简谐波

§4-2平面简谐波的波动方程

振动与波动

最简单而又最基本的波动是简谐波！

简谐波：波源以及介质中各质点的振动都是简谐振动。任何复杂的波都可看成是

若干个简谐波的叠加。

对平面简谐波，各质点都在各自的平衡位置附近作简谐振动，但同一时刻各质点

的振动状态不同。需要定量地描述出每个质点的振动状态。

波线是一组垂直于波面的平行射线，可选用其中一根波线为代表来研究平面简谐

波的传播规律。

一、平面简谐波的波动方程

设平面简谐波在介质中沿x轴正向传播，在此波线上任取一参考点为坐标原点

参考点原点的振动方程为



00

cosyAt

任取一点P，其坐标为x，P点如何振动

A和



与原点的振动相同，相位呢

沿着波的传播方向，各质点的相位依次落后，波每向前传播的距离，相位落

后2

现在，O点的振动要传到P点，需要向前传播的距离为x，因而P点的相

位比O点落后

2

2

x

x









P点的振动方程为

区别

联系

振动研究一个质点的运动。

波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。

振动是波动的根源。

波动是振动的传播。

x

y

O

P

x

u

0

2

cos

P

yAtx















由于P点的任意性，上式给出了任意时刻任意位置的质点的振动情况，将下标

去掉

0

2

cosyAtx















就是沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程。

如果波沿x轴的负向传播，P点的相位将比O点的振动相位超前

2

x





沿x轴负向传播的波动方程为

0

2

cosyAtx















利用

2

，

u

沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程又可写为

0

2

cosyAtx















0

2

cosAtx

u













0

cos

x

At

u

















即

0

cos

x

yAt

u

















原点的振动状态传到P点所需要的时间

x

t

u



P点在t时刻重复原点在

x

t

u









时刻的振动状态

波动方程也常写为

x

y

O

P

x

u

0

2

cosyAtx

















0

cosAtkx

其中

2

k







波数，物理意义为2长度内所具有完整波的数目。

☆波动方程的三个要素：参考点，参考点振动方程，传播方向

二、波动方程的物理意义

1、固定x，如令

0

xx



00

2

cosytAtx















振动方程

0

x处质点的振动方程

0

x处的振动曲线

该质点在

1

t和

2

t两时刻的相位差



21

tt

2、固定t，如令

0

tt



00

2

cosyxAtx















波形方程

0

t时刻各质点离开各自平衡位置的位移分布情况，即

0

t时刻的波形方程。

y

t

T

O

波形曲线

3、x和t都在变化



0

2

,cosytxAtx















各个不同质点在不同时刻的位移，各个质点的振动情况，不同时刻的波形，反映

了波形不断向前推进的波动传播的全过程行波

t时刻，x处的某个振动状态经过t的时间，传播了xut的距离，传

到了xx处，显然

,,yttxxytx行波必须满足此方程

其中xut

波是振动状态的传播！

习题类型

（1）由某质元的振动方程（或振动曲线）求波动方程

（2）由某时刻的波形曲线求波动方程

例：一平面波在介质中以速度20um/s沿直线传播，已知在传播路径上某点A

的振动方程为3cos4

A

yt，如图所示。

（1）若以A点为坐标原点，写出波动方程，并求出C，D两点的振动方程；

（2）若以B点为坐标原点，写出波动方程，并求出C，D两点的振动方程。

y

x

O

t

时刻

tt时刻

u

xut

y

x



O

解：（1）振幅3Am，圆频率4rad/s，频率

2

2









Hz，

波长

10

u







m

波动方程为

2

3cos43cos4

5

ytxtx















m

C点坐标为13

C

xm，振动方程为

13

3cos43cos4

55CC

ytxt













m

D点坐标为9

D

xm，振动方程为

9

3cos43cos4

55DD

ytxt













m

（2）A点坐标为5

A

xm，波动方程为



2

3cos43cos4

5A

ytxxtx

















m

C点坐标为8

C

xm，振动方程为

13

3cos43cos4

55CC

ytxt













m

D点坐标为14

D

xm，振动方程为

9

3cos43cos4

55DD

ytxt













m

例：一平面简谐横波以400um/s的波速在均匀介质中沿x方向传播。位于坐

标原点的质点的振动周期为秒，振幅为，取原点处质点经过平衡位置且向正方向

运动时作为计时起点。

（1）写出波动方程；

（2）写出距原点2m处的质点P的振动方程；

（3）画出0.005t秒和秒时的波形图；

A

B

8m

x

u

C

D

5m

9m

（4）若以距原点2m处为坐标原点，写出波动方程。

解：（1）由题意

0.1A

m，

0.01T

秒，

400u

m/s

可得圆频率

2

200

T





rad/s，波长4uTm

由旋转矢量图知，原点处质点的初相位

0

3

2





故原点处质点的运动方程为

0

3

0.1cos200

2

yt













m

波动方程为

3

0.1cos200

22

ytx













m

（2）2

P

xm处质点的振动方程为

3

0.1cos2000.1cos200

222PP

ytxt













m

（3）

1

0.005t秒时，波形方程为

1

35

0.1cos2000.1cos

2222

ytxx













0.1cos0.1sin

222

xx











因为

21

1

0.0025

4

ttT

，故由

1

t时刻的波形向+x方向平移

4



即可得

2

t时刻

的波形。如图所示

O

x

0t

3

2





（4）

2

0.1cos2000.1cos200

222

ytxtx

















Ex.4：已知

2t

秒的波形曲线如图所示，波速

0.5u/ms

，沿x方向传播

求：（1）

O

点的振动方程；（2）波动方程

解：（1）由

2ts时的波形图可知

0.5Am，2m，4T

u



s，

2

2T





利用旋转矢量图法得出2t秒时O点振动相位

0

3

2

t





2t，

2





O点的初相位

02





O点的振动方程为

0.5cos

22O

t













（2）波动方程0.5cos

22

tx













Ex：一列机械波沿x轴正向传播，t=0时的波形如图所示，已知波速为10m·s-1，

波长为2m，求：

(1)波动方程；

(2)P点的振动方程及振动曲线；

(3)P点的坐标；

y

x

O

2



1

t2

t

u



O



2st

(m)

x

(m)

2

O

1

1

2st

u

0

(4)P点回到平衡位置所需的最短时间．

解:(1)由题5-13图可知

1.0Am，

0t

时，

原点处质点振动的初始条件为

0,

200

v

A

y

，∴

03





由题知2m，10u1sm

，则

10

5

2

u





Hz，

圆频率102

原点

O

的振动方程为

0.1cos10

3

yt













m

波动方程为

0.1cos10

3

ytx













m

(2)由图知，0t时，

0,

2



PP

v

A

y

，

∴

3

4







P

(P点的相位应落后于0点，故取负值)

∴P点振动方程为

)

3

4

10cos(1.0ty

p

(3)由





3

4

|

3

)

10

(10

0



t

x

t

解得

67.1

3

5

xm

(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题5-13图(a)，

则由P点回到平衡位置应经历的相位角







6

5

23



∴所需最短时间为

12

1

10

6/5















ts