共轭双曲线

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双曲线的概念及性质

一，定义：

平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|）的轨迹

问题：（1）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（等于|F1F2|）的轨迹是什么？

（2）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（大于|F1F2|）的轨迹是什么？

（3）若a=0，动点M的是轨迹什么？

①当||MF1|-|MF2||=2a<|F1F2|时，M点轨迹是双曲线（其中当|MF1|-|MF2|=2a时，M点

轨迹是双曲线中靠近F2的一支；当|MF2|-|MF1|=2a时，M点轨迹是双曲线中靠近F1的一

支）；

②当||MF1|-|MF2||=2a=|F1F2|时，M点轨迹是在直线F1F2上且以F1和F2为端点向外的

两条射线。

③当||MF1|-|MF2||=2a>|F1F2|时，M点的轨迹不存在。

④当||MF1|-|MF2||=2a=0时，M点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线。

二，双曲线的标准方程

首先建立起适当的直角坐标系，以

1,2

FF所在的直线为

x

轴，

1,

FF的垂直平分线为y轴，

根据定义可以得到:2222

12

()()2xcyxcyaFF化简此方程得

22222222()caxayaca，令222cab得：

22

22

1

xy

ab

，其中

1

F,0c

为左焦点，

2

F,0c为右焦点

思考：若焦点落在Y轴上的时候，其标准方程又是怎样的？

三，双曲线的性质

以双曲线标准方程1

2

2

2

2



b

y

a

x

，)0(222acbac为例进行说明.

1．范围:观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线

ax的外侧.

由标准方程可得22ax，当ax时，y才有实数值；对于y的任何值，x都有实数

值这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，

y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线

2.对称性：双曲线不封闭，但仍具三个对称性，称其对称中心为双曲线的中心

3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点，令0y得ax，因此双曲线和

x

轴有两个交点

)0,()0,(

2

aAaA，它们是双曲线1

2

2

2

2



b

y

a

x

的顶点,对称轴上位于两顶点

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x

y

Q

B

1

B

2

A

1

A

2

N

M

O

间的线段

21

AA叫做双曲线1

2

2

2

2



b

y

a

x

的实轴长，它的长是2a，a叫半实轴长

但y轴上的两个特殊点bBbB,0),,0(

21

，在双曲线中也有非常重要的作用把线段

21

BB叫做双曲线的虚轴，它的长是2b，b叫做虚半轴长

实轴：

21

AA长为2a，a叫做半实轴长.

虚轴：

21

BB长为2b，b叫做虚半轴长.

4．渐近线：经过

2121

BBAA、、、作x轴、y轴的平行线byax,，围成一个矩形，

其对角线所在的直线方程为x

a

b

y.

（1）定义：如果有一条直线使得当曲线上的一点M沿曲线无

限远离原点时，点M到该直线的距离无限接近于零，则这

条直线叫这一曲线的渐近线；

（2）直线x

a

b

y与双曲线1

2

2

2

2



b

y

a

x

在无穷远处是

否相交？

（3）求法：在方程

1

2

2

2

2



b

y

a

x中，令右边为零，则

0

2

2

2

2



b

y

a

x，得渐近线方程

0))((

b

y

a

x

b

y

a

x

即

x

a

b

y

；

若方程为1

2

2

2

2



b

x

a

y

，则渐近线方程为x

b

a

y

5.离心率：

c

e

a

0ca,所以1e

2．问题拓展

（一）等轴双曲线

1、定义：若a=b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线

2、方程：222ayx或222axy.

3、等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：xy；（2）渐近线互相垂直..3）等轴双曲

线方程可以设为：

)0(22yx,当0时交点在

x

轴，当0时焦点在y轴上.

（二）共轭双曲线

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1、定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.

2、方程：（1）1

2

2

2

2



b

y

a

x

的共轭双曲线为1

2

2

2

2



a

x

b

y

；1

2

2

2

2



b

x

a

y

的共轭双曲线为

1

2

2

2

2



b

x

a

y

;

（2）互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为1

2

2

2

2



b

y

a

x

或1

2

2

2

2



b

x

a

y

;

3、性质：有一对共同的渐近线；有相同的焦距，四焦点共圆；

4、注意：（1）共渐近线的两双曲线不一定是共轭双曲线，如1

218

22



yx

和1

9

2

2

y

x

；

（2）1

2

2

2

2



b

y

a

x

与1

2

2

2

2



b

x

a

y

（a≠b）不共渐近线，有相同的焦距，四焦点共圆；

（三）共渐近线的双曲线系方程

问题(1)1

916

22



yx

与

22

1

916

yx

;(2)1

916

22



yx

与1

1832

22



yx

的区别?

问题:共用同一对渐近线x

a

b

y的双曲线的方程具有什么样的特征？

双曲线

22

22

xy

ab

（0）与双曲线

22

22

1

xy

ab

有共同的渐近线.

当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上.

例：求与双曲线1

916

22



yx

共渐近线且过

)3,33(A

的双曲线的方程.

三、课堂练习：

1.双曲线

22

1

4

xy

k

的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是

A.(0,6)B.(3,12)C.(1,3)D.(0,12)

2.下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是

(A)

x2

3

-y2=1和

y2

9

-

x2

3

=1(B)

x2

3

-y2=1和y2-

x2

3

=1

(C)y2-

x2

3

=1和x2-

y2

3

=1(D)

x2

3

-y2=1和

9

2x

-

3

2y

=1

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3.方程1

11

2

2







k

y

k

x

表示双曲线，则k的取值范围是（）

A．

11k

B．

0k

C．

0k

D．

1k

或

1k

4.以

xy3

为渐近线，一个焦点是F（0，2）的双曲线方程为()

（A）1

3

2

2

y

x（B）1

3

2

2

y

x（C）1

3

2

22



yx

（D）

1

3

2

22



yx

5.双曲线kx2+4y2=4k的离心率小于2，则k的取值范围是()

（A）（-∞,0）（B）(-3,0)（C）(-12,0)（D）(-12,1)

6.已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为

(A)1.5(B)3(C)0.5(D)3.5

7.设C

1

：

2

2

2

2

b

y

a

x

=1,C

2

：

2

2

2

2

a

x

b

y

=1,C

3

：

2

2

2

2

a

y

b

x

=1,a2≠b2,则()

(A)C

1

和C

2

有公共焦点(B)C

1

和C

3

有公共焦点

(C)C

3

和C

2

有公共渐近线(D)C

1

和C

3

有公共渐近线

8.双曲线1

79

2

2



y

x

的右焦点到右准线的距离为____________

9.与椭圆1

2516

2

2



y

x

有相同的焦点，且两准线间的距离为

3

10

的双曲线方程为___

10.直线1xy与双曲线1

32

2

2



y

x

相交于BA,两点，则AB=___________

11.求满足下列条件的双曲线的标准方程

（1）、焦点分别为（0，-5）、（0，5），离心率是

2

3

；

（2）以坐标轴为两条对称轴，实轴长是虚轴长的一半，且过点(3，2)。

12.设共轭双曲线的离心率分别为e1和e2，证明：

2

1

e

1

+

2

2

e

1

=1

13.已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是

1

(30)F，，一条渐近线的方程是

520xy

．求双曲线C的方程