柯西积分不等式

高中数学复习系列---不等式（柯西不等式）

【柯西不等式的主要内容】

1.柯西主要贡献简介：

柯西（Cauchy），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家.他奠定了数学分析的理论基础.

数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.

2.二维形式的柯西不等式：若,,,abcdR，则当且仅当时,等号成立.

变式10.若,,,abcdR，则

||2222bdacdcba

或

bdacdcba2222；

变式20.若,,,abcdR，则222222()()abcdacbd；

变式30.（三角形不等式）设

332211

,,,,,yxyxyx为任意实数，则：

2222

12122323

()()()()xxyyxxyy

3.一般形式的柯西不等式：设

n

为大于1的自然数，,

ii

abR(i1,2,…,

n

)，

则：.当且仅当时,等号成立.

(若0

i

a时，约定0

i

b，i1,2,…,n).

变式10.设

,0(1,2,,),

ii

aRbinL则：







i

i

n

i

i

i

b

a

b

a2

1

2)(

.当且仅当时,等号成立.

变式20.设

0(1,2,,),

ii

abinL则：







ii

i

n

i

i

i

ba

a

b

a2

1

)(

.当且仅当

n

bbb

21

时,等号成立.

如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要.而柯西不等式与

我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系.所以,它的重要性是不容置疑的！

☆柯西不等式的应用：

例1.已知实数,,abc

,d满足3abcd，22222365abcd.试求

a

的最值

例2在实数集内解方程

222

9

4

862439

xyz

xyy















例3设P是三角形ABC内的一点，,,xyz是p到三边,,abc的距离，R是ABCV外接圆的半径，

证明：222

1

2

xyzabc

R



例4(证明恒等式)已知,11122abba求证：122ba。

例5(证明不等式)设

,

121



nn

aaaa求证:

0

1111

1113221



















aaaaaaaa

nnn



【同步训练】

1.已知

12

,,,

n

aaaRL

，求证：2222

1212

1

()

nn

aaaaaa

n

LL

2.已知,,,abcd是不全相等的正数，求证：2222abcdabbccdda

3.已知222231,xyzxyz求的最小值.

4.设

12n

,x,xR,x



L

12n

xx1,xL且求证：

2

22

12

12

x

1

1x111

n

n

x

x

xxn





L

5.已知实数,,,,abcde满足8abcde,2222216,abcde求

e

的取值范围.

6.已知

,,,xyzR



且1,xyz求证：

149

36

xyz



7.已知正数,,abc满足1abc证明

222

333

3

abc

abc





8.若n是不小于2的正整数，试证：

4111112

1

72342122nn





L。

参考答案:

一般形式的柯西不等式：

设

n

为大于1的自然数，,

ii

abR(i1,2,…,

n

)，则：

2

11

2

1

2)(





n

i

ii

n

i

i

n

i

i

baba

，

其中等号当且仅当

n

n

a

b

a

b

a

b



2

2

1

1时成立(当

0

i

a时，约定0

i

b，i1,2,…,

n

).

等号成立当且仅当

)1(niab

ii

柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的

不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便

地解决一些中学数学中的有关问题。

例1解：由柯西不等式得，有2

222

111

236

236

bcdbcd









即2

222236bcdbcd由条件可得，2

253aa

解得，12a当且仅当

236

121316

bcd

时等号成立，

代入

11

1,,

36

bcd时，

max

2a

21

1,,

33

bcd时

min

1a

例2解：由柯西不等式，得

222

222286248624xyzxyy







①

Q22

22228624xyz







2

9

6436414439

4



又2

2862439xyy.222

222286248624xyzxyz







即不等式①中只有等号成立.

从而由柯西不等式中等号成立的条件，得

8624

xyz





它与862439xyy联立，可得

6

13

x

9

26

y

18

13

z

例3证明：由柯西不等式得，

111

xyzaxbycz

abc



111

axbycz

abc

g

记S为ABCV的面积，则

22

42

abcabc

axbyczS

RR

g

1

2

2

abcabbcca

xyzabbcca

Rabc

R



222

1

2

abc

R



故不等式成立。

例4证明：由柯西不等式，得bbaaabba

当且仅当

a

b

a

b2

2

1

1







时，上式取等号，

,1122baab•,112222baba

于是122ba。

例5分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：

,1

111

13221

11

























•





nn

naaaaaa

aa

证明：为了运用柯西不等式，我们将

11



n

aa写成



1322111



nnn

aaaaaaaa于是



.1

111

2

13221

13221





























•





n

aaaaaa

aaaaaa

nn

nn



即



,

1111

1

111

1113221

13221

11



















































•

nnn

nn

n

aaaaaaaa

aaaaaa

aa





故

.0

1111

1113221



















aaaaaaaa

nnn



我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，

右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。

练习

1．证：2222222

1212

(111)()(111)

nn

aaaaaaLLL

∴2222

1212

()()

nn

naaaaaaLL

∴2222

1212

1

()

nn

aaaaaa

n

LL

2、

22222222

2

222222

2222

:()()

()

,,,,

()()

a

acdbcda

abbccdda

abcd

abcd

bcda

abcdabbccdda

bcdabbccdda











Q

证明

是不全相等的正数不成立

即

3．

2222222

222

222

:()(123)(23)1

1

14

113

,,

12314714

1

14

xyzxyz

xyz

xyz

xyz

xyz









解

当且仅当即时

取最小值

4、

2

22

12

12

22

12

12

12

2

n12

12

n

12

22

n12

:(1)()

111

(1x11)(

11

x

)(11

1x

11

1x)()1

1

n

n

n

n

n

n

x

xx

n

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

xxx

x



















L

L

L

LL

证明

5．

2222

2222

2

2222

2

:4(a)

(1111)()

(abcd)

4(16)(8),6446416

16

5160,0

5

bcd

abcd

eeeee

eee











Q解

即即

故

6．2

222

:

149149

()()

123

()36

11111

,,,,

49632

.

xyz

xyzxyz

xyz

xyz

xyzxyz







证法一用柯西不等式

当且仅当即时

等号成立

:

149149

()()()

4949

14()()()

14461236

111

2,3,,,,

632

xyzxyzxyz

xyzxyz

yxzxzy

xyxzyz

yxzxxyz









证法二代入法

当且仅当即时等号成立

7．证明：利用柯西不等式

2

313131

2

222

222222abcaabbcc









222

333

222abcabc

















2

333abcabc1abcQ

又因为222abcabbcca在此不等式两边同乘以2，再加上222abc

得：2223abcabc

2

2223332223abcabcabc•Q

故

222

333

3

abc

abc





9、证明：证明：

1

1(1)2()

2342122342242nnnn





LLL

111

122nnn





L

所以求证式等价于

41112

71222nnn





L

由柯西不等式有2

111

()[(1)(2)2]

122

nnnn

nnn





LL

于是：

211124

1

122(1)(2)27

3

n

nnnnnn

n







L

L

又由柯西不等式有222

222

111111

(111)(

122(1)(2)(2)nnnnnn





LLL

111112

[()

(1)(1)(2)(21)222

nn

nnnnnnnn





L