效性。

（四）数学复习课

在数学教学中经常要实行复习，它的作用是巩

固基础知识、加深对知识、方法及应用的理解。

协助学生形成良好的认知结构。同时还能够协

助学生对阶段学习查漏补缺，巩固提升。所以，

复习课也是数学科的一种基本课型。

复习课分两种：一种是经常性的复习，一种是

阶段性的复习（含学段总复习）。前者又包括新

知识教学前的复习，新知识教学中的复习和新

知识教学后的复习。教师可根据这三种复习的

目的、作用来设计好内容和问题，为新课的运

作铺平道路，并把旧知识纳入新知识的体系中，

以及明确新知识在解决问题中的作用。后者是

一个教学单元或一章结束或期中、期末以及学

段总复习。通常数学复习课是指这种课型。它

的作用是：系统归纳整理阶段所学的知识、方

法以及梳理知识方法所反映的数学思想，沟通

知识、方法间的联系，形成所学数学内容的整

体结构，再通过解决一些综合或应用问题，训

练技能，进而达到提升水平。我们认为复习课

对调整教与学，特别对增强知识、方法的理解，

提升学生分析问题和解决问题的水平，培养创

新意识和应用水平很有脾益。

（五）测验讲评课

数学测验（或称考试）是对学生数学学习阶段

结果是否达到预期教学目标的一种评价方法。

在测验之后，需要把评价的结果反馈给学生，

这就需要有测验讲评课。上好讲评课的关键在

于“评”字，而且要把它作为对教学过程的一种调

控手段。切不可把测验题的解法由教师逐一讲

解，让学生对一对准确的答案，而是要根据这

个阶段的教学目标做出评估。对学生的成功，

特别是有创新的解答，应给以展示，以利鼓励

和强化；对普遍存有的失误和不足，可通过课

堂讨论或由教师作重点的评析，以利纠正。对

于学有余力的学生还可增加写出学习心得或对

试题作变式研究的要求。并且在总的评析后再

布置一些相对应的练习题作巩固或拓宽，使学

生得到更大的收获。

二、关于教学模式

随着教学设计与实施活动的深入展开，在对数

学课型的研究，掌握其优化特征，改进课堂教

学的基础上，我们提出要学习和研究数学教学

模式。关于教学模式概念有多种界定，但结合

当前数学教学的实际，我们比较赞同教学模式

是教学理论与教学实践活动的中介，是依据一

定的教育思想和教学规律而形成的在教学过程

中比较稳固的教学程序及其方法的策略体系。

长期以来数学教师形成的教学模式有如下三

种：

（1）讲练模式：教师根据自己确定的教学目标，

拟定教学内容，在课堂教学中，教师首先讲解

新知识，然后配以几个例题说明，再让学生在

教师的指导下实行练习，边练习，边小结，再

作变式练习，以求巩固，达到让学生理解和掌

握教师本节课所讲的知识和方法的目的。最后

布置课外练习，使学生记忆和保持。

（2）探练模式：教师在复习前面学过的知识和

方法后，在课堂上提出一些变式练习或应用问

题，让学生思考、回答，它偏重引导学生探究

解决问题的思路和表述过程。在探索过程中，

教师往往设置一些小问题，实行点拨，让学生

思考，边练习、边回答（或板演），求解的问题

一般不会太难，通过学生思考，议论，或学生

互相补充后一般都能使问题得到完整的解决。

（3）自练模式：教师首先提出要求（或给出一

组问题），让学生自行阅读教材（或练习一个题

组），在阅读或联系过程中，教师适当巡堂辅导

或提示。课堂教学以学生的阅读、练习为主，

通过理解、记忆和模仿，教师布置的问题，学

生大都能得出准确解答。再经教师小结，学生

从而获得新知识或掌握一类常规问题的解决方

法。

这三种教学模式的教学过程不尽相同，但其特

征都着眼于“练”，通过解答一批基础题，以及有

一定难度的变式题训练基本运算方法、运算技

能，训练逻辑推理方法和培养解决常规问题的

技能和水平。这种习得方式是通过“练”来学习数

学。这对学生打好基础，掌握解决常规题的水

平，无疑是一种有效的方法。但因为立足于“练”，

往往需要花较多时间去完成一定数量的题目，

学生才能顿悟。也会因教师对题目不讲究“筛选”

和组构不科学，而造成学生负担过重，或者可

能做了一些“无用功”。同时，大量模仿性的练习

会产生思维定势，必然使数学教学缺乏创新精

神。培养出来的学生求异思维薄弱，创造性差，

对非常规的新颖的问题、较深水准的综合性问

题、千变万化的联系实际的应用问题的解决水

平明显不足。尤其对优秀学生，过多的重复性

练习不但耗费时光，又不易施展才华，而且容

易造成厌倦，对他们的成长是很不利的。正如

1997年度诺贝尔物理学奖得朱棣文教授一针见

血地指出：“中国学生很刻苦，书本知识成绩很

好，但动手水平差，创新精神不足。”上述几

种教学模式的弊端可见一斑。

近几年，从中央到地方的领导、教育行政部门

都提出全面推动素质教育。育人为本的教育理

念逐渐深入人心。华东师大叶澜教授指出：“必

须用更高层次——生命的层次，动态生成的观

点，重新全面地理解课堂教学，构建新的课堂

教育观，让课堂焕发生命的活力。”所以，我们

应该用生命价值的观点重新审视原有的教学模

式，使之更合理、更科学。第三次全教会明确

提出启发式和讨论式的教学方法也为我们的教

法改革指明了方向。另外，随着科技的进步，

现代高新技术越来越表现为一种教学技术，以

快速、多变、准确为特征的计算机为数学教学

提供了丰富的资源，成为辅助数学教学的有力

手段，是建构以学生发展为本，全面落实素质

教育的新的教学模式的重要前提条件。

我们认为教学模式的变革能够说是一种“范式

革命”，它只有在每天都与学生打交道的教师行

动起来，以行动研究的方法，结合学习相关理

论，互相交流，发挥群体优势才能建立适合当

代高科技社会与信息时代发展的要求，体现学

生“自主探索”、“动手操作”、“合作交流”、“创

新思考”，培养具备创新意识与可持续发展水平

的未来人才的数学教学模式。