黄金三角形

.中考中的黄金分割问题

一、黄金分割点

例1（湖北十堰）如图1，已知线段AB，点C在AB上，且有

ACBC

ABAC

，则

AC

AB

的数值

为______；若AB的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在_____

位置最好．

2.（2005•太原）如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑

点C是靠近点B的黄金分割点（即AC是AB与BC的比例中项），支撑点D是靠近点A的黄金

分割点，则AC=cm，DC=cm．

3.（2009•浙江）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已

知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）

A．12.36cmB．13.6cmC．32.36cmD．7.64cm

4．（2009•孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，

越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，

为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）

A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm

二、黄金三角形

例1.（2010•本溪）如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄

金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=_________．

2．（2010四川内江）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在AB和AC上，CE与BF

相交于点D，若AE＝CF，D为BF的中点，则AE∶AF的值为.

3.顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，在∠A=36°的△ABC中，

AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，交AC于D，若AC=4cm，则BC=cm．

4．（2007·太原）数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等

腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰

三角形.为此，请你解答问题(1).

已知：如图(1)，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D.

求证：△ABD与△DBC都是等腰三角形

图(1)

归纳提升：本题综合考查等腰三角形的性质与判别，还可这样反思：条件改为“在△ABC

中，AB=AC，AD=BD=BC”，求△ABC中各内角的度数.

(2)在证明了该命题后，小颖发现：下列两个等腰三角形如图(2)、(3)也具有这种特性请你

在图(2)、图(3)中分别画出一条直线，

把它们分成两个小等腰三角形，并在图

中标出所画等腰三角形两个底角的度

数；

(3)接着，小颖又发现：直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形

斜边上的中线可把它分成两个小等腰三角形.请你画出两个具有这种特性的三角形的示意图，并

在图中标出三角形各内角的度数.

说明：要求画出的两个三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直角三角形.A

B

D

E

F

C

三、黄金矩形

例1（扬州市）若一个矩形的短边与长边的比值为51

2



（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．

（1）操作：请你在如图2所示的黄金矩形

()ABCDABAD中，以短边AD为一边作正方形AEFD；

（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明

理由；

（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）．

1．宽与长的比是

51

2



的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给

我们以协调，匀称的美感，现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步

骤（如图所示）：

第一步：作一个任意正方形ABCD；

第二步：分别取ADBC，的中点MN，，连接MN；

第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；

第四步：过B作EFAD交AD的延长线于F，

请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形，（可取

2AB）

2.（2010嵊州市）如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE

的垂线AC分别交BE，BN于点F、C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D，若CD＝CF，

则

AD

AE

.

3.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的正方形的面积为S

1

，以PB，

AB为边的矩形面积为S

2

，则S

1

与S

2

的关系是（）

A、S

1

＞S

2

B、S

1

＜S

2

C、S

1

=S

2

D、S

1

≥S

2

一、选择题

1、若3a=4b，则（a﹣b）：（a+b）的值是（）

A、B、7C、﹣D、﹣7

2、（2002•太原）已知，P是线段AB上一点，且，则等于（）

A、B、C、D、

3、已知点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，且MP=（﹣1）cm，则MN等于（）

A、2cmB、4cmC、6cmD、无法计算

4、如图所示，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的

延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，则AM的长为（）

A、﹣1B、C、3﹣D、6﹣2

二、填空题

5、若点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，则，=．

6、在线段AB上取一点P，使AP：PB=1：3，则AP：AB=，AB：PB=．

A

B

C

D

E

FM

N

7、若点C是线段AB的黄金分割点，则等于．

8.（2008•枣庄）将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的

面积为．