对角线法则

题目（中文）：浅谈行列式的计算方法

（外文）：TheCalculationMethoud

OfDeterminant

学科部：理工学科部

专业：数学与应用数学

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目录

摘要1

1.引言1

2.常见行列式的计算方法1

2.1二阶行列式的计算方法2

2.2三阶行列式的计算方法3

2.3N阶行列式计算方法4

3.行列式的定义及性质5

3.1行列式的定义5

3.2行列式的性质6

4.行列式的计算方法7

4.1化三角形法7

4.2递推公式法8

4.3降阶法8

4.4范德蒙行列式9

4.5数学归纳法10

4.6加边法10

4.7拆项法11

4.8析因子法12

5.结束语13

参考文献14

浅谈行列式的计算方法

摘要：行列式是高等代数研究过程中的一个重要的数学工具，它已被广泛应用

于科学研究，工程技术和经济等活动中,懂得如何去计算行列式也十分重要。本

文主要是从行列式的定义及其性质出发，通过一些典型的例题总结出了行列式

的8种计算方法。再根据不同类型行列式的特点给出了几种常见行列式相应的

计算方法，这样归纳总结，具有一定的理论意义及应用价值。

关键词：行列式；化三角形法；范德蒙行列式；递推法；

1.引言

行列式可以说是数学当中的一个函数：他定义了一个行列式矩阵A，取一个标

量值并写出det(A)或。不管它涉及线性代数，多项式理论还是微积分（例如在

元积分方法中），决定因素作为基本的数学工具都具有非常重要的应用。决定

因素可以被视为定向领域的一个概念。在学习过程中常常会遇到有关特殊行列

式的计算题目，如果不能掌握正确的计算方式和思维方式，解题的时候会遇到

困难。这不是学习线性方程的基本工具，但它可以说是讨论向量的矩阵和二次

形式的重要工具之一，并已经被广泛应用于科学技术等领域中。因此，行列式

显然起着重要的作用，但行列式决定因素的解决方案无法取代它。本文将总结

和归纳出了计算行列式的各种各样的方法。通过讨论这些规则，我们将深入理

解与数学相关的更多的知识点。并非所有的解决方案都必须包含在这些方法中。

根据知识的发展，可能会有更好的解决决定性问题的新方法。

2.常见行列式的计算方法

行列式的思想最初是用方程的解决方法开发的。确定性提案可以追溯到17世纪。

第一个原型是由日本数学家管晓鹤和德国数学家戈特弗里德·博斯特奈特斯绘

制的。它是大学数学学习的一个重要内容，是求解线性方程组，求逆矩阵及求

矩阵特征值的基础。而它的应用并不止局限于代数的范围，它也是许多其他学

科研究的重要工具，如行列式经常被用于涉及到的电子工程，控制论，数学物

理方程的研究等。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性，综合式的计算

过程中，不同特征的行列式适用不同的方法，每一种方法都有他们各自的优点

及其独特之处，因此具有非常重要的研究价值。下面我介绍的是二阶行列式，

三阶行列式和N阶行列式的计算方法及它们的一些主要法则。

2.1二阶行列式

二阶行列式是四个数排成两行两列，用一种称为对角线法则计算出来的数，它

来源于二元和三元线性方程组解的公式。二阶行列式将从左上角到右下角的元

素互相相乘，并取正号，右上角和左下角上元素相乘，取负号，主对角线相乘，

然后再减去两条对角线相乘得到的值就是二阶行列式的值。

二阶行列式满足行列式的运算法则。

=。

讨论二元线性方程组的解法

引入负号

D是一个阶为二的行列式（（1.2.1）的系数行列式），这个代表的是一个数字，

并且把它记为D=det,这个当中数字指的是行列式D的第i和第j列里面的元素。

当时，求得方程组（1.2.1）的解为

按照阶为二的行列式的定义，方程组（1.2.1）当的解都用阶为二的行列式表示

出来。如果我们记为。

其中表示将D中第j列换成（1.2.1）有唯一解：

例1：计算二阶行列式

解：=。

2.2三阶行列式

求解三元一次方程组

引入符号称为三阶行列式（(1.2.2)的系数行列式）。

=如果行列式的时候，三元一次方程组（1.2.2）只有一个解，这当中

，，。

三阶行列式的对角线法则：

=。

三阶行列式具有以下特点：

2.2.1三阶行列式中除去符号，每项的三个元素按他们在行列式中的行的顺序排

成，，这个里面第一个的下标都是按照一个顺序排列而成123。

2.2.2因1,2,3共有6个不同的排列，所以对应行列式右端是6项的代数和。因此，

三阶行列式可以写成

。

上式里面t指的是排列p1,p2,p3的逆序，所以表示了对1,2,3这三个数的排列

p1,p2,p3求和。

例2：用对角线展开法计算：。

从上面的二阶行列式和三阶行列式的定义中可以看出，行列式的结果都是由一

些乘积的代数和，而且每一项乘积都是由行列式中位于不同的行不同的列中的

元素组成，并且所以的展开式恰好是由所有这种可能的乘积组成。每一项乘积

所带的符号是由排列的逆序数奇偶性原则决定的（当排列的逆序数为偶排列是，

在三阶行列式的展开式定义中，该项带有正号，当排列的逆序数为奇排列时，

在三阶行列式的展开式定义中，该项带有正号）。

2.3N阶行列式

有了上面的准备工作，我们可以对于二阶和三阶行列式做进一步的研究，已经

得出了它们的计算结构规律。我们要根据这个规律，可以定义阶为n的一个行

列式。

阶为n的一个行列式就等于全部的位于不同的行不同的列的n个元素的代数和，

逆序数为偶数时带正号，逆序数为奇数时带负号，共有n!项。这样，我们按照

二阶和三阶行列式含有怎样的项以及每一项取怎样的符号的规律，来定义n阶

行列式。等于全部取行与列不相同的n个元素的乘积的和，在这里指的是1，

2，3，…,n中的一个排列，每一个项全部要按照下面的规则必须带有一个符号：

如果指的是偶排列的时侯必须要带个正号，如果是奇排列的时侯带有负号。这

个定义可写成

这在上面的式子当中表示的是对全部n阶排列的求和，表示的是排列的一个

逆的序数。根据这个定义我们可以看出来，阶为n的一个行列式是由n!项所组

成的。

3.行列式的定义及性质

行列式的定义和性质可以说是计算行列式的基础。行列式在高等代数课程中的

重要性及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式的性质和定义进行较深入

的认识，因此本文主要要介绍与行列式有关的知识点。

3.1行列式的定义

行列式不同于于我们常用的矩阵，它本身有个确定的值，它是所有不同的行，

不同的列的每一个数的乘积的和差，这些数字的乘积符号与它们的倒数之和有

关系，倒数和偶数是整数的符号以及倒数是奇数的符号都是负数有关。

n阶行列式：

设D=

是由排成n阶方阵形式的个数aij(i,j=1,2,,n)确定的一个数，其值为n!项之和

D=

上式中的k1,k2,…,kn是我们把序列1,2，…,n的元素次序交换k次所得到的一个

序列，表示的是对k1,k2,…,kn中取1,2，…,n的所有排列的求和，那么我们把

未数D被称为n阶方阵的一个行列式。比如，一个四阶行列式是4！个形式的

所有项的和，并且这个当中都对应于k=3，所以这个项前面所对应的符号应为。

例3：计算行列式

解：中不为零的项一般表示为

！，

该项列标排列的逆序数t(n-1.n-2,…,1n)等于，所以

！

例4：计算行列式：。

已知的是一个阶为四的行列式，在它的展开式当中应该有4！=24的一个项，但

是因为这个地方出现的零非常多，所以这个当中不等于零的项的数目就非常的

降低。这个式子中的项的形式一般是。明确，若，则，因此该项就等于零。

所以我们一定要考虑到的这个项，同样，就要考虑的有些项，这说明，这个行

列式里面不为零的项仅有，，该项的符号为正的。所以可得：

==

3.2行列式的性质

高等代数是数学专业必修的基础课程，而行列式知识是其中的重要内容之一，

在高等代数教材中给出了求行列式值的基本方法，并且探讨了行列式的相关性

质。能够熟练掌握和运用行列式的相关性质有着非常重要的作用和意义。

行列式有如下基本性质：

1.2.1行列式的行列互换，行列式的值不变；

1.2.2行列式于它的转置行列式相等；

1.2.3互换行列式中的某两行或者某两列，行列式变号；

1.2.4行列式中某一行乘以一个数k，那么整个行列式等于乘以这个

数k；

1.2.5行列式中某行或者某列式乘以一个不为零的数，加到另外一行

或者列上，行列式的值不变；

1.2.6行列式的某两行或者某两列成比例，那么这个行列式的值等于

零；

1.2.7行列式的某一行或者某一列的元素都是两列或两行的和时，行

列式可拆成两个行列式的和；

例5:。

解：=或

=+。

例6：计算行列式：。

解：设所以f（x）有因子x-1，x+1,x-2,x+2.令x=0代入上式两端，可算出A=3，

故

D=-3（x-1）（x+1）（x-2）（x+2）

主：中的特定常数A可确定如下:

D里面包含的含有的项应该为，因此我们知道的前面的系数是-3。

4.行列式的计算方法

行列式起源于解二，三元线性方程组，然而它的应用早已超过代数的范围，成

为研究数学领域各分支的基本工具。行列式经常被用于科学和工具计算中，如

涉及到的电子工程，控制论，数学物理方程及数学研究等都离不开行列式。其

中最基本的就是行列式的计算。它是学习高等代数的基石，它是求解线性方程

组，求逆矩阵及求矩阵特征值得基础。但行列式的计算方法很多，综合性较强

在行列式计算中需要我们多观察总结，便于我们能熟练地计算行列式的值。目

前常用计算行列式的方法包括以下内容：化三角形法，降阶法，递推公式，数

学归纳法，范德蒙行列式法，拆项法，加边法，析因子法等等。在这章我主要

介绍计算行列式的这八种方法。

4.1化三角形法

化三角形法是一种方法，其中原始行列式被计算为上（下）三角洲行列式或对

角线行列式，这是计算行列式的重要方法之一，因为它很容易通过使用行列式

的定义来得到行列式的上（下）或行列式，很容易获得上（下）行列式或三角

形对，行列式的定义很容易由上（下）决定因素的决定因素或对角决定因素的

决定因素。

原则上，每个行列式可以使用行列式的性质作为三角行列式，然而对于高阶行

列式来说，计算往往比较复杂，因此在很多情况下行列式的性质总是用来作为

一种对冲然后它转换成三角行列式。

例7：计算行列式。

4.2递推公式法

递推公式法基于行列式的结构特征，无论是在初等数学还是高等数学中，它都

有非常广泛的应用：使用行列式的性质，表达一个n阶行列式的行列式作为具

有相同结果（例如n-1序列或n-1序列和n-2次序等）线性关系的较低阶的行列

式，这种关系被称为递归关系。运用递推法逐层降阶，最终将计算出行列式的

值。

例8：计算行列式。

解：按第一行展开得：

而

由以上两式解得:

先将行列式表成两个低阶同型的行列式的线性关系式，再用递推关系及某些低

阶（2阶，1阶）行列式的值求出D的值。

4.3降阶法

在行列式的计算中，往往会将行列式转换成具有特殊形式的行列式，在进行计

算，因此熟悉和掌握这些特殊行列式及其计算公式对提供计算行列式的技巧和

效率是非常重要的。降阶法方法与行（列）的行列式非常类似。首先，我们将

行列式的行（或列）转换为仅一个非零元素，并将行（列）扩展为较低的行。

序列的决定因素一直持续到得到直接或立方的行列式结果。

例9:计算行列式。

解：

4.4范德蒙行列式

行列式的计算是线性代数学习中的一个重点，也是一个难点。同时又是研究生

入学考试中的必出现的一类题，行列式的计算方法多种多样，灵活多变。其中

范德蒙行列式是一种重要的行列式，行列式的计算中起着不可低估的作用，在

行列式的计算中可以把一些特殊的或类似于范德蒙行列式的行列式转化为范德

蒙行列式来计算，而这是行列式计算过程中一种不易掌握的方法。范德蒙行列

式展开公式的证明在教材上一般介绍的都是数学归纳法，范德蒙行列式展开公

式的证明还可以用递推法及余式定理来证明。

例10：计算行列式。

解：我们将第一行的（-1）倍再加到第二行的元素，然后把新得到的第二行的

（-1）倍加到第三行的元素中，根据这个类推直到我们把新得到的第n-1行的

（-1）倍加到第n行的元素，就可以得到范德蒙行列式

其中“”表示连称号。

4.5数学归纳法

首先利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证

明。但给定一个行列式要猜想其值是比较困难的，因此数学归纳法一般是用来

证明行列式等式。数学归纳法还通常应用于确定表达式在自然数范围内是否为

真或者用于确定替换形式在无限序列中是否为真这个地方。

例11：计算n阶行列式

解：我们把将行列式的性质与行列式本身的规律相结合，可以使用数学减法来

求解该行列式。

当n=2时，

假设n=k是，有

则当n=k+1时，把按第一列展开，得

由此,对任意的正整数n，有

。

4.6加边法

加边方法是逐行添加行列来进行计算的。一旦增加了优点，行列式的值必须保

持不变，并且最终的新行列式值应该被容易地计算。加法方法发生在行（列）

具有相同字母的情况下，并且还可以在列元素行是n-1个元素的倍数。

例12：计算行列式

解：给原行列式加边

4.7拆项法

上面叙述了行列式的定义，性质及行列式的几种计算方法问题，下面利用拆项

法求行列式的问题进行进一步地讨论。高等代数是数学专业必修的基础课程，

而行列式知识是其中的重要内容之一，在高等代数教材中给出了求行列式值的

基本方法，并且探讨了行列式的相关性质。能够熟练掌握和运用行列式的相关

性质有着非常重要的作用和意义。下面主要研究可拆项的行列式的结构特征，

指明了什么样的行列式可采用拆项方法来计算的问题。在拆除方法中，我们把

给定行列式的行（列）元素被视为两个元素的总和，原行列式被视为两个行列

式的总和，并且复行列式被设置为2，解决一个简单的行列式。

例13：计算行列式。

解：

很明确地知道D就是这个行列式f(x)中的元素的一个余子式，所以，又根据

f(x)的表达式和根与系数之间的关系可以知到，f(x)中的系数为：

即

4.8析因子法

所谓的析因子法，就是当行列式的值等于零时，求得方程的根，从而将行列式

转化为其因子和积，这样会大大减少计算量。该方法适用于主对角线上含有X

多项式的题型。

例14：计算行列式

解：由行列式D定义知为x的4次多项式。

又，当时，1,2行相同，有D=0，所以为D的根。

当时，3,4行相同，有D=0，所以为D的根。

故D有4个一次因式：x+1,x-1,x+2,x-2。

设令x=0,则

即

所以a=-3。

所以。

5.结束语

行列式的计算方法灵活多变，但万变不离其宗，在计算时一定要仔细观察其类

型特点，恰当运用行列式计算的常用方法及技巧，一切便可迎刃而解选择行列

式的计算方法最主要的还是看行列式的元素分布的规律。在实际计算中，不同

的方法适用于不同的行列式，但行列式通常用于更多行列式，使用的性质是直

接使用和确定性三角决定因子这将分成。排序方法主要用于在行（列）中展开

表达式，通常在行或列中有很多零元素，每种方法都有自己的优点和唯一性，

所以矩阵表达的解决方案的意义非常重要。了解更多练习和更多摘要，以更好

地掌握确定性的计算。

参考文献

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TheCalculationMethodOfDeterminant

Abstract:Dterminantisoneofthemostimportanttoolsinthestudyofhigher

sovery

nthedefinitionand

propertiesofdeterminants,thispapersumsup8calculationmethodsoftravelcolumns

ingtothecharacteristicsofdeterminantsof

differenttypes,thecorrespondingcalculationmethodsofvercommondeterminants

rthergeneralizationhasdefinitetheoreticalsignificanceand

applicationvalue.

KeyWords:Determinant；Triangulationmethod；VanRedmonddeterminant；

Recursivehairmethod