极轴

极坐标•知识点剖析

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1．极坐标系

(1)定义

在平面内取定点O，叫做极点，引一条射线OX叫做极轴，再选定一个长度单位和角的正方向(通常

以逆时针方向)，这样就建立了极坐标系；

(2)点的极坐标

点M在极坐标平面内，|OM|=ρ，∠MOX=θ，则点M的坐标为M(ρ，θ)，ρ叫做点M的极径，θ叫

做点M的极角．当ρ＜0时，∠XOP=θ，在OP的反向延长线上取一点M，使|OM|=|ρ|，点M就是坐

标为(ρ，θ)的点．由于(ρ，θ+2kπ)，(-ρ，θ+(2k+1)π)(k∈Z)都表示同一点，因此在极坐标

平面上点与有序数对不是一一对应的．但如果限定ρ＞0，0≤θ＜2π或-π＜θ≤π，则除极点外

就可以一一对应了；

(3)对称点坐标

点M(ρ，θ)关于极轴的对称点为M；(ρ，-θ)，

点M(ρ，θ)关于极点的对称点为M。(-ρ，θ)，

点M(ρ，θ)关于过极点与极轴垂直的直线(极垂线)的对称点为M(-ρ，-θ)；

(4)极坐标内两点的距离公式

2．直角坐标与极坐标的互化

(1)互化条件

原点与极点重合，极轴与x轴正半轴重合，两个坐标系长度单位一致．

(2)互化公式

(3)互化公式所得到的圆锥曲线的方程

例题

在极坐标系中，点(ρ，0)与(-ρ，π-θ)的位置是[]

A．关于极轴所在直线对称；

B．关于极点对称；

D．重合．

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说明一般地，为了求出点(ρ，θ)满足一定条件的极坐标，可先写出它的极坐标的一般形式，再

根据ρ和θ的条件确定k的值，从而得到所要求的坐标．

【例4】已知点B，C，D的直角坐标为(2，-2)，(0，-15)，(-12，5)，求它的极坐标(ρ＞0，0

＜θ＜2π)．

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[]

A．直线

B．圆

C．双曲线

D．抛物线

分析将方程化为直角坐标方程，即可判断曲线形状．因为给定的

[]

∴极坐标方程是ρ=1+cosθ(图形是心脏线)．

说明通过上两例可看出，化极坐标方程为直角坐标方程有时较容易判断曲线形状，但如曲线是由

动点旋转运动而产生的，则它的极坐标方程可能比直角坐标方程简单．

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解法2由圆锥曲线的统一方程可知

∴b2=a2-c2=132-122=52以下同上．

说明显然解法2简便，直接根据ρ，θ的几何意义求出a和c．

*【例8】求以抛物线y2=3x的焦点为极点，对称轴向右的方向为极轴的正方向时，抛物线的极坐

标方程．

说明本例作了特殊的要求，则不能用互化公式，利用圆锥曲线统一的极坐标方程不仅方程形式简

单，而且几何意义明显，这种特殊的互化方法有广泛的应用，应予以特别注意．

解ρ(0)=6即a+c=6

ρ(π)=2即a-c=2

【例10】点P在直线x+y=1上移动，在连接原点与点P的射线上取点Q，使|QP|²|OQ|=4，求点

Q的轨迹方程(如图3-2)

解x+y=1化成极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1

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即x′2+y′2=±(4x+4y)．

故Q点轨迹方程为x2+y2-4x-4y=0，

和x2+y2+4x+4y=0．

3．曲线的极坐标方程

在极坐标系中，称方程F(ρ，o)=0是曲线C的极坐标方程，如果以这个方程的每一个解为坐标的点

都是曲线C上的点，而且C上每一个点的坐标中至少有一个坐标能够满足这个方程．

4．求曲线的极坐标方程

和直角坐标系中一样，在极坐标系中求曲线的极坐标方程的主要方法有直接法、转移法和参数法，

每种方法的计算步骤与直角坐标系完全类似，只需把步骤中的直角坐标(x，y)改成极坐标(ρ，θ)

就可以了．求曲线的极坐标方程，经常要用正、余弦定理三角形面积公式和有关三角知识．

5．常见曲线的极坐标方程

(1)经过极点倾斜角为α的直线方程为θ=α和θ=α+π；

(2)与极轴平行并与极轴距离为a(a＞0)的直线方程为ρsinθ=±a；

(3)与极轴垂直(含极轴所在直线)与极点距离为b(b＞0)的直线方程ρcosθ=±b；

(4)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为ρ=r；

(5)圆心在O′(ρ0，θ0)，半径为r的圆的极坐标方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ02-r2=0；

当0＜e＜l时，方程表示椭圆，

当e=1，θ≠2kπ时方程表示抛物线，

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*(7)等速螺线方程

(二)极坐标²习题解法提要

(1)极坐标系是用长度和角度来确定平面内点的位置的一种坐标系，通常点的极坐标(ρ，θ)中，ρ

取非负值，表示极点O到点A的距离，极角θ采用弧度制．必要时，ρ也可取负值．极坐标平面上

同一点的极坐标有无数种表示法，即若(ρ，θ)是一个点的极坐标，则(ρ，2kπ+θ)，[-ρ，(2k+1)

π+θ](k∈Z)都是此点的极坐标．

(2)在极坐标系中，由于曲线上同一点有不同的坐标，故对于一条曲线的同一极坐标方程，点的坐标

中有的满足该方程，有的则不一定满足；但曲线上点的极坐标中应至少有一个满足此曲线的这一方

程．同一曲线的极坐标方程也可能不止一种形式．

(3)由于极坐标是用长度和角度来表示的，故在求曲线的极坐标方程时，常构造三角形，利用三角形

中的边角关系及三角函数的有关公式求出ρ和θ的关系式，即曲线的方程．

求曲线的极坐标方程的基本方法有：

①直接法：建立极坐标系，根据动点的运动规律，列出动点的极径ρ与极角θ间的关系式，化简整

理得出极坐标方程ρ=f(θ)．同时应注意θ的取值范围．

②代入法：若已知Q点的轨迹方程和动点P与Q点的相关关系，则可先求出P，Q的极坐标间的关系

式，再将关系式代入Q点满足的极坐标方程中，求出P点的轨迹的极坐标方程．

③先求曲线的普通方程，再转化为极坐标方程．

(4)在同一平面内建立的一个极坐标系和一个直角坐标系，当极点与坐标原点重合，极轴与x轴正半

轴重合时，平面上任一点P的极坐标(ρ，θ)与直角坐标(x，y)之间存在下列关系：

(5)常见曲线的极坐标方程：

(i)直线

①过极点、倾斜角为α的直线：θ=α(ρ∈R)

②与极轴垂直的直线：ρcosθ=a

③与极轴平行的直线：ρsinθ=a

④倾斜角为α、极点到它的距离在d的直线：ρsin(α-θ)=d

(ii)圆

①圆心在极点、半径为a的圆：ρ=a

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②过极点、圆心为(a，0)、半径为|a|的圆：ρ=2acosθ

④圆心为C(ρ0，θ0)，半径为r的圆：

(iii)圆锥曲线的统一的极坐标方程

其中e为离心率，p为焦点到对应准线的距离．

①当0＜e＜1时，方程表示极点为左焦点，极轴所在直线为对称轴的椭圆；

②当e=1时，方程表示极点为焦点，开口向右的抛物线；

③当e＞1时，方程表示极点为右焦点，极轴所在直线为对称轴的双曲线．ρ＞0时，为右支；ρ＜

0时，为左支．

椭圆的极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)是以左焦点F1为极点O，射线F1F2为极轴，依据椭圆的第二定

义得来

此时极点到椭圆的左准线是p,椭圆的任意点P（ρ，θ)满足

ρ/(p+ρcosθ)=e

--->ρ=ep+eρcosθ

--->ρ(1-ecosθ)=ep

--->ρ=ep/(1-ecosθ)(01就是双

曲线方程】

何量一般有两种方法：

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极坐标²双基知识导学

1．点的极坐标：

(1)点M(ρ，θ)的极坐标通式是

(ρ，θ+2nπ)或(-ρ，θ+2nπ+π)，n∈Z．

(2)限定ρ＞0，0≤θ＜2π或-π＜θ≤π，那么除极点外，平面内的点和极坐标(ρ，θ)一一对应．

2．极坐标和直角坐标互化公式是

这两组公式必须满足下面的“三同条件”才能使用：原点与极点重合；x轴正半轴与极轴重合；长

度单位相同．

3．曲线极坐标方程的特性：

=0上的充分不必要条件．

4．直线、圆的极坐标方程：

(1)直线：θ=α，ρcosθ=±α，ρsinθ=±α，ρcos(θ-α)=P，ρsin(θ-α)=P．

(2)圆：ρ=α，ρ=αcosθ，ρ=αsinθ，ρ=αcos(θ-α)，ρ=αsin(θ-α)，„

1．高考命题分析

主要考极坐标与直角坐标的互化，以及对直线和圆的极坐标方程的理解和掌握。

2．典型题例析

【例1】在极坐标系中，点（ρ，θ）与（-ρ，π-θ）的位置是_______。[]

A．关于极轴所在直线对称

B．关于极点对称

D．重合

分解点（-ρ，π-θ）与点（ρ，-θ）是同一个点，它与点（ρ，θ）关于极轴所在直线对称，

所以选A。

______，适合ρ＜0，-2π＜θ≤0的极坐标是______。

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★说明一般地，为了求出点（ρ，θ）满足一定条件的极坐标，可写出它的极坐标的一般形式，

再根据ρ和θ的条件确定k的值，从而得到所要求的坐标。

【例3】如图13-2所示，点A在直线x=5上移动，等腰△OPA的顶角∠OPA为120°（O，P，A按顺

时针方向排列），求点P的轨迹方程。

解取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x=5的方程为

ρcosθ=5

设P（ρ，θ），A（ρ0，θ0），则

代入ρ0cosθ0=5，得

此即为P点的轨迹的极坐标方程。

证明取原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则双曲线的方程为

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