对数函数换底公式

1

指数函数和对数函数

1、指数函数：

定义：函数yaaax01且叫指数函数。

定义域为R，底数是常数，指数是自变量。

为什么要求函数yax中的a必须aa01且。

因为若a0时，yx4，当x

1

4

时，函数

值不存在。

a0，yx0，当x0，函数值不存在。

a1时，yx1对一切x虽有意义，函数值恒

为1，但yx1的反函数不存在，因为要求函数

yax中的aa01且。

1、对三个指数函数yyyx

x

x













2

1

2

10，，

的图象的认识。

图象特征与函数性质：

图象特征函数性质

（1）图象都位于x轴上方；（1）x取任何实数值时，都有ax0；

（2）图象都经过点（0，1）；

（2）无论a取任何正数，x0时，y1；

（3）yyxx210，在第一象限内的纵坐

标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，

y

x















1

2

的图象正好相反；

（3）当a1时，

xa

xa

x

x















01

01

，则

，则

当01a时，

xa

xa

x

x















01

01

，则

，则

（4）yyxx210，的图象自左到右逐渐

上升，y

x















1

2

的图象逐渐下降。

（4）当a1时，yax是增函数，

当01a时，yax是减函数。

对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：

①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如

yx2和yx10相交于()01，，

当x0时，

yx10的图象在yx2的图象的上方，当x0，刚好相反，故有10222

及10222。

②

yx2与y

x















1

2

的图象关于y轴对称。

③通过

yx2，yx10，y

x















1

2

三个函数图象，可以画出任意一个函数

yax

（aa01且）的示意图，如

yx3的图象，一定位于yx2和yx10两个图象的中

2

间，且过点()01，，从而y

x















1

3

也由关于y轴的对称性，可得y

x















1

3

的示意图，即

通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

2、对数：

定义：如果aNaab()01且，那么数b就叫做以a为底的对数，记作bN

a

log

（a是底数，N是真数，log

a

N是对数式。）

由于Nab0故log

a

N中N必须大于0。

当N为零的负数时对数不存在。

（1）对数式与指数式的互化。

由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：

求log

.032

52

4













分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log

.032

52

4













x再

改写为指数式就比较好办。解：设log

.032

52

4













x

则

即

∴

即

032

52

4

8

25

8

25

1

2

52

4

1

2

1

2

032

.

log

.

x

x

x















































评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，

因此必须因题而异。如求35x中的x

，化为对数式xlog

3

5即成。

（2）对数恒等式：

由

aNbNb

a

()log()12

将（2）代入（1）得aNa

Nlog

运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和

对数的底数相同。

计算：31

3

2log

解：原式

















3

1

3

1

2

2

22

1

3

1

3

log

log

。

（3）对数的性质：

3

①负数和零没有对数；

②1的对数是零；

③底数的对数等于1。

（4）对数的运算法则：

①logloglog

aaa

MNMNMNR，

②logloglog

aaa

M

N

MNMNR，

③loglog

a

n

a

NnNNR

④loglog

a

n

a

N

n

NNR

1

3、对数函数：

定义：指数函数yaaax()01且的反函

数yx

a

logx(,)0叫做对数函数。

1、对三个对数函数yxyxloglog

21

2

，，

yxlg的图象的认识。

图象特征与函数性质：

图象特征函数性质

（1）图象都位于y轴右侧；（1）定义域：R+，值或：R；

（2）图象都过点（1，0）；

（2）x1时，y0。即log

a

10；

（3）yxlog

2

，yxlg当x1时，图象

在x轴上方，当00x时，图象在x轴下

方，

yxlog

1

2

与上述情况刚好相反；

（3）当a1时，若x1，则y0，若

01x，则y0；

当01a时，若x0，则y0，若

01x时，则y0；

（4）yxyxloglg

2

，从左向右图象是上

升，而

yxlog

1

2

从左向右图象是下降。

（4）a1时，yx

a

log是增函数；

01a时，yx

a

log是减函数。

对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：

（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是yxlog

2

与yxlg在点（1,0）曲

线是交叉的，即当x0时，yxlog

2

的图象在yxlg的图象上方；而01x时，

yxlog

2

的图象在yxlg的图象的下方，故有：.

2

1515；.

2

0101。

（2）yxlog

2

的图象与

yxlog

1

2

的图象关于x轴对称。

（3）通过yxlog

2

，yxlg，

yxlog

1

2

三个函数图象，可以作出任意一个对数

函数的示意图，如作yxlog

3

的图象，它一定位于yxlog

2

和yxlg两个图象的中间，

且过点（1,0），x0时，在yxlg的上方，而位于yxlog

2

的下方，01x时，

刚好相反，则对称性，可知

yxlog

1

3

的示意图。

因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

4

4、对数换底公式：

log

log

log

log(.)

log

b

a

a

ne

g

N

N

b

LNNeN

LNN







其中…称为的自然对数

称为常数对数

271828

10

由换底公式可得：

LN

N

e

N

N

n



lg

lg

lg

.

.lg

04343

2303

由换底公式推出一些常用的结论：

（1）log

log

loglog

a

b

ab

b

a

ba

1

1或·

（2）loglog

a

m

anb

m

n

b

（3）loglog

a

n

anbb

（4）log

a

m

na

m

n



5、指数方程与对数方程*

定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。

在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。

由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而

属于超越方程。

指数方程的题型与解法：

名称题型解法

基本型

同底数型

不同底数型

需代换型



abfx

aafxx()()



abfxx



F

ax

0

取以a为底的对数fxb

a

log

取以a为底的对数fxx

取同底的对数化为fxaxb··lglg

换元令tax转化为

t

的代数方程

对数方程的题型与解法：

名称题型解法

基本题

log

a

fxb

对数式转化为指数式fxab

同底数型

loglog

aa

fxx转化为fxx（必须验根）

需代换型

F

a

x(log)

0

换元令tx

a

log转化为代数方程