参数方程t的几何意义

1

专题:直线参数方程中的几何意义几点分析与解析

一．知识点概述：

★若倾斜角为α的直线过点)(

00

yxM，，t为参数，则该直线的参数方程可写为

★若直线过点M，直线与圆锥曲线交于两点P、Q，则

|MP|、|MQ|的几何意义就是：||||||||

21

tMQtMP，；

|MP|+|MQ|的几何意义就是：||||MQMP

|t||t|

21

；

|MP|·|MQ|的几何意义就是：||||||

21

ttMQMP；

|PQ|的几何意义就是：

21

2

212121

4)(|||PQ||||PQ|tttttttt，即.

★若过点M)(

00

yx，、倾斜角为α的直线l与圆锥曲线交于A、B两点，则弦的中点坐标公式为：































2

)sin()sin(

2

2

)cos()cos(

2

2010

21

'

2010

21

'





tyty

yy

y

txtx

xx

x

或



































)(

22

)()(

2

)(

22

)()(

2

21

2

0

220120

21

'

21

1

0

210110

21

'

tt

p

y

tpytpy

yy

y

tt

p

x

tpxtpx

xx

x

，

21

pp，为常数，均不为零

(其中中点M的相应参数为t，而

2

21

tt

t



，所以中点坐标也为：











tpyy

tpxx

20

10

)

★若过点M

)(

00

yx，、倾斜角为α的直线l与圆锥曲线交于A、B两点，且M恰为弦AB中点，

则中点M的相应参数：

2

21

tt

t



=0

（因为











tpyy

tpxx

200

100

，而

21

pp，均不为0，所以t=0）

体会一：教学中一定要讲清楚直线参数方程的推导过程，并且一定要强调其中参数T的由来。

实际上由新课程标准人教A版数学选修课本中坐标系与参数方程的内容我们知道，平面内过定点

),(

000

yxp、倾斜角为的直线l的参数方程的标准形式为















sin

cos

0

0

tyy

txx

（t为参数），其中t表示直线l上

以定点

0

p

为起点，任意一点P（x，y）为终点的有向线段PP

0

的数量，当P点在

0

p

上方时t为正，当P点在

0

p

下方时t为负。

体会二：教学中必须要强调参数T的几何意义及两个结论的引导应用示范。

实际上在教学中我们知道，由直线参数方程的推导过程及向量模的几何意义等知识，很容易得参数t具有如

下的两个重要结论：如果我们假设直线l上两点A、B所对应的参数分别为

BA

tt和，则：

2

第一：A、B两点之间的距离为

BABABA

ttttttAB4)(||||2，特别地，A、B两点到

0

p的距离分别为

.|||,|

BA

tt

第二：A、B两点的中点所对应的参数为

2

BA

tt

，若

0

p是线段AB的中点，则0

BA

tt，反之亦然。

在解决坐标系与参数方程这一选考题，特别是直线的参数方程与曲线的参数方程或是极坐标方程有关的内容

的题目，最典型的是涉及直线与圆锥曲线相交所得的弦和弦长、或是求一点到某点的距离为定值、求弦的中点等

有关方面的题目时，如果我们能够充分利用参数t的上述两个重要结论的话，我们的解题速度和解题正确率、得

分率将得到的大大提高，我们的解题水准也必将得到巨大的提升。

1、例如在求解与距离有关的题目时我们可以用结论一：

例1、直线l过点

)0,4(

0

P，倾斜角为

6



，且与曲线C：7相交于A、B两点。

（1）求弦长AB.（2）求

AP

0

和

BP

0

的长（3）

AP

0

•

BP

0

解：（1）因为直线l过点

)0,4(

0

P，倾斜角为

6



，所以直线l的参数方程为



















6

sin0

6

cos4





ty

tx

，即



















ty

tx

2

1

2

3

4

，（t为参数），而曲线C是圆

722yx，于是将直线的参数方程代入圆C的方

程，得

7)

2

1

()

2

3

4(22tt，整理得

09342tt

有参数T的几何意义设A、B所对应的参数分别为

21

,tt，则

34

21

tt

，9

21

tt，

所以||||

21

ttAB.324)(

21

2

21

tttt

（2）解：由第一问解方程

09342tt

得，

3,33

21

tt

，有参数的几何意义同理可得

AP

0

33||

1

t

，BP

0

.3||

2

t

（3）由于是由第一问的求解过程可知

AP

0

BP

0

=9

21

tt

2、再如在求解与点的坐标有关的题目时可以用结论二：

例2、已知直线l过点

)8,4(

0

P，倾斜角为

3



，求出直线l上到点

0

P

的距离为5的点的坐标。

解：因为直线l过点

)8,4(

0

P

，倾斜角为

3



，所以直线l的参数方程为



















3

sin8

3

cos4





ty

tx

，即



















ty

tx

2

3

8

2

1

4

，（t为参数），（1）

3

设直线l上与已知点)8,4(

0

P相距为5的点为P点，且P点对应的参数为t，则

||

0

PP5||t，所以5t，将t的值代入（1）式，

当t＝5时，M点的坐标为

)

2

35

8,

2

13

(；当t＝－5时，M点的坐标为)

2

35

8,

2

3

(，

综上，所求P点的坐标为)

2

35

8,

2

13

(或)

2

35

8,

2

3

(.

点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求P点的坐标需要将直线方程代入曲线方程，消元后

再用根与系数的关系，中点坐标公式来求解，相当麻烦，而我们使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意

义求P点的坐标就显得比较容易。

3、解决有关弦的中点问题时也可以用性质二

例3、过点

)0,1(

0

P，倾斜角为

4



的直线l和曲线线











22ty

tx

相交于M、N两点，求线段MN的中点P的坐标。

解：直线l过点

)0,1(

0

P，倾斜角为

4



，所以直线l的参数方程为



















ty

tx

2

2

2

2

1

，（t为参数），因为直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程

xy22中，得：)

2

2

1(2)

2

2

(2tt，整理得022

2

1

2tt，

06)2(

2

1

4)2(2，设这个二次方程的两个根为

21

,tt，

由韦达定理得

22

21

tt

，由P为线段MN的中点，根据t的几何意义，得

2

2

21





tt

t

p

，易知中点M所对应的参数为

2

M

t

，将此值代入直线的参数方程得，M点的坐标为（2，1）

点评：对于上述直线l的参数方程，M、N两点对应的参数为

21

,tt，则它们的中点所对应的参数为.

2

21

tt

t





将参数值代入直线参数方程后很快就可得到答案，这将十分方便快捷。

再如例4：过双曲线

1

169

22



yx

的右焦点F作倾斜角为45的直线L与双曲线交于A,B两点，M是AB的中点，

求|MF|。

如果用传统的解法则是

解：方法一依题意a=3,b=4,c=5所以F(5，0)，又直线l的倾斜角为45度所以k=1

5xyl的方程为

整个解答过程将会比较繁琐，因为传统的解法必须要将直线方程与曲线方程联立，消元后用根与系数的关系及终

4

点坐标公式才能求解。

解法2：依题意l的参数方程为：

小结：方法二：用参数方程求解，且灵活运用参数t的几何意义，使求解过程变得简洁，不容易出错，

如果我们在教学中能多引导学生从这些方面思考，那么我们教起来轻松，学生学起来也将会更容易。

体会三：两个性质在用的过程中要注意参数T取非单位向量时候的处理转化。

从上面的例子不难看出，这两个性质的确好用，但是我们在教学中一定要要注意下面例子中的问题就需要

对参数T所取的单位长度作转化：

例如：已知曲线的方程是)

4

cos(2



，直线L的方程是











ty

tx

31

41

若直线与曲线相交与A、B两点，

求AB弦长。

解法1：解：直线方程可以化简为：

0143yx

，而曲线的方程可化简为：022yxyx将直线方程

代入曲线方程，消去一个未知数y后可得关于

x

的一元二次方程，由点到直线的距离公式及，弦心距，半径，半

弦长之间构成直角三角形可以解得

5

7

AB

解法2：将直线的参数方程代入曲线方程，则可以得到一个关于t的一元二次方程：07252tt如果还是用以

前的有参数t的几何意义的话将会求得AB的弦长为

25

7

0

25

7

4)(||||

2

2







BABABA

ttttttAB

这一结果与上述结果为何会不一样呢？两种解法所得的结果是哪一种对呢？当然答案是第一种解法的对，实

际上这就是在推导直线的参数方程时一定要注意到直线参数方程中参数T的几何意义的问题，实际上，在上述题

目中我们的参数T是选取了模为5的向量当作了单位向量，而非模为1的向量为单位向量，但是在解题过程中多

数同学甚至是老师也不会注意到这一细节，所以在涉及到直线参数方程，曲线的极坐标方程的问题时我们一定要

注意到直线参数方程中参数T的几何意义的探究，如上题中的直线方程











ty

tx

31

41

中由于直线的参数方程标准

形式















sin

cos

0

0

tyy

txx

中t的系数无论是

cossin还是，都只能在1,1上取值一旦t的前面的系数超过了区间1,1则要考虑参数t是多少个单位长

度为单位向量。于是在上面的解答中我们只要在

25

7

AB的基础上乘以直线参数方程











ty

tx

31

41

中t的模5

即可以得到正确答案即

5

7

5

25

7

AB。

如果我们能在我们在教学中注意到了这样的问题，点清了问题的实质所在。也就是强调解释清楚了参数T的几

何意义，并用适当的例子进行了纠错练习，那么学生的学习效果必然是好的。我们的解题速度和解题正确率、得

分率也将得到大大的提高，我们的解题水准也必将得到巨大的提升。