圈r

PureMathematics理论数学,2020,10(7),623-630

:///journal/pm

/10.12677/pm.2020.107075

文章引用:解承玲,马海成.一类特殊三圈图的正负惯性指数和零度[J].理论数学,2020,10(7):623-630.

DOI:10.12677/pm.2020.107075

PositiveandNegativeInertiaIndexes

andNullityofOneSpecialKinds

ofTricyclicGraphs

ChenglingXie*,HaichengMa

DepartmentofMathematics,QinghaiUniversityforNationalities,XiningQinghai

Received:Jun.19th,2020;accepted:Jul.9th,2020;published:Jul.16th,2020

Abstract

Bydeletingpendanttreesandcompressinginternalpaths,amethodofcalculatingthepositive

andnegatndof

ovedthatthepositiveandnegativeiner-

tiaindexesandnullityofI-typetricyclicgraphsareequaltothesumofsometrees,unicyclic

itiveandnegativeinertiaindexesandnullityofII-typetricyclic

itiveandnegativein-

ertiaindes

provedthataconjectureaboutsigndifferenceistrueforthiskindofthree-cyclegraph.

Keywords

TricyclicGraphs,PositiveInertiaIndex,NegativeInertiaIndex,Nullity

一类特殊三圈图的正负惯性指数和零度

解承玲

*

，马海成

青海民族大学，数学与统计学院，青海西宁

收稿日期：2020年6月19日；录用日期：2020年7月9日；发布日期：2020年7月16日

摘要

通过删除悬挂的树和压缩内部路等方法，给出了一类特殊三圈图的正负惯性指数和零度的计算方法。这

*

通讯作者。

解承玲，马海成

DOI:10.12677/pm.2020.107075624

理论数学

类三圈图可分为I-和II-两个类型，我们得到以下结论：I-型三圈图的正负惯性指数(零度)等于一些树、单

圈图和双圈图的正负惯性指数(零度)之和；II-型三圈图的正负惯性指数(零度)等于一些树和一些小的同

类三圈图的正负惯性指数(零度)之和；对于那些小的三圈图的正负惯性指数和零度可以利用软件Matlab

得到；还验证了对这类三圈图一个关于符号差的猜想成立。

关键词

三圈图，正惯性指数，负惯性指数，零度

Copyright©2020byauthor(s)andHansPublishersInc.

ThisworkislicendundertheCreativeCommonsAttributionInternationalLicen(CCBY4.0).

/licens/by/4.0/

1.引言

设G是一个n阶图，G的邻接矩阵的特征值的全体构成G的谱。图的谱在分子轨道、量子化学和电子

工程等领域内有着广泛的应用，其研究是代数图论的一项重要内容，其成果已经形成多部专著。在图的谱

中正特征根的个数、负特征根的个数和零特征根的个数分别称为G的正惯性指数、负惯性指数和零度[1][2]，

并分别记作()pG

、()nG

、()Gη。易知()()()pGnGGnη++=

；G的秩代表着非零特征根的个数；正特

征根与负特征根的个数之差称为G的符号差。在化学中，用图可以表示一个共轭烃分子，称其为该分子的

分子图。分子图的零度(或秩)在化学中有许多重要的应用。例如，一个分子化学性质的稳定性的一个满足

条件之一就是其图的零度等于零。在1957年，Collatz和Sinogowitz在文献[3]中首次引入刻画所有奇异图

的问题，这个问题引起了很多数学家和化学家的兴趣。在数学中，由著名的Graham-Pollak定理[4]知，图

的负惯性指数不大于图的完全二部图分解数。因此，图的惯性在图的二部分解和星分解方面有很多应用。

许多图论学者对各类图的正负惯性指数和零度做过大量的研究[5]-[11]，并取得出了很多结论。文献[2]讨论

了树、单圈图、双圈图的正负惯性指数和零度，并给出了它们的计算方法，与此同时作者首次提出了图符

号差的猜想。文献[10][11]对于三类三圈图的正负惯性指数和零度进行了研究，并验证了关于图的符号差猜

想对这三类图成立。本文讨论了另一类结构相对复杂的三圈图(即ψ)的正负惯性指数和零度，并给出了计

算这类三圈图的正负惯性指数和零度的方法，此外检验了这类三圈图对于图的符号差猜想是成立的。

文章中出现的图都是简单无向图。设()()(),GVGEG=

是n阶图，()VG

表示{}1

,,

n

vv

图G的顶点

集，()EG

是图G的边集。设W是图G的一个非空点子集，用[]GW

表示由点子集W导出的子图，用GW−

表示从G中删去W中的点以及与W中的点相关联的所有边后得到的图。用

12

GG表示两个顶点集不相

交，称边数等于顶点数加上—1(0,1,2)的连通图为树(单圈图，双圈图，三圈图)。

三条内部不相交的路

,,

lmn

PPP

的两个端点分别黏结成两个点后得到的图叫θ-图，记为(),,lmnθ，这

里的{}min,,2lmn≥

，且最多有一个等于2。由一条长为

q

P

的路两端上分别黏结图(),,lmnθ的一个3度

点和一个圈

r

C

上的一个点构成的图称为ψ-图，记作(),,,,lmnqrψ(如图1)，这里的

2,3qr≥≥

。根据所

含的圈的类型，三圈图可分为15类，β={所有只包含一个ψ—图作为导出子图的三圈图}是其中的一

类。对于给定的三圈图

Gβ∈

，将G的导出子图ψ-图称作图G的核，记作

G

χ。

2.若干引理

引理1[2]若图

12t

GGGG=

，其中()1,2,,

i

Git=

是图G的连通分支。则

解承玲，马海成

DOI:10.12677/pm.2020.107075625

理论数学

licgraphs(),,,,lmnqrψ

图1.三圈图(),,,,lmnqrψ

()

()

()

()

()

()

111

,,.

ttt

iii

iii

pGpGnGnGGGηη

===

===∑∑∑

引理2[2]设图G中包含一条4个内点的度均为2的长为5的路，将用一条边来替换图G的这条路后

得到的图记为H，则

()()()()()()2,2,.pGpHnGnHGHηη=+=+=

引理3[4]设T是一棵阶数为n的树，那么

()()()()(),2pTnTTTnTµηµ===−

其中，()Tµ为树T的匹配数(即T的最大独立边数)。

设T是一棵树，()vVT∈

，如果存在树T的一个极大匹配不覆盖点v，则称点v为树T的一个未匹

配点；否则，称v为树T的一个匹配点。若树T仅由一个点组成，约定该点是T的未匹配点。

设图

1

G

和n阶图

2

G

不相交，()1

uVG∈

，在

12

GG

中把点u和

2

G

的任意k个点连接后得到的图称

为

1

G和

2

G的关于点u的一个k-连图(1kn≤≤)，记为()12

kGuG。由定义易知，当kn<时，图()12

kGuG

不唯一。

引理4[2]设G为n阶图，树T含有一个可匹配点u，则对每一个正整数()1kkn≤≤

有：

()()()(),kpTuGpTpG=+

()()()(),knTuGnTnG=+

()()()().kTuGTGηηη=+

引理5[2]设G为n阶图，树T含有一个不可匹配点u，则对每一个正整数()1kkn≤≤

有

()()()()()(),kpTuGpTupGupTpGu=−++=++

()()()()()(),knTuGnTunGunTnGu=−++=++

()()()()()()GuTGuηηηηη=−++=++−

引理6[2]设图G的每个分支是树，单圈图或是双圈图，则

()()()()

35

.cGpGnGcG−≤−≤

并且在文献[2]中，作者提出了下面的猜想：

猜想：设G是一个图，则

()()()()

35

.cGpGnGcG−≤−≤

解承玲，马海成

DOI:10.12677/pm.2020.107075626

理论数学

引理7：设

2,3,3,2,3lmnqr≥≥≥≥≥

，且()425lall

′′

=+≤≤

，()425mbmm

′′

=+≤≤

，

()425ncnn

′

=+≤≤

，()425qdqh

′

+≤≤

，()436rerr

′′

=+≤≤

，则

()()()()(),,,,2,,,,;plmnqrabcdeplmnqrψψ′′′′′

=+++++

()()()()(),,,,2,,,,;nlmnqrabcdenlmnqrψψ′′′′′

=+++++

()()()(),,,,,,,,.lmnqrlmnqrηψηψ′′′′′

=

证明：根据引理2，压缩三圈图ψ的内部路即得。

3.主要结果

对于点数相对少的ψ-图(),,,,lmnqrψ(不妨设

2lmn≤≤≤

，其中最多有一个等于2，

2,3qr≥≥

)，

我们利用Matlab软件可计算出它的正负惯性指数和零度(见表1)(此处将图(),,,,Glmnqrψ=

均简记为G，

()pG

，()nG

，()Gη分别简记为p，n，η)。

veandnegativeinertiaindexesandnullityoftricyclicgraph(),,,,lmnqrψ(

2,5,3,,6,lqmnrlmn≤≤≤≤≤≤

)

表1.三圈图(),,,,lmnqrψ的正负惯性指数和零度(

2,5,3,,6,lqmnrlmn≤≤≤≤≤≤

)

GpnηGpnηGpnηGpnη

(2,3,3,2,3)241(2,3,5,3,3)550(2,4,4,4,3)560(2,4,6,5,3)770

(2,3,3,2,4)332(2,3,5,3,4)551(2,4,4,4,4)552(2,4,6,5,4)771

(2,3,3,2,5)441(2,3,5,3,5)660(2,4,4,4,5)670(2,4,6,5,5)880

(2,3,3,2,6)451(2,3,5,3,6)661(2,4,4,4,6)670(2,4,6,5,6)881

(2,3,3,3,3)341(2,3,5,4,3)560(2,4,4,5,3)660(2,5,5,2,3)551

(2,3,3,3,4)342(2,3,5,4,4)552(2,4,4,5,4)661(2,5,5,2,4)552

(2,3,3,3,5)442(2,3,5,4,5)760(2,4,4,5,5)770(2,5,5,2,5)751

(2,3,3,3,6)551(2,3,5,4,6)770(2,4,4,5,6)771

(2,5,5,2,6)761

(2,3,3,4,3)351(2,3,5,5,3)660(2,4,5,2,3)550(2,5,5,3,3)552

(2,3,3,4,4)442(2,3,5,5,4)661(2,4,5,2,4)551(2,5,5,3,4)652

(2,3,3,4,5)551(2,3,5,5,5)770(2,4,5,2,5)660(2,5,5,3,5)761

(2,3,3,4,6)561(2,3,5,5,6)771(2,4,5,2,6)661(2,5,5,3,6)771

(2,3,3,5,3)451(2,3,6,2,3)460(2,4,5,3,3)560(2,5,5,4,3)661

(2,3,3,5,4)452(2,3,6,2,4)551(2,4,5,3,4)552(2,5,5,4,4)662

(2,3,3,5,5)552(2,3,6,2,5)660(2,4,5,3,5)760(2,5,5,4,5)861

(2,3,3,5,6)661(2,3,6,2,6)670(2,4,5,3,6)770(2,5,5,4,6)871

(2,3,4,2,3)440(2,3,6,3,3)560(2,4,5,4,3)660(2,5,5,5,3)662

(2,3,4,2,4)441(2,3,6,3,4)561(2,4,5,4,4)661(2,5,5,5,4)762

(2,3,4,2,5)550(2,3,6,3,5)670(2,4,5,4,5)770(2,5,5,5,5)871

(2,3,4,2,6)551(2,3,6,3,6)770(2,4,5,4,6)771(2,5,5,5,6)881

(2,3,4,3,3)450

(2,3,6,4,3)570(2,4,5,5,3)670(2,5,6,2,3)660

(2,3,4,3,4)442(2,3,6,4,4)661(2,4,5,5,4)662(2,5,6,2,4)661

解承玲，马海成

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理论数学

Continued

(2,3,4,3,5)650(2,3,6,4,5)770(2,4,5,5,5)870(2,5,6,2,5)860

(2,3,4,3,6)660(2,3,6,4,6)780(2,4,5,5,6)880(2,5,6,2,6)870

(2,3,4,4,3)550(2,3,6,5,3)670(2,4,6,2,3)560(2,5,6,3,3)760

(2,3,4,4,4)551(2,3,6,5,4)671(2,4,6,2,4)552(2,5,6,3,4)761

(2,3,4,4,5)660(2,3,6,5,5)780(2,4,6,2,5)760(2,5,6,3,5)870

(2,3,4,4,6)661(2,3,6,5,6)880(2,4,6,2,6)770(2,5,6,3,6)880

(2,3,4,5,3)560(2,4,4,2,3)450(2,4,6,3,3)660(2,5,6,4,3)770

(2,3,4,5,4)552(2,4,4,2,4)442(2,4,6,3,4)661(2,5,6,4,4)771

(2,3,4,5,5)760(2,4,4,2,5)650(2,4,6,3,5)770(2,5,6,4,5)970

(2,3,4,5,6)770(2,4,4,2,6)660(2,4,6,3,6)771(2,5,6,4,6)980

(2,3,5,2,3)450(2,4,4,3,3)550(2,4,6,4,3)670(2,5,6,5,3)870

(2,3,5,2,4)451(2,4,4,3,4)551(2,4,6,4,4)662(2,5,6,5,4)871

(2,3,5,2,5)650(2,4,4,3,5)660(2,4,6,4,5)870(2,5,6,5,5)980

(2,3,5,2,6)660(2,4,4,3,6)661

(2,4,6,4,6)880(2,5,6,5,6)990

(2,6,6,2,3)670(3,3,4,3,3)442(3,4,4,4,3)660(3,5,5,5,3)771

(2,6,6,2,4)662(3,3,4,3,4)542(3,4,4,4,4)661(3,5,5,5,4)772

(2,6,6,2,5)870(3,3,4,3,5)651(3,4,4,4,5)860(3,5,5,5,5)881

(2,6,6,2,6)880(3,3,4,3,6)661(3,4,4,4,6)870(3,5,5,5,6)882

(2,6,6,3,3)770(3,3,4,4,3)551(3,4,4,5,3)760(4,4,4,2,3)560

(2,6,6,3,4)771(3,3,4,4,4)552(3,4,4,5,4)761(4,4,4,2,4)552

(2,6,6,3,5)880(3,3,4,4,5)751(3,4,4,5,5)870(4,4,4,2,5)760

(2,6,6,3,6)881(3,3,4,4,6)761(3,4,4,5,6)880(4,4,4,2,6)770

(2,6,6,4,3)780(3,3,4,5,3)651(3,4,5,2,3)560(4,4,4,3,3)660

(2,6,6,4,4)772(3,3,4,5,4)652(3,4,5,2,4)552(4,4,4,3,4)661

(2,6,6,4,5)980(3,3,4,5,5)761(3,4,5,2,5)760(4,4,4,3,5)770

(2,6,6,4,6)990(3,3,4,5,6)771(3,4,5,2,6)770(4,4,4,3,6)771

(2,6,6,5,3)880(3,3,5,2,3)451(3,4,5,3,3)660(4,4,4,4,3)670

(2,6,6,5,4)881(3,3,5,2,4)443(3,4,5,3,4)661(4,4,4,4,4)761

(2,6,6,5,5)990(3,3,5,2,5)651(3,4,5,3,5)770(4,4,4,4,5)870

(2,6,6,5,6)991(3,3,5,2,6)661(3,4,5,3,6)780(4,4,4,4,6)880

(3,3,3,2,3)332(3,3,5,3,3)551(3,4,5,4,3)670(4,4,4,5,3)770

(3,3,3,2,4)333(3,3,5,3,4)552(3,4,5,4,4)662(4,4,4,5,4)771

(3,3,3,2,5)442(3,3,5,3,5)661(3,4,5,4,5)870(4,4,4,5,5)880

(3,3,3,2,6)443(3,3,5,3,6)662(3,4,5,4,6)880(4,4,4,5,6)881

(3,3,3,3,3)342(3,3,5,4,3)561(3,4,5,5,3)770(4,4,5,2,3)570

(3,3,3,3,4)334(3,3,5,4,4)553(3,4,5,5,4)771(4,4,5,2,4)661

解承玲，马海成

DOI:10.12677/pm.2020.107075628

理论数学

Continued

(3,3,3,3,5)542(3,3,5,4,5)761(3,4,5,5,5)780(4,4,5,2,5)770

(3,3,3,3,6)552(3,3,5,4,6)771(3,4,5,5,6)790(4,4,5,2,6)771

(3,3,3,4,3)442(3,3,5,5,3)661(3,5,5,2,3)561(4,4,5,3,3)670

(3,3,3,4,4)443(3,3,5,5,4)662(3,5,5,2,4)553(4,4,5,3,4)671

(3,3,3,4,5)552(3,3,5,5,5)771(3,5,5,2,5)761(4,4,5,3,5)780

(3,3,3,4,6)553(3,3,5,5,6)772(3,5,5,2,6)771(4,4,5,3,6)880

(3,3,3,5,3)452(3,4,4,2,3)550(3,5,5,3,3)661(4,4,5,4,3)680

(3,3,3,5,4)444(3,4,4,2,4)551(3,5,5,3,4)662(4,4,5,4,4)771

(3,3,3,5,5)652(3,4,4,2,5)750(3,5,5,3,5)771(4,4,5,4,5)880

(3,3,3,5,6)662(3,4,4,2,6)760(3,5,5,3,6)772(4,4,5,4,6)890

(3,3,4,2,3)441(3,4,4,3,3)650(3,5,5,4,3)671(4,4,5,5,3)780

(3,3,4,2,4)442(3,4,4,3,4)651(3,5,5,4,4)663(4,4,5,5,4)781

(3,3,4,2,5)641(3,4,4,3,5)760(3,5,5,4,5)771(4,4,5,5,5)890

(3,3,4,2,6)651(3,4,4,3,6)770

(3,5,5,4,6)881(4,4,5,5,6)990

(4,5,5,2,3)571(4,5,5,4,3)681(5,5,5,2,3)662(5,5,5,4,3)772

(4,5,5,2,4)662(4,5,5,4,4)772(5,5,5,2,4)663(5,5,5,4,4)773

(4,5,5,2,5)771(4,5,5,4,5)881(5,5,5,2,5)772(5,5,5,4,5)882

(4,5,5,2,6)781(4,5,5,4,6)891(5,5,5,2,6)773(5,5,5,4,6)883

(4,5,5,3,3)671(4,5,5,5,3)781(5,5,5,3,3)672(5,5,5,5,3)782

(4,5,5,3,4)672(4,5,5,5,4)782(5,5,5,3,4)664(5,5,5,5,4)774

(4,5,5,3,5)772(4,5,5,5,5)882(5,5,5,3,5)872(5,5,5,5,5)982

(4,5,5,3,6)881(4,5,5,5,6)991(5,5,5,3,6)882(5,5,5,5,6)992

设ψ-型的三圈图G(即

Gβ∈

)，三圈图G的核表示为

G

χ，对每一个点

G

vχ∈

，记{}Gv

为包含点v

且不包含

G

χ上的其他点的图G的最大连通导出子图，易知{}Gv

是一棵树，假如存在点

G

vχ∈使得点v

是{}Gv

的匹配点，则称图G是I—型的，否则称图G是II—型的。

定理1：设三圈图

Gβ∈

，其中

G

χ为图G的核。

1)若G为I-型的，且点v是{}Gv

的一个可匹配点则

(){}(){}(),pGpGvpGGv=+−

(){}(){}(),nGnGvnGGv=+−

(){}(){}().GGvGGvηηη=+−

其中{}Gv

是树，{}GGv−

是一些双圈图，单圈图和树的并。

2)若图G为II-型的，则

()

()(),

GG

pGpGpχχ=−+

()

()(),

GG

nGnGnχχ=−+

()

()().

GG

GGηηχηχ=−+

解承玲，马海成

DOI:10.12677/pm.2020.107075629

理论数学

证明：1)若G是I-型的，点v是{}Gv

的可匹配点，则存在一个正整数{}2,3,4k∈

使得

{}(){}()kGGvvGGv=−

成立，由引理4知

(){}(){}(),pGpGvpGGv=+−

(){}(){}(),nGnGvnGGv=+−

(){}(){}().GGvGGvηηη=+−

其中{}Gv

是树，{}GGv−

是双圈图，单圈图和树的并。

2)若G是II-型且G不是ψ-图，所以H有悬挂点或树，点v为{}Gv

的未匹配点，由引理5有

(){}(){}()(),pGpGvvpGGvv=−+−−

(){}(){}()(),nGnGvvnGGvv=−+−−

(){}(){}()().GGvvGGvvηηη=−+−−

反复运用引理1和引理5有

(){}()()()(),

G

GGG

v

pGpGvvppGp

χ

χχχ

∈

=−+=−+∑

(){}()()()(),

G

GGG

v

nGnGvvnnGn

χ

χχχ

∈

=−+=−+∑

(){}()()()().

G

GGG

v

GGvvG

χ

ηηηχηχηχ

∈

=−+=−+∑

从而结论得证。

文献[2]中作者提出了一个猜想：设G是一个图，则()()()()

35

.cGpGnGcG−≤−≤

接下来的推论验证次猜想对本文所研究的一类三圈图成立。

推论1：设三圈图

Gβ∈

，则

()()()()

35

.cGpGnGcG−≤−≤

证明：设

G

χ是三圈图G的核，

1)若G是I-型的且点v是{}Gv

的匹配点，则

(){}(){}(),pGpGvpGGv=+−

(){}(){}().nGnGvnGGv=+−

其中{}Gv

是树，{}GGv−

是双圈图，单圈图和树的并，由引理6知对于树和双圈图，单圈图和树的并成

立，从而对于三圈图G结论成立。

2)若G为II-型的，由定理1知

()

()(),

GG

pGpGpχχ=−+

()

()().

GG

nGnGnχχ=−+

因为

G

Gχ−是森林，根据树的正负惯性指数相等，得()()pGnG−

等于它的核的正负惯性指数之差，

由引理7和表1中所含图的正负惯性指数之差，可检验()()

GG

pnχχ−

满足结论中的不等式，从而推论成

立。

解承玲，马海成

DOI:10.12677/pm.2020.107075630

理论数学

4.结束语

本文受文献[2]、文献[10]和文献[11]研究思路的启发，在15类三圈图中选取了结构相对复杂的一类(即

β)，讨论了其正负惯性指数和零度。详细数据可在本文给出的表格中查询(即表1)。最后在前人研究的

基础上，验证了图的符号差猜想对于本文所研究的这类三圈图也成立。

基金项目

国家自然科学基金(11561056,11661066)，青海省自然科学基金(2016-ZJ-914)资助。

参考文献

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