焦半径公式

1

焦半径公式的三角形式及其应用

重庆清华中学张忠

焦半径是圆锥曲线中很重要的几何量，与它相关的问题是各类考试的热点，常考常新，

故值得我们进一步总结与研究。

焦半径公式的代数形式：设

21

,FF是曲线的左、右焦点，点),(

00

yxP在曲线上，记

11

PFr、

22

PFr为左、右焦半径。则在椭圆中：

0201

,exarexar；在双曲

线中：aexraexr

0201

,；在抛物线)0(22ppxy中：

20

p

xr。

若焦点在y轴上时，则把相应的

0

x改为

0

y即可。因应用情形比较常见，不再叙述。，

本文介绍它的三角形式及其应用。

定理1：若椭圆的离心角为θ，则(1)|PF1|＝a＋ccosθ；(2)|PF2|＝a－ccosθ．

证明：∵椭圆的离心角为θ，由椭圆参数方程知点P的横坐标为acosθ，依焦半径的代

数形式知：|PF1|＝a＋exp＝a＋ea·cosθ＝a＋c·cosθ,|PF2|＝a－exp＝a－c·cosθ．

例1.F1、F2是椭圆＋y2＝1的左右焦点，点

P在椭圆上运动，则|PF1|·|PF2|的最大值是______，最小值是_________．(1996

年第七届“希望杯”赛)

解：设椭圆的离心角为θ，又知a＝2，c2＝3，由定理1得

|PF1|c·|PF2|＝a2－c2cos2θ＝4－3cos2θ

∵0≤cos2θ≤1故知|PF1|c·|PF2|max＝4－3·0＝4

|PF1|·|PF2|min＝4－3·1＝1

例2.椭圆的左右焦点为F1、F2，试问此椭圆的离心率e在什么值范围内，椭圆上恒存在点

2

P，使得PF1⊥PF2。

解：设椭圆方程为b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)，离心角为θ，依题设、定理1及勾股定理得

(2c)2＝(a－ccosθ)2＋(a＋ccosθ)2化简得cos2θ＝

．

∵0≤cos2θ≤1，∴0≤2－

≤1，结合0＜e＜1得

3

≤e＜1为所求。

定理2：在圆锥曲线中，准线在焦点右侧时，焦半径

cos1e

ep

PF



，这里为x轴到直

线PF的角，p为焦准距，在椭圆和双曲线中，因

c

b

p

2

，

cos

2

ca

b

PF



。准线在焦

点左侧时，

cos1e

ep

PF



，在椭圆和双曲线中，

cos

2

ca

b

PF



。准线在焦点上方

或下方时，只需将视为y轴到直线PF的角即可。

证明：则在圆锥曲线中，有以下几种情形：

1．准线在焦点右侧；

2．准线在焦点左侧；

3．准线在焦点上方；

4．准线在焦点下方；

对于情形1：准线在焦点右侧，如下图1，设点

),(

00

yxP在圆锥曲线上，F是焦点，QH

是准线所在直线，

x

轴到直线PF的角为，过点P作QQHPQ于，过点F作

HQHFH于，则：

PQePF，cosPFFHPQ，可得

cos1cos1e

ep

e

FHe

PF







，这里p为焦准距，在椭圆和双

曲线中，

c

b

p

2

。

4

具体化到椭圆和双曲线中，有公式

cos

2

ca

b

PF



，抛物线中，有公式

cos1



p

PF；

对于情形2，如下图，准线在焦点左侧，同理可得：

cos1cos1e

ep

e

FHe

PF







，这里p为焦准距，在椭圆和双曲

线中，

c

b

p

2

。

具体化到椭圆和双曲线中，有公式

cos

2

ca

b

PF



，抛物线中，有公式

cos1



p

PF；

对于情节形3、4，如下两图，只需将上两种情形中的的几何意义改为y轴到直线PF

的角即可。

下面看角焦半径公式在高考中的应用：

例3．(07、重庆)过双曲线C：

422yx的右焦点F作倾斜角为0105的直线，与双曲线

C交于A、B两点，则|AF|·|BF|＝___________；

解：由题设有：2ba，2e，2

2



a

b

ep

|AF|＝

0105cos21

2

cos1





e

ep

，|BF|＝

0105cos21

2





5

|AF|·|BF|＝

02105cos21

4



＝

3

38

30cos

4

)210cos1(1

4

00





．

例4．（07.重庆理22）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程

为：x=12。

（1）求椭圆的方程；

（2）在椭圆上任取三个不同点

321

,,PPP，使

133221

FPPFPPFPP，证明

||

1

||

1

||

1

321

FPFPFP

为定值，并求此定值。

解：（I）设椭圆方程为

22

22

1

xy

ab

．因焦点为(30)F，，故半焦距3c．

又右准线l的方程为

2a

x

c

，从而由已知

2

21236

a

a

c

，，

因此6a，222733bac．故所求椭圆方程为

22

1

3627

xy

．

（II）记椭圆的右顶点为A，并设

ii

AFP（i1，2，3），不失一般性，

假设

1

2

0

3





≤，且

21

2

3





，

31

4

3





．

又设点

i

P在l上的射影为

i

Q，因椭圆的离心率

1

2

c

e

a

，从而有

2

cos

iiiii

a

FPPQecFPe

c











g

1

(9cos)

2ii

FP(123)i，，．

解得

121

1cos

92i

i

FP











(123)i，，．

X

OF

Y

2

P

1

P

3

P

l

6

因此

111

123

1112124

3coscoscos

9233FPFPFP























，

而

111

24

coscoscos

33













11111

1313

coscossincossin0

2222

，

故

123

1112

3FPFPFP

为定值．

例5.（07.重庆文21）如右图，倾斜角为a的直线经过抛物线xy82

的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。

（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，

证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。

解：（Ⅰ）设抛物线的标准方程为pxy22，则

82p

，从而

.4p

因此焦点

)0,

2

(

p

F

的坐标为（2，0）.

又准线方程的一般式为

2

p

x

。

从而所求准线l的方程为

2x

。

（Ⅱ）解法一：如图（21）图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知

|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.

记A、B的横坐标分别为x

x

x

z

，则

|FA|＝|AC|＝

4cos||

22

cos||

2

aFA

pp

aFA

p

x

x

解得

a

FA

cos1

4

||





，

类似地有

aFBFBcos||4||

，解得

a

FB

cos1

4

||





。

记直线m与AB的交点为E，则

a

a

aa

FBFA

FBFA

FAAEFAFE

2sin

cos4

cos1

4

cos1

4

2

1

|)||(|

2

1

2

||||

||||||||

























所以

a

a

FE

FP

2sin

4

cos

||

||。

故

8

sin

sin2·4

)2cos1(

sin

4

2cos||||

2

2

2



a

a

a

a

aFPFP

。

解法二：设

),(

AA

yxA，),(

BB

yxB，直线AB的斜率为

aktan

，则直线方程为

7

)2(xky

。

将此式代入xy82,得04)2(42222kxkxk，故

2

2)2(

k

kk

xx

BA





。

记直线m与AB的交点为

),(

EE

yxE

，则

2

2)2(2

2

k

k

xx

xBA

E









，

k

xky

EE

4

)2(

，

故直线m的方程为





















2

24214

k

k

x

kk

y

.

令y=0,得P的横坐标

4

42

2

2







k

k

x

P

故

ak

k

xFP

P

22

2

sin

4

)1(4

2||





。

从而

8

sin

sin2·4

)2cos1(

sin

4

2cos||||

2

2

2



a

a

a

a

aFPFP

为定值。

例6．（08、安徽）设椭圆C：

22

22

1

xy

ab

(a＞b＞0)其相应于焦点F(2，0)的准线方程为

4x．(1)求椭圆C的方程；（2）已知过点

1

F(－2，0)倾斜角为的直线交椭圆C于A、B

两点，求证：|AB|＝

2cos2

24



；(3)过点

1

F(－2，0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C

于点A、B和D、E，求|AB|＋|DE|的最小值．

解：(1)椭圆C的方程为

22

1

84

xy

；

(2)

1

F(－2，0)是椭圆C的左焦点，离心率

2

2

e，设L为椭圆的左准线，则L：x＝－4．作

1

AA⊥L于

1

A，

1

BB⊥L于

1

B，L与

x

轴交于点H．∵点A在椭圆上，

11

2

2

AFAA∴

11

2

(cos)

2

HFAF

1

2

2cos

2

AF

1

2

2cos

AF







，同理

1

2

2cos

BF







11

2

2242

2cos

2cos2cos

ABAFBF











∴．

8

（3）设

x

轴到直线AB的角为，由于,DEAB由（2）可得

2

42

2cos

AB







，

2

42

2sin

DE









2222

2

4242122122

1

2cos2sin2sincos

2sin2

4

ABDE











当

3

44



或时，ABDE取得最小值

162

3

．

例7．（05、全国2）P、Q、M、N四点都在椭圆1

2

2

2

y

x上，F为椭圆在y轴正半轴上

的焦点．已知PF与FQ共线，MF与

FN

共线，且PF·MF＝0，求四边形PMNQ的面

积的最大值和最小值．

解：y轴到直线PF的角为（0≤θ≤

2



）．22a，b＝1，c＝1，

2

2

e，p＝

a

b2

＝

2

2

．由公式直接有：|PQ|＝

|cos

2

1

1|

2

2

·2

2

＝

2cos2

22



，

同理：|MN|＝

2sin2

22



．∵PQ⊥MN，∴

PMQN

S＝

2

1

·|PQ|·|MN|

PMQN

S＝

2

1

·

2cos2

22



·

2sin2

22



＝

2)2(sin

4

1

2

4



．

由0≤θ≤

2



,所以0≤sin2θ≤1

9

16

≤

PMQN

S≤2．

例8．（07、安徽）已知抛物线G：x²＝4y的焦点为F．（1）过点P（0，－4）作抛物线的

切线，求切线方程；（2）设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足

FA·FB＝0．延长AF、BF分别与抛物线G交于点C、D，求四边形ABCD

的面积的最小值．

解：(1)设切点为Q(

0

x,

4

2

0

x

)．由y´＝

2

x

，知在点Q处的切线斜率k＝

2

0

x

．故

9

所求切线方程为：y－

4

2

0

x

＝

2

0

x

(x－

0

x)．即y＝

2

0

x

x－

4

2

0

x

．因为点P（0，－4）在切线上，

所以：－4＝

2

0

x

·0－

4

2

0

x

，求得

0

x＝±4．所求切线方程为：y＝±2x－4．

（2）设y轴到直线AC的角为θ．e＝1,p＝2，由公式有：|AC|＝

|cos·11|

2·2

22－

＝

2sin

4

，

同理可得：

|BD|＝

2cos

4

，∵FA·FB＝0，∴AC⊥BD，所以：

ABCD

S＝

2

1

·|AC|·|BD|＝

2

1

·

2sin

4

·

2cos

4

＝

2sin

32

2

≥32．所以

ABCD

S的最小值为32．

附同类练习题：

题1.（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线

的右焦点为

10

，过

且斜率为

的直线交

11

于

两点。若

12

，则

的离心率为（）

13

14

解:选。

15

题2.（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆

的离心率为

。过右焦点且斜率为

16

的直线于

相交于

两点，若

17

，则

（）

18

19

解:选。

20

题3.（08高考江西卷理科第15题）过抛物线

的焦点作倾斜角为

的直线，与抛物线交于

21

两点（点

在

22

轴左侧），则有

＿＿＿＿

23

图3

解:。

24

题4.（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知

是椭圆

的一个焦点，

25

是短轴的一个端点，线段

的延长线交

于点

26

，且

，则

的离心率为＿＿＿

27

解:。

28

题5（自编题）已知双曲线的离心率为

，过左焦点

且斜率为

29

的直线交

的两支于

两点。若

30

，则

＿＿＿

解:

3

3

k。

31

推论：已知点和直线

是离心率为

的圆锥曲线

32

的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准

线的距离）为。过点

的弦

33

与曲线

的焦点所在的轴的夹角为

34

，则有

。

35

证明：设点在准线

上的射影分别为

，过点

36

作轴

的垂线交直线

于点

37

，交直线

于点

。由圆锥曲线的统一定义得，

38

，所以

。

39

图4

40

（1）当焦点内分弦

时。如图4，

，

41

。

，

42

所以较长焦半径，较短焦半径

。

43

所以。

44

（2）当焦点外分弦

时（此时曲线为双曲线）。

45

图5

46

如图5，，

。

47

所以，

48

所以较长焦半径，较短焦半径

。

49

所以。

50

综合（1）（2）知，较长焦半径，较短

焦半径。焦点弦的弦长公式为

。

51

特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距

就是通径之半，较长焦半径

，较短焦半径

52

，焦点弦的弦长公式为

。当曲线为有心曲线即为椭圆或双曲线时，

焦准距为。

53

注由上可得，当焦点内分弦

时，有

54

。当焦点

外分弦

55

时，有

。

56

例1.（2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线

的焦点

作倾斜角为

57

的直线，交抛物线于

两点，若线段

58

的长为8，则

＿＿＿

59

解.由抛物焦点弦的弦长公式为得，

，解得

。

60

例2.（2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆

的右焦点为

，经过

61

且倾斜角为

的直线

与椭圆相交于不同两点

62

，已知

。

63

（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆方

程。

64

解:（1）这里，

，由定理1的公式得

65

，解得

。

66

（2）将，代入焦点弦的弦长公式得，

，解得

，即

67

，所以

①，又

，设

68

，代入①得

，所以

，所以

69

，故所求椭圆方程为

。

70

例3.（由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线

的右焦点

作倾斜角为

71

的直线，交双曲线于

两点，则

的值为＿＿＿

72

解:因为，离心率

，点准距

，因倾斜角为

73

，所以

。注意到

74

分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得，

。