三元二次方程

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三元一次方程组(基础)知识讲解

撰稿：孙景艳责编：赵炜

【学习目标】

1.理解三元一次方程(或组)的含义；

2.会解简单的三元一次方程组；

3.会列三元一次方程组解决有关实.际问题.

【要点梳理】要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念.1.三元一次方程的定义

含有三个相同的未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.如x+y-z=1,

2a-3b+4c=5等都是三元一次方程.文档收集自网络，仅用于个人学习

要点诠释：

(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次.

⑵三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=O，其中a、b、c不为零.

2.三元一次方程组的定义

一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.

要点诠释：

(1)三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，

可.

(2)在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解.

要点二、三元一次方程组的解法

解三元一次方程组的-一般步骤

(1)利用代入法或

加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中

的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；文档收集自网络，仅用于个人学习

(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；

(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，一次方程；

(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；

(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起.要点诠释：

(1)解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”.使解三元一次方

程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程.其思想方法是：文档收集自网络，仅用于个人学习

掲无二元一次方程纽I消尢"[—元一次方程I

(2)有些特殊的方程组可用特殊的消.元法，解题时要根据各方程特点寻求其较

简单的解法.要点三、三元一次方程组的应用

列三元一次方程组解应用题的一般步骤

1.弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如X,y,Z)表示题目中的

两个(或三个)未知数;

2.找出能够表达应用题全部含义的相等关系；

3.根据这些相■等关系列

出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组■;

只要三个方程共含有三个未知量即

得到一个一元

I三元一次方程纫

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4.解这个方程组，求出未知数的值；

5.写出答案(包括单位名称).

要点诠释：

(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义,

是否合理，不符合题意的应该舍去.文档收集自网络，仅用于个人学习

(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一.

(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组.

【典型例题】

类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念

1.下列方程组中是三元一次方程组的是

【答案】

111

111

不是整式，故B选项不是；C选项中有四个未知数，故

Xyz

三兀一次方程组的定义.文档收集自网络，仅用于个人学习

【总结升华】理解三元一次方程组的定义要注意以下几点：(1)方程组中的每一个方程都是

一次方程；(2)—般地，如果三个一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.文档收集

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类型二、三元一次方程组的解法

y=2x-7

2.(韶关)解方程组｛5x+3y+2z=2

[3x—4z=4

【思路点拨】方程①是用未知数X表示y的式子，将①代入②可得二元一次方程组.【答案与解析】

解：将①代入②得：5x+3(2x-7)+2z=2，

整理得：11x+2z=23④

由此可联立方程组43x一

4z"4③

11x+2z=23④

③+④X2得：25X=50,x=2.

把X=2分别代入①③可知：y=-3,z=1

2

检查求得的结果

X一y=

1«y+z

=0

1

—+y=1

X

丄+z=2

y

1

-+x=6

.z

c：=2

[b-d=3

D.{n+t=12

[t+m=0

【解析】

A选项中X2

一y=1与XZ=2中未知数项的次数为2次，故选项不是；B选项中

C选项不是；D项符合

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④—⑤得：4y=8,y=2

将y=2代入⑤知：x=1将x=1,y=2代入①得：z=3

IX=1

所以方程组的解为：«y=2

Iz=3

【高清课堂：三元一次方程组409145例2(2)1

【答案与解析】

_Z一5

解法一：原方程可化为:

5

x+y+z=20②

3

y=—Z④

5

3

+—z+z=20，得：z=10⑤

5

所以方程组的解为y=—

3-

1

z

【总结升华1解三元一次方程组的思想仍是消元，是用加减消元法，还是用代入消元法，要

根据方程组的特征来确定，一定要选择较简便的方法.文档收集自网络，仅用于个人学习

.【高清课堂：三元一次方程组409145

举一反三：丨2x-y+z=3

【变式1解方程组：J3x+4y-z=8

[x+y-2z=一3

例11

①

②

③

【答案】

解：①+②得：5x+3y=11④

①X2+③得：5x-y=3⑤

由此可得方程组:

5x+3y=11

5x-y=3

2

由①②得：X=—z,

5

2

将④代入②得：-z

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4.黄冈市在国庆节前夕举办了庆祝建国六十一周年足球联赛活动，这次足球联赛共赛

11轮，胜一场记3分，平一场记一分，负一场记0分.某校队所负场数是胜的场数的

结果共得20分•问该校队胜、平、负各多少场？文档收集自网络，仅用于个人学习

【思路点拨】该题中的已知量有比赛总场数、总得分数、胜的场数与负的场数之间的关系,等量关系有：

①胜场数+负场数+平场数=11;

②胜得分+平得分+负得分=总得分；

③胜场数=负场数X2.

将以上相等关系转化成方程（组）可得解.

【答案与解析】解：设该校队胜X场、平y场、负z场，根据题意，

卜+y+Z=11

{3x+y=20，解这个三元一次方程组，得

lx=2z

答：该校队胜6场、平2场、负3场.

将⑤代入④中两式，得：X=2z=

5

2

幻0=4，

5

33

yVz=即

10=6

所以方程组的解为:

(x=4

!y=6

[z=10

解法二：设

X

2

将③代入②得：

将t=2代入③得:

=y

"3

2t+3t+5t=20，

x=2t=2x2=4，

=2t,y=3t.

z=5t③

t=2

y=3t=3x2=6,z=5t=5x2=10

[X=4

所以方程组的解为：!y=6

[z=10

【总结升华】对于这类特殊的方程组,

（如设比例系数等）来解.文档收集自网络,

可根据其方程组中方程的特点，采用一些特殊的解法

仅用于个人学习

举一反三:

Ia+b=3

【变式】

方程组{b+c=—2的解为

I

[c+a=9

【答案】

『a=7

怕=*（提示：将三式左右分别相加，求得a+b+c，再分别计算a,b,c较简单.）

I

2=2

类型三、

二兀一次方程组的应用

得:

X=6

lz=3

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【总结升华】用三元一次方程组解答实际问题的方法与用二元一次方程组解答实际问题的方法类似，根据题目给

出的条件寻找相等关系是利用方程解应用题的重要一环.文档收集自网络,

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举一反三：

【变式】现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少

【答案】

解：设面值为

6张，求三种人民币各多少张？文档收集自网络，仅用于个人学

习

2元、1元和5角的人民币分别为x张、y张和z张.

「X+y+Z=24

i1

依题意，得42x+y+-z=29

2

把③分别代入①和②，得

|2x+z=18④

1

j3x+—z=23⑤

I2⑤X2，得6x+z=46

⑥-④，得4x=28，x

把x=7代入③，得y=13.

把x=乙y=13代入①，得z=4.

x=7

•••方程组的解是｛y=13.

[Z=4

答：面值为2元、I元和5角的人民币分别为7张、13张和4张.