极限存在的条件

§3函数极限存在的条件

重点难点

1.归结原则也称为海涅定理,它的意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理,

从而我们可以利用归结原则和数列极限的有关性质来证明上一节中所述的函数极限所有性

质.

2.单调有界定理是判定极限是否存在的一个重要原则,同时也是求极限的一个有用的

方法.一般情形,运用单调有界定理研究变量极限时,需要首先利用单调收敛定理判定极

限的存在性,然后在运用运算法则求这个极限.

3.柯西准则是函数极限存在的充要条件.函数极限的柯西准则是以数列的柯西准则为

基础的.该准则在数列极限、极限和广义积分理论中,占据了重要的地位.因此应当认真理

解柯西准则,并能用柯西准则讨论某些比较简单的问题.

基本内容

在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过判别数列极限存在的“单调有界定理”

和“柯西收敛准则”.我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或

者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？

本节的结论只对

0

xx这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极

限也是成立的。

首先介绍一个很主要的结果——海涅(Heine)定理（归结原则）。

一、归结原则

定理3.8(归结原则)设f在

;

0

0xU内有定义.xf

xx

0

lim



存在的充要条件是:对

任何含于

;

0

0xU且以

0

x为极限的数列

n

x,极限

n

n

xf



lim都存在且相等.

分析充分性的证法:只须证明,若对任意数列

n

x,且

0

limxx

n

n





,

0

xx

n

,有

Axf

n

n





lim,则Axf

xx





0

lim.因为在已知条件中,具有这种性质的数列

n

x是任意的

(当然有无限多个),所以从已知条件出发直接证明其结论是困难的.这时可以考虑应用反证

法.也就是否定结论,假设Axf

xx





0

lim,根据极限定义的否定叙述,只要能构造某一个数列

}{

n

x,

0

limxx

n

n





,

0

xx

n

,但是Axf

n

n





lim,与已知条件相矛盾.于是充分性得到证

明.

注1归结原则也可简述为





Axf

xx

0

lim对任何nxx

n0

有.limAxf

n

n





注2虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的.海涅定理深刻

地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系,从而给数列极限与函数极限之间

架起了一座可以互相沟通的桥梁.它指出函数极限可化为数列极限,反之亦然.在极限论中海

涅定理处于重要地位.有了海涅定理之后,有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极

限的定理予以证明.例如

若)0()(lim,)(lim

00





BBxgAxf

xxxx

,则

)(lim

)(lim

)(

)(

lim

0

0

0xg

xf

xg

xf

xx

xx

xx







.

证已知BxgAxf

xxxx





)(lim)(lim

00

与,根据海涅定理的必要性,对任意数列

n

x,

且

0

limxx

n

n





,

0

xx

n

,有Axf

n

n





lim,Bxg

n

n





lim.由数列极限的四则运算,对任

意数列

n

x,且

0

limxx

n

n





,

0

xx

n

,有

B

A

xg

xf

n

n

n



)(

)(

lim

.再根据海涅定理的充分性,由

)(lim

)(lim

)(

)(

lim

)(

)(

lim

0

0

0xg

xf

B

A

xg

xf

xg

xf

xx

xx

n

n

nxx







.

注3海涅定理除上述重要的理论意义外,它还为证明某些函数极限不存在提供了行之

有效的方法:若可找到一个以

0

x为极限的数列

n

x,使

n

n

xf



lim不存在,或找到两个都以

0

x为极限的数列

n

x



与

n

x



,使)'(lim

n

n

xf



与)(lim

n

n

xf





都存在而不相等,则)(lim

0

xf

xx

不

存在.

例1证明极限

xx

1

sinlim

0

不存在.

函数

x

y

1

sin的图象如图3-4所示,由图象可见,当0x时,其

函数值无限次地在-1与1的范围内振荡,而不趋于任何确定的数.

对于

xxxxx,,

00

和

x

为四种类型的单侧极

限,相应的归结原则可表示为更强的形式.现以

0

xx这种类型为例

阐述如下：

定理3.9设函数f在点

0

x的某空心右邻域)(

0

0xU



有定

义.Axf

xx





)(lim

0

的充要条件是：对任何以

0

x为极限的递减数列)(

0

xUx

n





,有

Axf

n

n





)(lim.

注5定理3.9充分性的证明可参照第二章第三节例3及定理3.8的证明.例如可取

},min{

01

xx

nnn







,以保证所找到的数列

n

x能递减的趋于

0

x.

二、单调有界定理

相应于数列极限的单调有界定理,关于上述四类单侧极限也有相应的定理.现以



0

xx这种类型为例叙述如下：

定理3.10设f为定义在

)(

0

0xU



上的单调有界函数,则右极限)(lim

0

xf

xx

存在.

注6(1)设f为定义在

)(

0

0xU



上的有界函数.若f递增,则)(inf)0(

)(

0

0

0

xfxf

xUx





;

若f递减,则)(sup)0(

)(

0

0

0

xfxf

xUx





.

(2)设f为定义在)(

0

0xU上的递增函数,则

)(sup)0(

)(

0

0

0

xfxf

xUx





,)(inf)0(

)(

0

0

0

xfxf

xUx





.

三函数极限的柯西收敛准则

定理3.11(柯西准则)设函数f在

)';(

0

xU内有定义.)(lim

0

xf

xx

存在的充要条件是：

任给0,存在正数)'(,使得对任何

);(,'

0

xUxx



有



)()'(xfxf.

[分析]充分性的证明可以利用数列极限的柯西准则和函数极限与数列极限的桥梁—

—海涅定理来证.分两步：1)对任何以

0

x为极限的数列);(

0

xUx

n

,数列)(

n

xf的

极限都存在;2)证明对任何以

0

x为极限的数列);(

0

xUx

n

,数列)(

n

xf的极限都相

等.

注7可以利用柯西准则证明函数极限)(lim

0

xf

xx

的不存在:

设函数f在

)';(

0

xU内有定义.)(lim

0

xf

xx

不存在的充要条件是：存在0

0

,对任

意正数)'(,存在

);(,'

0

xUxx



,有

0

)()'(



xfxf.

如在例1中我们可取

2

1

0

,对任何0,设正整数



1

n,令

2

1

,

1

'















n

x

n

x,

则有

);0(,'Uxx



,而

0

1

1

sin

'

1

sin





xx

于是按柯西准则,极限

xx

1

sinlim

0

不存在.

小结

1.证明函数极限存在或求函数极限的方法.

(1)用定义证明函数极限的方法且Axf)(lim,尤其是分段函数的分段点.

(2)用柯西收敛准则证明函数极限存在.

(3)用迫敛性证明函数极限存在并求得极限值.

(4)用海涅归结原理证明函数极限存在并求得极限值.

(5)用四则运算法则及一些熟悉的极限求值.

(6)对于单侧极限,单调有界定理可证得极限存在.

2.证明函数极限不存在的主要方法:

(1)利用函数极限的定义证明函数极限不存在,

(2)利用函数极限与单侧极限的关系证明函数在某点不存在极限.特别对分段函数在分

段点处的极限.

(3)利用海涅归结原理证明函数极限不存在.

(4)利用柯西收敛准则证明函数极限不存在.