不定积分求导

不定积分求解方法及技巧小汇总

摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别

典型例子，运用技巧解题。

一．不定积分的概念与性质

定义1如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的xI，有F’(x)=f(x)dx则称

F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。

定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原

函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（xI）

简单的说就是，连续函数一定有原函数

定理2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，则

（1）F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数；

（2）f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。

定义2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称

为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)d(x),即f(x)d(x)=F(x)+C

其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分

变量，C称为积分常数。

性质1设函数f(x)和g(x)存在原函数，则[f(x)g(x)]dx=f(x)dxg(x)dx.

性质2设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，则kf(x)dx=kf(x)dx.

二．换元积分法的定理

如果不定积分g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[(x)]’(x).

做变量代换u=(x),并注意到‘（x）dx=d(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积

分，于是有g(x)dx=f[(x)]’(x)dx=f(u)du.

如果f(u)du可以积出，则不定积分g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换

元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。

定理1设F(u)是f(u)的一个原函数，u=(x)可导，则有换元公式

f[(x)]’(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F[(x)]+C.

第一类换元法是通过变量代换u=(x),将积分f[(x)’(x)dx化为f(u)du.但

有些积分需要用到形如x=(t)的变量代换，将积分f(x)dx化为f[(t)]’(t).

在求出后一积分之后，再以x=(t)的反函数t=1(X)带回去，这就是第二类换元法。

即

f(x)dx={f[(t)]’(t)dt}

)(1Xt

.

为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t=1（x）存在的条

件，给出下面的定理。

定理2设x=(t)是单调，可导的函数，并且‘（t）



0.又设f[(t)]’(t)具

有原函数F（t）,则f(x)dx=f[(t)]’(t)dt=F(t)+C=F[1(x)]+C

其中1（x）是x=（t）的反函数。

三．常用积分公式

1基本积分公式

（1）kdx=kx+C(k是常数)；（2）xudx=

1u

x1u





+C(u



-1);

（3）

x

dx

=lnx+C；（4）2x1

dx



=arctanx+C;

(5)2x1

dx



=arcsinx+C;(6)cosxdx=sinx+C;

(7)sinxdx=-cosx+C;(8)

x2cos

dx

=c2xdx=tanx+C;

(9)

x

dx

2sin

=csc2xdx=-cotx+C;(10)cxtanxdx=cx+C;

(11)cscxcotxdx=-cscx+C;(12)exdx=ex+C;

(13)axdx=ex+C;(14)shxdx=chx+C;

(15)chxdx=shx+C.(16)tanxdx=-lncosx+C;

(17)cotxdx=lnsinx+C;(18)cxdx=lntanxcx+C;

(19)cscxdx=lnxcotcscx+C;(20)22xa

dx



=

ax

x

ln

a

1



a

+C;

(21)22xa

dx



=arcsin

a

x

+C;(22)22xa

dx



=ln(x+22ax+C;

(23)22ax

dx



=ln22axx+C.

2.凑微分基本类型

四．解不定积分的基本方法

四．求不定积分的方法及技巧小汇总~

1.利用基本公式。（这就不多说了~）

2.第一类换元法。（凑微分）

设f(μ)具有原函数F(μ)。则

CxFxdxfdxxxf)]([)()]([)(')]([

其中

)(x可微。

用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，

同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中

拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：

例1：





dx

xx

xx

)1(

ln)1ln(

【解】

)1(

11

1

1

)'ln)1(ln(









xxxx

xx

Cxxxxdxxdx

xx

xx







2)ln)1(ln(

2

1

)ln)1(ln()ln)1(ln(

)1(

ln)1ln(

例2：



dx

xx

x

2)ln(

ln1

【解】

xxxln1)'ln(

C

xxxx

xdx

dx

xx

x









ln

1

)ln(

ln

)1(

ln1

22

3.第二类换元法：

设

)(tx

是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('ttft又设具有原函数，

则有换元公式

dtttfdxf)(')]([x)(

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会

用。主要有以下几种：

achtxtaxtaxax

ashtxtaxtaxax

taxtaxxa







；；：

；；：

；：

cscc)3(

cottan)2(

cossin)1(

22

22

22

也奏效。，有时倒代换当被积函数含有

：

：

t

xcbxaxx

t

dcx

bax

dcx

bax

tbaxbax

m

nn

nn

1

)6(

)5(

)4(

2













4.分部积分法.

公式：dd

分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成

不定积分。具体选取、时，通常基于以下两点考虑：

（1）降低多项式部分的系数

（2）简化被积函数的类型

举两个例子吧~！

例3：

dx

x

xx







2

3

1

arccos

【解】观察被积函数，选取变换xtarccos,则





tdttdttt

t

t

dx

x

xx

3

3

2

3

cos)sin(

sin

cos

1

arccos

Cxxxxx

Cttttt

tdtttt

dtttttt

tttdtdtt

















arccos1)2(

3

1

3

2

9

1

cos

9

1

cos

3

2

sinsin

3

1

cos)1sin

3

1

(sinsin

3

1

)sinsin

3

1

(sinsin

3

1

)sinsin

3

1

(sin)1(sin

223

33

23

33

32

例4：xdx2arcsin

【解】



dx

x

xxxxxdx

2

22

1

1

arcsin2sinarcsin

Cxxxxx

dx

x

xxxxx

xxdxx















2arcsin12arcsin

1

2

1arcsin12arcsin

1arcsin2arcsin

2

2

22

2

上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。

有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。

在dd

中，、的选取有下面简单的规律：

选取的函数不能改变。，会出现循环，注意

，

，

，









)3(

sin,cos)3(

)(arcsin,arctan,ln)2(

cos,sin,)()1(

xxe

xPxxx

axaxexP

ax

m

ax

m







将以上规律化成一个图就是：

但是，当

xxarcsinln，

时，是无法求解的。

对于（3）情况，有两个通用公式：

Cbxbbxa

ba

e

dxbxeI

Cbxbbxa

ba

e

dxbxeI

ax

ax

ax

ax

















)sincos(cos

)cossin(sin

22

2

22

1

5.几种特殊类型函数的积分。

（1）有理函数的积分

有理函数

)(

)(

xQ

xP

先化为多项式和真分式

)(

)(*

xQ

xP

之和，再把

)(

)(*

xQ

xP

分解为若干

个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现





n

nxa

dx

I

)(22

时，

记得用递推公式：

1

21222)1(2

32

))(1(2











n

n

n

I

na

n

axna

x

I）

例5：dx

xx

xxx







223

246

)1(

24

【解】

















223

2

223

46

223

246

)1(

24

)1()1(

24

xx

x

xx

xx

xx

xxx

223

2

2)1(

24

1





xx

x

x

x

μν

（lnx

arcsinx）

Pm(x

)

（a^x

sinx)

22

224

2

224

2

223

2

2

2

)1(

12

)1(

24

)1(

24

)1ln(

2

1

1

xdx

xx

x

xdx

xx

x

dx

xx

x

Cxdx

x

x





























C

xx

Cd

dd































)1(

11

1

1

)

)1(

11

(

)1(

)1(

)1(

12

2222

22

22

22



















故不定积分求得。

（2）三角函数有理式的积分

万能公式：

































2

tan1

2

tan1

cos

2

tan1

2

tan2

sin

2

2

2

x

x

x

x

x

x

化为有理函数可用变换

2

tan

)cos,(sin

)cos,(sinx

tdx

xxQ

xxP

的积分，但由于计算较烦，

应尽量避免。

对于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成

x

x

x

x

sin

cos

cos

sin

或

。再用待定系数

xbxa

xbxaBxbxaA

sincos

)sin'cos'()sincos(





来做。

（3）简单无理函数的积分

一般用第二类换元法中的那些变换形式。

像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现xx1和时，可令tx2tan；

同时出现xx1和时，可令tx2sin；同时出现xxarcsin12和时，可令x=sint；

同时出现xxarccos12和时，可令x=cost等等。

学习完不定积分，觉得这部分内容对我们思维的灵活性要求很大，应该加大

习题量，达到见多识广的效果，做完习题注意总结，以及类似题目的整理。熟记

三角函数公式，不定积分基本公式，掌握各种求积分的方法。