数的分类结构图

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数的分类

我们把{0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、…}等全体非负整数组成的数集合称为“自然数”。

把{1，2，3，…，9，10}向前扩充得到正整数{1，2，3，…，9，10，11，…}，把它反向扩充得到负

整数{…，-11，-10，-9，…，-3，-2，-1}，介于正整数和负整数中间的“0”为中性数；把它们合在

一起，得到{…，-11，-10，-9，…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…，9，10，11，…}，叫做整数。

对整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。整数，对加、减、乘运算组成了一个封闭的

数集合，是数学古老分支“数论”研究的对象。著名的德国数学家高斯说：“数学是科学的皇后，数论

是数学中的皇冠”。除法运算，如7/11=0.636363…、11/7=1.5714285…，不再是整数，也就

是说整数对除法运算是不封闭的。为了使数集合对加、减、乘、除四则运算都是封闭的，就必须增加新

的数，如7/11、11/7，为两个整数之比，称为可比数、分数，现在通称为有理数。

把数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验进行总结和整理，形成最古老的一门数学——

算术。有理数集合，对加、减、乘、除四则运算组成了一个封闭的数集合，看起来似乎已很完备。2500

多年前，不少人、甚至当时一些数学家也是这样看的。

公元前５世纪，当时的毕达哥拉斯学派很重视整数，想用它说明一切，“数是万物之本”成了他们的哲

学观。无理数的发现，对以整数为基础的毕氏哲学，是一次致命的打击，数学史上把这件事称为“第一

次数学危机”。在之后，又发现了很多无理数，圆周率π就是其中最重要的一个。15世纪意大利著名

画家达·芬奇把它称之为“无理之数”。现在，人们把有理数和无理数合并在一起，称为“实数”。由

此得到两个解：和，它们还是（2）的解吗？如果认为不是，（2）就没有解，解方程如同走进了死胡同。

为解决这一问题，数学家不得不再次扩大数的范围，引入符号“”表示“－1的平方根”，即，称为虚

数；再把实数a、b和虚数结合起来，组成形式的数，称为“复数”。在很长一段时间里，人们在实际

生活中找不到用虚数和复数表示的量，让人感到有点虚无缥缈。随着科学的发展，虚数在水力学、地图

学和航空学上得到了广泛的应用。这样，数的家族就进一步扩大，包括实数和复数两大类，并把加、减、

乘、除的扩展到包括乘方和开方的，形成了数学中一个新的分支“代数”。代数进一步向两个方面发展，

一是研究未知数更多的一次方程组，引进矩阵、向量、空间等符号和概念，形成“线性代数”；另一

是研究未知数次数更高的高次方程，形成“多项式代数”。这样，代数研究的对象，不仅是数，还包括

矩阵、向量、向量空间及其变换等。它们都可以进行“运算”，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的

基本运算定律，有时不再有效。因此，代数学的内容可以概括称为带有运算的一些代数结构的集合，如

群、环、域等，又含抽象代数、布尔代数、关系代数、计算机代数等众多分支.由于科学技术发展的需要，

数的范围不断扩大，从正整数、自然数、整数、实数到复数，再到向量、张量、矩阵、群、环、域等不

断的扩充与发展。为区别起见，人们把实数和复数称为“狭义数”，把向量、张量、矩阵等称为“广义

数”。尽管人们对数如何分类还有一些不同的看法，但都承认数的概念还会不断扩充和发展。到目前为

止，数的家族已发展得十分庞大，可表示为：

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