指数分布的期望和方差

概率论与数理统计期末复习重要知识点

第二章知识点：

1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，

则称X为一个离散随机变量。

2.常用离散型分布：

（1）两点分布（0-1分布）：

若一个随机变量X只有两个可能取值，且其分布为12

{},{}1(01)PXxpPXxpp

，

则称X服从12

,xx

处参数为p的两点分布。

两点分布的概率分布：

12

{},{}1(01)PXxpPXxpp

两点分布的期望：

()EXp

；两点分布的方差：

()(1)DXpp

（2）二项分布：

若一个随机变量X的概率分布由式

{}(1),0,1,...,.kknk

n

PxkCppkn

给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)).

两点分布的概率分布：

{}(1),0,1,...,.kknk

n

PxkCppkn

二项分布的期望：

()EXnp

；二项分布的方差：

()(1)DXnpp

（3）泊松分布：

若一个随机变量X的概率分布为

{},0,0,1,2,...

!

k

PXkek

k







，则称X服从参

数为



的泊松分布，记为X~P(



)

泊松分布的概率分布：

{},0,0,1,2,...

!

k

PXkek

k







泊松分布的期望：

()EX

；泊松分布的方差：

()DX

4.连续型随机变量：

如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数

()fx

，使得对于任意实数

x

，有

(){}()xFxPXxftdt





，则称X为连续型随机变量，称

()fx

为X的概率密度函数，

简称为概率密度函数。

5.常用的连续型分布：

（1）均匀分布：

若连续型随机变量X的概率密度为

















其它,0

,

1

)(

bxa

ab

xf，则称X在区间（a,b）上服

从均匀分布，记为X~U(a,b)

均匀分布的概率密度：

















其它,0

,

1

)(

bxa

ab

xf

均匀分布的期望：

()

2

ab

EX





；均匀分布的方差：

2()

()

12

ba

DX





（2）指数分布：

若连续型随机变量X的概率密度为

00

()

0

xex

fx











，则称X服从参数为



的指数分布，记为X~e(



)

指数分布的概率密度：

00

()

0

xex

fx











指数分布的期望：

1

()EX





；指数分布的方差：2

1

()DX





（3）正态分布：

若连续型随机变量X的概率密度为

2

2

()

2

1

()

2

x

fxex













则称X服从参数为



和

2

的正态分布，记为X~N(



,

2

)

正态分布的概率密度：

2

2

()

2

1

()

2

x

fxex













正态分布的期望：

()EX

；正态分布的方差：

2()DX

（4）标准正态分布：

20,1

，

22

22

11

()()

22

xt

xxexedt









标准正态分布表的使用：

（1）

0()1()xxx

（2）

~(0,1)

{}{}{}

{}()()

XN

PaxbPaxbPaxb

Paxbba





（3）

2~(,),~(0,1),

X

XNYN











故

(){}{}()

Xxx

FxPXxP











{}{}()()

abba

PaXbPY











定理1：设X~N(



,

2

),则

~(0,1)

X

YN









6.随机变量的分布函数：

设X是一个随机变量，称

(){}FxPXx

为X的分布函数。

分布函数的重要性质：

122121

1212

0()1

{}{}{}()()

()()

()1,()0

Fx

PxXxPXxPXxFxFx

xxFxFx

FF









7.求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布

（1）由X的概率分布导出Y的概率分布步骤：

①根据X写出Y的所有可能取值；

②对Y的每一个可能取值i

y

确定相应的概率取值；

③常用表格的形式把Y的概率分布写出

（2）由X的概率密度函数（分布函数）求Y的概率密度函数（分布函数）的步骤：

①由X的概率密度函数

()

X

fx

随机变量函数Y=g(X)的分布函数

()

Y

Fy

②由

()

Y

Fy

求导可得Y的概率密度函数

（3）对单调函数，计算Y=g(X)的概率密度简单方法：

定理1设随机变量X具有概率密度

()(,)

X

fxx

，又设y=g(x)处处可导且恒

有

'()0gx

（或恒有

'()0gx

），则Y=g(X)是一个连续型随机变量，其概率密度为

'[()]|()|,

()

0Y

fhyhyy

fy











；其中

()xhy

是y=g(x)的反函数，且

min((),()),max((),())gggg

练习题：

2.4第7、13、14

总习题第3、6、9、10、11、13、14、17、18、19

第三章重要知识点：

1.离散型二维随机变量X与Y的联合概率分布表：

Y

X1

y

2

y

…

j

y

…

{}

i

PXx

1

x

11

p

12

p

…

1j

p

…1j

j

p

2

x

21

p

22

p

…

2j

p

…2j

j

p

i

x

1i

p

2i

p

…

ij

p

…ij

j

p

{}

j

PYy1i

i

p2i

i

p…ij

i

p…1

（1）要会由X与Y的联合概率分布，求出X与Y各自概率分布或反过来；类似P63例2

（2）要会在X与Y独立的情况下，根据联合概率分布表的部分数据，求解其余数据；

类似P71例3

（3）要会根据联合概率分布表求形如

{,}PaXbcYd

的概率；

（4）要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。

2.二维连续型随机变量X与Y的联合概率密度:

设（X,Y）为二维随机变量，F(x,y)为其分布函数，若存在一个非负可积的二元函数f(x,y),使对

任意实数（x,y），有

(,)(,)

y

x

Fxyfstdsdt





，则称（X,Y）为二维连续型随机变量。

(1)要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限；

(2)要会根据联合概率密度求出相应的分布函数F(x,y)，以及形如

{}PXY

等联合概

率值;P64例3

(3)要会根据联合概率密度求出

,xy

的边缘密度;类似P64例4

(4)要会根据联合概率密度求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。

3.联合概率分布以及联合密度函数的一些性质：

（1）

1

ij

ij

p

；（2）

(,)1fxydxdy





要会根据这些性质解类似P68第5，6题。

4.常用的连续型二维随机变量分布

二维均匀分布：设G是平面上的有界区域，其面积为A。若二维随机变量（X,Y）具有概率密

度函数

1(,)

(,)

0

AxyG

fxy











，则称（X,Y）在G上服从均匀分布。

5.独立性的判断：

定义：设随机变量（X,Y）的联合分布函数为F(x,y),边缘分布函数为

()

X

Fx

，

()

Y

Fy

，若对任

意实数x,y，有

{,}{}{}PXxYyPXxPYy

（1）离散型随机变量的独立性：

①由独立性的定义进行判断；

②所有可能取值

(,)

ij

xy

，有

(,)()()

ijij

PXxYyPXxPYy

，..ijij

ppp

则

X与Y相互独立。

（2）连续型随机变量的独立性：

①由独立性的定义进行判断；

②联合概率密度

(,)fxy

，边缘密度

()

X

fx

，

()

Y

fy

,xy

有

(,)()()

XY

fxyfxfy

几乎处处成立,则X与Y相互独立。

(3)注意与第四章知识的结合

X与Y相互独立



()()()

()()()

(,)0

0

XY

EXYEXEY

DXYDXDY

CovXY











因此

()()()

()()()

(,)0

0

XY

EXYEXEY

DXYDXDY

CovXY











X与Y不独立。

6．相互独立的两个重要定理

定理1随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何事件独

立，即，对任意实数集A，B，有

{,}{}{}PXAYBPXAPXB

定理2如果随机变量X与Y独立，则对任意函数1

()gx

，2

()gy

相互独立。

（1）要求会使用这两个定理解决计算问题

练习题：

习题2-3第3、4题

习题2-4第2题

习题3.2第5，7，8题

总习题三第4，9（1）-（4），12,13

第四、五章知识点

设总体密度函数如下，

12

,,...

n

xxx是样本，试求未知参数的矩估计值，最大似然估计值。

1

(;,),,0

x

pxex











（1）

00

2222222

0000

111

()

11111

()()222

xtt

xtttt

EXxedxtedtedt

EXxedxtedttedttedtedt









































222()()[()]DXEXEX，由此可推出(),()()DXEXDX，

从而参数



，的矩估计值为,sxs





（2）似然函数为：

(1)

1

11

()()exp{()},

n

n

i

i

Lxx







其对数似然函数为：1

()

ln(,)ln

n

i

i

x

Ln















由上式可以看出，ln(,)L是的单调增函数，要使其最大，的取值应该尽可能的大，

由于限制

(1)

x，这给出的最大似然估计值为

(1)

x



将ln(,)L关于



求导并令其为0得到关于



的似然方程

1

2

()

ln(,)

0

n

i

i

x

dLn

d















，解得1

(1)

()

n

i

i

x

xx

n

















第四章重要知识点：

1.随机变量X数学期望的求法：

（1）离散型

1

()

ii

i

EXxp





；（2）连续型()()EXxfxdx





2.随机变量函数g(X)数学期望的求法：

（1）离散型

1

()()

ii

i

EXgxp





；（2）连续型()()()EXgxfxdx







3.二维随机向量期望的求法：

（1）离散型

11

[(,)](,)

ijij

ji

EgXYgxyp





；

（2）连续型[(,)](,)(,)EgXYgxyfxydxdy







4.随机变量X方差的求法：

（1）简明公式222()[()]()()DXEXEXEXEX

（2）离散型2

1

()[()]

ii

i

DXxEXp







（3）连续型2()[()]()DXxEXfxdx





5.随机变量X协方差与相关系数的求法：

（1）简明公式(,){[()]}{[()]}()()()CovXYEXEXYEYEXYEXEY

（2）离散型

,

(,)[()][()]

ijij

ij

CovXYxEXyEYp

（3）连续型(,)[()][()](,)CovXYxEXyEYfxydxdy







（4）

(,)

()()XY

CovXY

DXDY



6.数学期望、方差、协方差重要的性质：

(1)

1212

()()()EXXEXEX

(2)设X与Y相互独立，则()()()EXYEXEY

(3)

()()()2{[()][()]}

()()2(,)

DXYDXDYEXEXYEY

DXDYCovXY





若X与Y相互独立，则()()()DXYDXDY

(4)2()()DCXCDX

(5)

1212

(,)(,)(,)CovXXYCovXYCovXY

（6）(,)(,)CovaXbYabCovXY

若X与Y相互独立，则(,)0CovXY

(7)若（X,Y）服从二维正态分布，则X与Y相互独立，当且仅当0

XY



7.n维正态分布的几个重要性质：

（1）n维正态变量（

12

,,...,

n

XXX）的每个分量i

X

（

1,2,...in

）都是正态变量，反之，

若

12

,,...,

n

XXX都是正态变量，且相互独立，则（

12

,,...,

n

XXX）是n维正态变量。

（2）n维随机向量（

12

,,...,

n

XXX）服从n维正态分布的充分必要条件是

12

,,...,

n

XXX的

任意线性组合均服从一维正态分布

1122

...

nn

lXlXlX均服从一维正态分布（其中

12

,,...

n

lll

不全为零）。

（3）若（

12

,,...,

n

XXX）服从n维正态分布，设

12

,,...,

k

YYY是(1,2,...)

j

Xjn的线性函

数，则（

12

,,...,

k

YYY）服从k维正态分布。

（4）设（

12

,,...,

n

XXX）服从n维正态分布，则“

12

,,...,

n

XXX相互独立”等价于

“

12

,,...,

n

XXX两两不相关”

练习题：

1.设（X,Y）的联合密度函数为

24(1),01,0

(,)

0

xyxyx

fxy











，求(,)CovXY及

XY



解：

11

3

000

3

()(,)24(1)12(1)

5

xEXxfxydxdyxxydydxxxdx





11

2224

000

2

()(,)24(1)12(1)

5

xEXxfxydxdyxxydydxxxdx





222

231

()()()()

5525

DXEXEX

同理

1

2

00

2

()(,)24(1)

5

xEYxfxydxdyxydydx





1

23

00

1

()(,)24(1)

5

xEYxfxydxdyxydydx





又因

1

00

4

()[24(1)]

15

xEXYxyxydydx

从而

462

(,)()()()

152575

CovXYEXYEXEY

(,)2752

1253

()()XY

CovXY

DXDY



2.习题4.3第10题

8.中心极限定理

（1）定理4（棣莫佛—拉普拉斯定理）

设随机变量12

,,...,...

n

XXX

相互独立，并且都服从参数为

p

的两点分布，则对任意实数

x

，

有

2

1

2

1

lim{}()

(1)2

n

t

i

x

i

n

Xnp

Pxedtx

npp



















（2）定理3（独立同分布的中心极限定理）

设随机变量12

,,...,...

n

XXX

相互独立，服从同一分布，且

2(),()(1,2,...),

ii

EXDXi

则

2

1

2

1

lim{}

2

n

t

i

x

i

n

Xn

Pxedt

n





















练习题：习题4-411题12题总习题四24，25，26题

第五章重要知识点

确定或求证统计量所服从的分布

1.三大分布

（1）2分布：：设

12

,,...

n

XXX

是取自总体N(0,1)的样本，称统计量2222

12

...

n

XXX

服从自由度为n的2分布。

（2）t分布：设X~N(0,1),2~()Yn，且X与Y相互独立，则称

/

X

t

Yn

服从自由度为

n的t分布。

（3）F分布：设22~(),~()XmYn，且X与Y相互独立，则称

/

/

Xm

F

Yn

服从自由度

为（m,n）的F分布。

2.三大抽样分布

（1）设总体2

12

~(,),,,...,

n

XNXXX是取自X的一个样本，X为该样本的样本均值，

则有

2~(,/)XNn，

~(0,1)

/

X

UN

n









（2）定理2设总体2

12

~(,),,,...,

n

XNXXX，是取自X的一个样本，X与2S为该样

本的样本均值与样本方差，则有

2222

22

1

11

()~(1)

n

i

i

n

SXXn







，

X与2S相互独立

（3）定理3设总体2

12

~(,),,,...,

n

XNXXX，是取自X的一个样本，X与2S为该样

本的样本均值与样本方差，则有222

2

1

1

()~()

n

i

i

Xn





，~(1)

/

X

Ttn

Sn





练习题：

1.设

122

,...

n

XXX是来自正态总体~(0,1)XN的样本，求统计量

1321

222

242

...

...

n

n

XXX

Y

XXX









的分布。

解：因为2

1321

...~(0,)

n

XXXNn



，故1321

2

...

~(0,1)n

XXX

N

n





~(0,1),1,2,...2i

X

Nin





由样本的独立性及2分布的定义，有2222

2

24()()...()~()n

X

XX

n





再由样本的独立性以及t分布的定义，有

1321

1321

222222

242242

2

...

...

~()

......

n

n

nn

XXX

XXX

n

Ytn

XXXXXX

n

















2．总习题五14题

3.求样本函数相关的概率问题

练习题：习题5-32总习题五16、17

第六章重要知识点：

1.矩估计的求法：

设总体X的分布函数

1

(;,...,)

k

Fx

中含有k个未知参数的函数

1

,...,

k



，则

（1）求总体X的k阶矩

1,...k



它们一般都是

是这k个未知参数的函数，记为

1

(,...),1,2,...

iik

gik

（2）从（1）中解得

1,...

(),1,2,...

jjk

hjk

（3）再用

(1,2,...)

i

ik

的估计量i

A

分别代替上式中的i



，即可得

(1,2,...)

j

jk

的估计量：

^

1,...

(),1,2,...

jjk

hAAjk

注：求

1

,...,

k

vv

，类似于上述步骤，最后用

1

,...,

k

BB

，代替

1

,...,

k

vv

，求出矩估计

^

(1,2,...)

j

jk

2.最大似然估计的求法：

求最大似然估计的一般方法：

（1）写出似然函数

12

()(,,...;)

n

LLxxx

（2）令

()

0

dL

d







或

ln()

0

dL

d







，求出驻点

（3）判断并求出最大值点，在最大值点的表达式中，用样本值代入就得参数的最大似然估

计值。比如P154例4—6。

3.估计量的优良性准则

（1）无偏性

定义1设

^

1

(,...)

n

XX

是未知参数



的估计量，若

^

()E

,则称

^



为的无偏估计量。

（2）有效性

定义2设

^^

11

1

(,...)

n

XX

和

^^

22

1

(,...)

n

XX

都是参数



的无偏估计量，若

^^

12()()DD

,则称

^

1

较

^

2

有效。

4置信区间

（1）双侧置信区间:

设



为总体分布的未知参数，12

,,...

n

XXX

是取自总体X的一个样本，对给定的数

1

，

01

，若存在统计量

12

(,,...)

n

XXX





，

12

(,,...)

n

XXX



，使得_

{}1P



，则称随机区间

_

(,)

为



的

1

双侧置信区间，称

1

为置信度，又分别称

_



与





为



的双侧置信下限与双侧置

信上限。

（2）单侧置信区间：

设



为总体分布的未知参数，

12

,,...

n

XXX

是取自总体X的一个样本，对给定的数

1

，

01

，若存在统计量

12

(,,...)

n

XXX





，

满足

{}1P





，则称

(,)





为



的置信度为

1

的单侧置信区间，称



为



的单侧置信下限；若存在统计量12

(,,...)

n

XXX



，满足

{}1P



则称

(,)



为



的置信度为

1

的单侧置信区间，称





为



的单侧置信上限。

5.寻求置信区间的方法：

一般步骤：

（1）选取未知参数



的某个较优估计量



（2）围绕



构造一个依赖于样本与参数



的函数

12

(,,...,)

n

UUXXX

（3）对给定的置信水平

1

，确定1



与2



，使12

{}1PU

通常可选取满足

1

{}

2

PU





与2

{}

2

PU





的1



与2



，在常用分布情况下，这可由分位

数表查得。

（4）对不等式12

U

作恒等变形后化为

{}1P





则

(,)

就是



的置信度

1

为的双侧置信区间。

6.置信区间的公式：

(1)0-1分布参数的置信区间：

22

222

22

11

((4),(4))

22

(),2(),()

bbacbbac

aa

anubnXucnX







(2)设总体

2~(,)XN

，其中

2

已知，



而为未知参数，12

,,...

n

XXX

是取自总体X的

一个样本。

均值



的

1

置信区间为：（

2

X

n





，

2

X

n





）

(3)设总体

2~(,)XN

，其中



，

2

未知，12

,,...

n

XXX

是取自总体X的一个样本。

均值



的

1

置信区间为：（

2

(1)

S

Xtn

n



，

2

(1)

S

Xtn

n



）

(4)设总体

2~(,)XN

，其中



，

2

未知，

12

,,...

n

XXX

是取自总体X的一个

样本。

方差

2

的

1

置信区间为：

22

22

212

(1)(1)

(,)

(1)(1)

nSnS

nn













的

1

置信区间为：

22

22

212

(1)(1)

(,)

(1)(1)

nSnS

nn











练习题：

习题6-2第1，2，5，6题习题6-3第3，4，5，6题习题6-4第4题

总习题六第7，8，9，10，16，17，18，20，21题

概率统计考试范围参考

第一章随机事件与概率

概率的性质

古典概率与几何概率

条件概率与乘法公式。

全概率公式、Bayes公式，独立性，二项概率。

第二章一维随机变量及其分布

分布函数及性质。

离散型随机变量,分布列。常用的离散型分布及性质。

连续型随机变量，密度函数。常用的连续型分布及性质。

随机变量函数的分布等。

第三章随即向量及其分布

二维随机向量联合分布函数概念及性质。

二维离散型随机向量，联合分布列、边缘分布列。

二维连续型随机向量，联合分布密度，边缘分布密度。

常用的离散型和连续型分布。

边缘分布。随机变量的独立性。

条件分布不要求。

二维随机向量函数的分布。连续型随机向量的卷积公式不要求。

第四章随机变量的数字特征

随机变量数学期望、方差、矩的计算和性质

随即向量协方差、相关系数的计算和性质。

条件期望及性质不要求。

第五章大数定律和中心极限定理

切比雪夫不等式。

切比雪夫大数定律、辛钦大数定律、伯努利大数定律。

Levy-Lindberg定理、DeMoivre-Laplace定理。

强大数定律以及以概率1收敛不要求

第六章数理统计的基本概念

基本概念（总体、样本、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差、样本矩、顺序统计

量。）

样本均值与样本方差的数字特征。

2分布、t分布和F分布。

分位数概念并会查表计算。

正态总体的抽样分布

第七章参数估计

矩估计。

最大似然估计。

估计量的评价标准：无偏性、有效性、相合性。

单个和两个正态总体参数的区间估计。

单个正态总体参数的联合区间估计和非正态总体参数的区间估计不要求。

第八章假设检验

假设检验的基本概念、两类错误。

单个正态总体均值及方差的检验，仅要求双边检验。单边检验不要求。

两个正态总体均值及方差的检验，仅要求双边检验。单边检验不要求。

非正态总体均值的假设检验和非参数假设检验不要求。

《概率论与数理统计》试题（A卷）

题号一二三四五六七八总分

得分

评卷人

注意：(1.67)0.9525(2.33)0.99(1.45)0.926





0.9750.95

0.9750.95

(7)2.364671.8946

(8)2.306081.8595

tt

tt





22

0.950.05

22

0.950.05

(7)14.067(7)2.167

(8)15.507(8)2.733









一、填空题（每空3分，共15分）。

1、设X服从参数为λ的泊松分布，且

1)]2)(1[(XXE

，则



=

1

2、设



12

,,,2

n

XXXn

为来自总体

0,1N

的简单随机样本,X为样本均值,2S为样本

方差,则

2

1

2

2

1

n

i

i

nX

X







服从的分布是.



2

1

2

2

1

~1,1

n

i

i

nX

Fn

X









3、设随机变量

X

与

Y

相互独立,且均服从区间

0,3

上的均匀分布,则{max{,}PXY1}

1/9.

4、设随机变量

X

和

Y

的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,则根据

契比雪夫不等式

6_____PXY

1

6

12

PXY

5、设随机变量X

1

，X

2

，X

3

相互独立，其中X

1

在[0，6]上服从均匀分布，X

2

服从正态分布N

（0，22），X

3

服从参数为=3的泊松分布，记Y=X

1

－2X

2

+3X

3

，则D（Y）=46

二、（10分）从5双尺码不同的鞋子中任取4只，求下列事件的概率：

（1）所取的4只中没有两只成对；（2）所取的4只中只有两只成对（3）所取的4只都成对

（1）

44

5

4

10

28

21

C

C



（2）1-

244

55

4

10

212

21

CC

C





（3）

2

5

4

10

1

21

C

C



三、(10分)玻璃杯成箱出售，每箱20只。已知任取一箱，箱中0、1、2只残次品的概率相

应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客

随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的

概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。

解：设事件

A

表示“顾客买下该箱”，i

B

表示“箱中恰好有

i

件次品”，

2,1,0i

。则

8.0)(

0

BP

，

1.0)(

1

BP

，

1.0)(

2

BP

，

1)|(

0

BAP

，

5

4

)|(

4

20

4

19

1



C

C

BAP

，

19

12

)|(

4

20

4

18

2



C

C

BAP

。

由全概率公式得

2

0

412

()()(|)0.810.10.10.94

519ii

i

PAPBPAB





由贝叶斯公式

00

0

()(|)0.81

(|)0.85

()0.94

PBPAB

BA

PA





四、（15）设二维随机变量的概率分布为

-101

-100.2

00.10.2

100.1

其中、、为常数，且的数学期望,,记.

,XY

Y

X

a

b

c

abc

X

0.2EX

000.5PYX

ZXY

求(1)、、的值;(2)的概率分布;(3).

解(1)由概率分布的性质可知,,即.

由,可得.

再由,解得.

解以上关于、、的三个方程可得,.

(2)的所有可能取值为-2,-1,0,1,2.则

所以的概率分布为

-2-1012

0.20.10.30.30.1

(3).

五、（15）设随机变量

X

的概率密度为



1

10

2

1

02

4

0

X

x

fxx























当

当

其他

abc

Z

PXZ

0.61abc0.4abc

0.2EX0.1ac







0,0

0.1

000.5

00.5

PXY

ab

PYX

PXab









0.3ab

abc0.2,0.1,0.1abc

Z

21,10.2PZPXY

11,00,10.1PZPXYPXY

01,11,10,00.3PZPXYPXYPXY

11,00,10.3PZPXYPXY

21,10.1PZPXY

Z

Z

P

000.10.10.10.2PXZPYb

令

2YX

,

,Fxy

为二维随机变量

,XY

的分布函数.

求(1)

Y

的密度函数



Y

fy

;(2)

cov,XY

;(3)

1

,4

2

F









.

解(1)

Y

的分布函数为

2

Y

FyPYyPXy

当

0y

时,

0,0

YY

Fyfy

.

当

01y

时,

3

00

4Y

FyPyXyPyXPXyy



3

8Y

fy

y



当

14y

时,

11

100

24Y

FyPXPXyy



1

8Y

fy

y



当

4y

时,

1,0

YY

Fyfy

.

所以

Y

的概率密度为



3

01

8

1

14

8

0

Y

y

y

fyy

y























当

当

其他

(2)

02

10

111

244X

EXxfxdxxdxxdx





0

222

1

15

46X

EYEXxfxdxxdx





02

3333

10

117

248X

EXYEXxfxdxxdxxdx





故

(3)

六、（10分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每

天用电量（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布。现要以0.99的概率满足该地区居民供应

电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？

解：设第K户居民每天用电量为k

X

度，1000户居民每天用电量为

X

度，



k

EX

10，

12

202



k

DX

=。再设供应站需供应L度电才能满足条件，则

99.0)

12

20

1000

101000

(}{

2









L

LXP

即

33.2

3/100000

10000



L

，则L=10425度。

七、（10分）化肥厂用自动打包机装化肥，某日测得8包化肥的重量（斤）如下：

98.7100.5101.298.399.799.5101.4100.5

已知各包重量服从正态分布N（

2,

）

（1）是否可以认为每包平均重量为100斤（取

05.0

）？

（2）求参数

2

的90%置信区间。

解、需要检验的假设0

:100H

1

:100H

检验统计量为

100

1

n

X

t

Sn







，

计算可得：

099.98,1.05,0.063

/1n

n

x

xSt

Sn









2

cov,

3

XYEXYEXEY

2

111

,4,4,4

222

FPXYPXX











1111

,2221

2224

PXXPXPX











0.975

1

2

(1)72.3646tnt







，

)1(

2

ntt



故接受原假设。

（2）

1.0

，n=8查表得

2

0.95

(7)14.067

，

2

0.05

(7)2.167

21.102

n

S

故置信区间为

22

22

1

22

,[0.627,4.068]

(1)(1)

nn

nSnS

nn





















八、（15分）设总体

X

的密度函数是







||

2

1

);(

x

exf

，其中



00是参数。样本

n

XXX,...,,

21来自总体X。

(1)求



的矩估计

ˆ

M



；

(2)求



的最大似然估计

ˆ

L



；

(3)证明

ˆ

L



是



的无偏估计，且

ˆ

L



是



的相合估计（一致估计）。

解：（1）

0

2

1||





dxxeEX

x





，

2

0

2

0

0

0

0

2

0

2

||

22

2222

2

1

2

1











































































































xxx

xx

xx

edxeex

dxxeex

dxexdxexEX

，

2

1

1

ˆ

2

n

Mi

i

X

n







或：

2

2

22EXEXDX

，

*22ˆ

2

n

SDX



，

*ˆ

2

n

M

S



（2）似然函数：







n

i

x

ieL

1

||

2

1





，









n

i

i

x

n

eL1

||

2

1





，







n

i

i

xnL

1

1

)2ln(ln











n

i

i

x

n

L

d

d

1

2

1

ln





，

令，

0

ˆ

1

ˆ

1

2





n

i

i

x

n



，1

1

ˆn

Li

i

X

n







（3）



























































0

0

0

0

1xxxx

edxexedxxeXE

1

1

ˆn

Li

i

EEXEX

n







，

ˆ

L



是



的无偏估计，

22

22EXXE

，

222

2

22XEEXXD

，



nn

XD

X

n

D

n

i

i

2

1

1

















2

2

ˆˆ

1

LL

PE

n









，

ˆ

L



是



的相合估计