联合分布律

1

第三部分概率论与数理统计

第三章二维随机变量的联合概率分布

[考试内容]

随机变量的联合分布函数，离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布和

条件分布，连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度，随机变量

的独立性和相关性，常见二维随机变量的联合分布，两个及两个以上随机变量

简单函数的概率分布。

[考试要求]

1．理解随机变量的联合分布函数的概念和基本性质；

2．理解随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式：离散型联合概率分

布和连续型联合概率密度，掌握两个随机变量的联合分布的边缘分布和条件分

布；

3．理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握离散型和连续性随机变量独立

的条件，理解随机变量的不相关与独立性的关系；

4．掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义。

5．会根据两个随机变量的联合概率分布求其函数的概率分布，会根据多个独立

随机变量的概率分布求其函数的概率分布。

[命题特点]

本章一般出计算题，近年来二元函数的分布比一元的分布考得更多一些。

2

[内容综述]

一、多维随机变量的概念

二维随机变量：随机试验E的样本空间为

{}

，设

()XX

和

()YY

是定义在



上的随机变量，由它们构成的一个向量

(,)XY

，叫做二维随机向

量或二维随机变量．（若有

n

个定义在



上的随机变量

11

()XX

，

22

()XX

，…

()

nn

XX

，由它们构成的

n

维向量

12

(,,,)

n

XXX

叫做

n

维随机向量或

n

维随机变量）

二、二维随机变量的联合分布函数、联合概率密度的概念与性质

1.联合分布函数：

(,){}{,}FxyPXxYyPXxYy

．

分布函数的基本性质：

1）

(,)Fxy

是关于x或y的非减函数，即

对于固定的y，若x

1

＜x

2

，则F（x

1

，y）≤F（x

2

，y）；

对于固定的x，若y

1

＜y

2

，则F（x，y

1

）≤F（x，y

2

）．

2）0≤

(,)Fxy

≤1．

且

(,)lim(,)1

x

y

FFxy







；

(,)lim(,)0

x

FyFxy





；

(,)lim(,)0

y

FxFxy





；

(,)lim(,)0

x

y

FFxy







．

3）

(,)Fxy

对每个变量右连续，即

(,)(0,)FxyFxy

，

(,)(,0)FxyFxy

．

3

4）根据概率可加性，对于如图任意

1122

(,),(,)xyxy

1212

{,}PxXxyYy

2212

{,}{,}PXxYyPXxYy

2111

{,}{,}PXxYyPXxYy

22122111

(,)(,)(,)(,)0FxyFxyFxyFxy

．

2.二维离散型和连续型随机变量的分布：

1）二维离散型随机变量：如果二维随机变量

(,)XY

的所有可能的值是有限

对或可列无限多对，则称

(,)XY

是离散型的随机变量．其分布律（联合分

布律）为

{,},,1,2,

ijij

PXxYyPij

，

满足：①

0

ij

P

；②

11

1

ij

ij

P





；③

(,)

i

i

ij

xx

yy

FxyP









．

2）二维连续型随机变量：如果对于二维随机变量

(,)XY

的分布函数

(,)Fxy

，存在非负函数

(,)fxy

，使对于任意实数

,xy

有

(,)(,)

yx

Fxyfuvdudv



，则称

(,)XY

为连续型的随机变量，函数

(,)fxy

称为

(,)XY

的（联合）概率密度．

满足：①

(,)0fxy

；②

(,)(,)1fxydxdyF





；

③在

(,)fxy

的连续点处有

2(,)

(,)

Fxy

fxy

xy







；

④随机点

(,)XY

落在平面区域

G

内的概率为

{(,)}(,)

G

PXYGfxydxdy．

4

三、二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系

1.边缘分布函数

(){,}(,)

X

FxPXxPXxYFx

，

(){,}(,)

Y

FyPYyPXYyFy

；

2．二维离散型随机变量的边缘律及分布函数

11

{},1,2,{},1,2,

iijijijj

ji

PXxPpiPYyPPj









1

()(,)

i

Xij

xxj

FxFxp





，

1

()(,)

j

Yij

iyy

FyFyp





；

3．二维连续型随机变量的边缘概率密度

()(,)

X

fxfxydy





，

()(,)

Y

fyfxydx





．

(联合分布可唯一确定边缘分布，反之未必成立!!!)

四、了解二维随机变量的条件分布

(这几年考试内容明显增多)

1.条件分布函数

|

(|){|}

XY

FxyPXxYy

称为在条件

Yy

下

X

的条件分布函数；

|

(|){|}

YX

FyxPYyXx

称为在条件

Xx

下

Y

的条件分布函数．

2．离散型随机变量的条件分布律

5

{,}

{|},1,2,

{}

ijij

ij

jj

PXxYyP

PXxYyi

PYyp











称为在条件j

Yy

下

X

的条件分布函数；

{,}

{|},1,2,

{}

jiij

ji

ii

PYyXxp

PYyXxj

PXxp











称为在条件

i

Xx

下

Y

的条件分布函数．

3．连续型随机变量的条件概率密度

|

(,)

(|)

()XY

Y

fxy

fxy

fy



称为在条件

Yy

下

X

的

条件概率密度；

|

(,)

(|)

()YX

X

fxy

fyx

fx



称为在条件

Xx

下

Y

的

条件概率密度．

(注意与第一章中条件概率的计算作比较)

五、理解随机变量独立性的概念(相关性)

若对于所有

,xy

，有

{,}{}{}PXxYyPXxPYy

，

即

(,)()()

XY

FxyFxFy

，

则称随机变量X和Y是相互独立的．

相对离散型，X和Y相互独立的充分必要条件是：

{,}{}{}

ijij

PXxYyPXxPYy

，

即

ijij

ppp



；

相对连续型，X和Y相互独立的充分必要条件是：

6

(,)()()

XY

fxyfxfy

．

应熟练应用随机变量的独立性进行概率计算．

(注意独立与相关的联系与区别)

六、掌握求两个随机变量的函数的分布

(离散的仍是表上作业法，连续的熟悉下面的几种类型)

1．两个随机变量和的分布，即

ZXY的分布

()(,)(,)

Z

fzfxzxdxfzyydy





；

当X和Y相互独立时，

()()()()()

ZXYXYXY

fzfxfzxdxfzyfydyff









（称为卷积公式）

2．

max(,)MXY

及

min(,)NXY

的分布

X

和

Y

相互独立时，

1）

max(,)MXY

的分布：

max

(){}()()

XY

FzPMzFzFz

；

2）

min(,)NXY

的分布：

min

(){}1[1()][1()]

XY

zzFzFzFPN

．

七、重点与难点

1．重点：二维随机变量的概念，二维随机变量的联合分布函数、分布律、

概率密度、独立性、条件概率和边缘分布，二维随机变量的函数的分布及概

率密度，特别是ZXY、

max(,)MXY

、

min(,)NXY

的

7

分布．

2．难点：已知联合概率密度求联合分布函数、条件概率；已知（X,Y）的

分布求

ZXY

、

max(,)MXY

、

min(,)NXY

的分布．

3．一些说明：联合分布函数

(,)Fxy

与联合概率密度

(,)fxy

中的常数常由

(,)Fxy

及

(,)fxy

的各个性质来确定．

求联合分布函数时，首先要定出联合概率密度

(,)fxy

，再根据

(,)0fxy

的条件及随机变量所满足的不等式等，正确的画出二重积分区

域，将二重积分化为累次积分去计算．

题型一：求二维随机变量的概率分布

题型二：有关条件分布问题

题型三：随机变量的独立性

题型四：二维随机变量函数的分布及概率的计算

题型一：求二维随机变量的概率分布

(,){}{,}FxyPXxYyPXxYy

离散的情形：

{,}{}

ijijij

pPXxYyPXxYy

例1．一个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，现随机地抽取两次，每次

只取一只，考虑两种试验：（1）有放回抽样；（2）不放回抽样，以X、Y分别表

示第1次和第2次取出的次品数，试分别就（1）、（2）两种情况，写出X和Y

的联合分布律．

解：因为X和Y的取值都是0和1，故(X，Y)的取值为(0,0)、（0,1）、（1,0）、（1,1）.

而取这些值的概率要按放回、不放回抽样两种情况考虑.

8

（1）有放回抽样，由乘法定理得

101025

{0,0}{0}{0|0}

121236

PXYPXPYX

，

1025

{0,1}{0}{1|0}

121236

PXYPXPYX

，

类似可得：

51

{1,0},{1,1}

3636

PXYPXY

；

（2）不放回抽样，由乘法定理得

10915

{0,0}{0}{0|0}

121122

PXYPXPYX

，

1025

{0,1}{0}{1|0}

121133

PXYPXPYX

，

类似可得：

51

{1,0},{1,1}

3366

PXYPXY

；

X和Y的联合分布律为

例2．[2001年]设某班车起点站上客人数服从参数为

(0)

的泊松分布，每

位乘客在中途下车的概率为

(01)pp

，且中途下车与否相互独立，以Y表

示在中途下车的人数，求：

（1）在发车时有

n

个乘客的条件下，中途有

m

人下车的概率；

（2）二维随机变量(X，Y)的概率分布．

解：（1）是一个条件概率，即当X=

n

时，Y=

m

的概率：

{|}mnPYX

，

X

Y

01

0

1

25/365/36

5/361/36

X

Y

01

0

1

15/225/33

5/331/66

9

由于下车与否相互独立，Y服从二项分布。

所以

{|}(1),(0,0,1,mmnm

n

mnCppmnnPYX

；

（2）

{,}{}{|}nmnmnPXYPXPYX

(1),(0,0,1,2,)

!

n

mmnm

n

e

Cppmnn

n





。

例3．[2004年]设

,AB

为随机事件，且

111

(),(),()

432

PAPB|APA|B

，

令：

11

00









，，

；；

AB

XY

AB

发生发生

不发生不发生

求：

（1）二维随机变量(X，Y)的概率分布；

（2）X与Y的相关系数．

解：（1）易见(X，Y)的取值为(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)，相应概率为

1

{1,1}()()()

12

PXYPABPAPB|A

，

111

{1,0}()()()

4126

PXYPABPAPAB

，

()

{0,1}()()()()

()



PAB

PXYPABPBPABPAB

PA|B

1

2()()()

12

PABPABPAB

，

1112

{0,0}1

126123

PXY

，(联合分布列表略…)

（2）由联合分布可得边缘分布：

0101

,

34145616







XY

，

10

于是可得：

113315

(),(),()()

44416636

EXDXEY,DY

，

1

(){1,1}()

12

EXYPXYPAB

，

1111

()()()()

124624

covX,YEXYEXEY

，

所以

()1

()()15



XY

covX,Y

=

DXDY

。

例4．[2009年，三（23）]袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地

从袋中取两次，每次取一个球.以X，Y，Z分别表示两次取球所得的红球、黑

球与白球的个数.

（1）求P｛X＝1｜Z＝0｝；

（2）求二维随机变量（X，Y）的概率分布.

解：（1）

11

12

11

33

2

{1,0}4

66

{1|0}

{0}9

66

CC

PXZ

PXZ

CC

PZ













；

（2）X可取0，1，2；Y可取0，1，2，共有九种可能性：其联合分布为

11

33

9

{0,0}

6636

CC

PXY



，

11

23

2

12

{0,1}

6636

CC

PXY



，

11

22

4

{0,2}

6636

CC

PXY



，

11

13

2

6

{1,0}

6636

CC

PXY



，

11

12

2

4

{1,1}

6636

CC

PXY



，

{1,2}0PXY

11

11

1

{2,0}

6636

CC

PXY



，

{2,1}{2,2}0PXYPXY

11

如果是有放回呢，应如何考虑？

（1）

11

12

2

6

2

3

2

6

{1,0}2

{1|0}

{0}3

CC

C

PXZ

PXZ

C

PZ

C





；

（2）X只可取0，1；Y可取0，1，2，共有六种可能性：

2

3

2

6

3

{0,0}

15

C

PXY

C



，

11

23

2

6

6

{0,1}

15

CC

PXY

C



，

2

2

2

6

1

{0,2}

15

C

PXY

C



，

11

13

2

6

3

{1,0}

15

CC

PXY

C



，

11

12

2

6

2

{1,1}

15

CC

PXY

C



，

{1,2}0PXY

，……

例5．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

22,1

(,)

0,

cxyxy

fxy











其他

（1）求系数c；（2）求边缘概率密度．

X

Y

012

09/366/361/36

112/364/360

24/3600

12

解：（1）由

1(,)fxydxdy





2

2

11

22

1

1

4

21x

xy

cxydxdycxdxydyc







所以有

21

4

c

；

（2）

()(,)

X

fxfxydy



，

2

1

24

2

21

21

(1),||1

,||1

8

4

0,||1

0,||1

x

xxx

xydyx

x

x



























5

2

2

()(,)

21

7

,01

,01

4

2

0,

0,

Y

y

y

fyfxydx

xydxy

yy

































其他

其他

．

例6．[1998年]设平面区域D由曲线

1

y

x



及直线

20,1,yxxe

所围成，

二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，则关于X的边缘概率密度在

2x

处的值为。

解：首先求联合概率密度。

由于区域D的面积为：

2

2

1

1

1

ln|2e

e

D

xx

x

dS

，

(区域D为：

2

1

{(,)|1,0}xyxey

x



)

13

所以联合密度为：

1

,(,),

(,)

2

0,(,).

xyD

fxy

xyD

















再求边缘概率密度．

1

0

11

()(,)

22

x

X

fxfxyyy

x





dd

，

2(1)ex

所以

11

(2)

224X

f



。

题型二：有关条件分布问题

|

(|){|}

XY

FxyPXxYy

称为在条件

Yy

下

X

的条件分布函数；

|

(|){|}

YX

FyxPYyXx

称为在条件

Xx

下

Y

的条件分布函数．

离散型：

{,}

{|},1,2,

{}

ij

ij

j

PXxYy

PXxYyi

PYy











ij

j

P

p

{,}

{|},1,2,

{}

ji

ji

i

PYyXx

PYyXxj

PXx











ij

i

P

p

连续型：|

(|

()

)

()XY

fxy

Y

fx,y

fy|

(|

()

)

()YX

fyx

X

fx,y

fx

例1．已知（X，Y）的联合分布律为

Y

X

012

14

试求在Y＝1的条件下，X的条件分布律.

解：第一步，先求Y的边缘分布律：

所以：

1

{1}11/24



pPY

；

第二步，再求各条件概率：

01

1

{0,1}1/83

{0|1}

{1}11/2411

p

PXY

PXY

PYp









，

11

1

{1,1}1/38

{1|1}

{1}11/2411

p

PXY

PXY

PYp









，

21

1

{2,1}0

{2|1}0

{1}11/24

p

PXY

PXY

PYp









于是在条件Y＝1下，X的分布律是：

例2．设维随机变量X在区间（0,1）上服从均匀分布，在

(01)Xxx

条

件下，随机变量Y在区间

(0,)x

上服从均匀分布，求：

（1）随机变量X，Y的联合概率密度；

01/41/80

101/30

21/601/8

Y012

P5/1211/241/8

X012

|

(|1)

XYi

px

3/118/110

15

（2）Y的概率密度；

（3）概率

(1)PXY

．

解：（1）X的概率密度为：

1,01

()

0,X

x

fx











其他

，

在条件

(01)Xxx

下，Y在区间

(0,)x

上服从均匀分布，

所以条件密度为：|

1

0

,

(|)

0,

YX

yx

fyx

x















其他

当

01yx

时，联合分布密度为：

|

1

(,)(|)()

YXX

fxyfyxfx

x



，

而在其它点

(,)xy

处，

(,)0fxy

，

所以

1

01

,

(,)

0,

yx

fxy

x















其他

；

（2）Y的概率密度为：

11

ln,01

01

()(,)

0,

0,

y

Y

yy

dxy

fyfxydx

x





























其他

其他

；

（3）概率

1

1

1

2

1

1

(1)(,)

x

x

XY

PXYfxydxdydxdy

x





11

11

22

11

(21)(2)1ln2xdxdx

xx

.

例3．[2009年，三（22）]设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

16

0

,

(,)

0,

xyx

e

fxy











其他

，

（1）求条件概率密度

|

(|)

YX

fyx

．

（2）求条件概率

{1|1}PXY

．

解：（1）由定义知：

|

(,)

(|)

()YX

X

fxy

fyx

fx



，先求边缘密度：

0

0

,0

()(,)

0,0

0,0

x

x

x

X

edyx

xex

fxfxydy

x

x



































.

从而

|

1

,0,

(,)

(|)

()

0,

YX

X

yx

fxy

fyx

x

fx















其他；

（2）

11

1

(,)

{1,1}

{1|1}

{1}

()

Y

fxydx

PXY

PXY

PY

fydy













，

而Y的边缘密度为：

0

,0

()(,)

0,0

0,0

x

y

y

Y

edxy

ey

fyfxydx

y

y





































，

所以：

11

1

(,)

{1|1}

()

Y

fxydx

PXY

fydy











1

1

00

11

0

122

1

1

x

x

y

dxedy

ee

e

e

edy



















。

17

例4．[2010年]设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

2222(,),(,)xxyyfxyexyA

，

求常数A及条件概率密度

|

(|)

YX

fyx

．

解：利用正态分布的概率密度积分为1计算A。(凑)

即

2

2

()

2

1

1

2

t

edt















，

1(,)fxyxy



dd2222xxyyexy



dd=A

22()xxyexey





ddA

2

2

22

()

1

2()

2

1

2

2

yx

xxexeyex

















dddAA

2

21

2()

2

1

2

2

x

ex













dAA

，

所以

1



A

；

又

22()

1

()(,)xyx

X

fxfxydyeey









d

2

2

22

()

1

2()

2

11

1

2

2

yx

xxeeye



















d

；

18

所以

22

2

22

|

1

(,)

(|)

1

()

xxyy

YX

x

X

e

fxy

fyx

fx

e











222()

11

xxyye



2yxe

.

题型三：随机变量的独立性

{,}{}{}PXxYyPXxPYy

，

(,)()()

XY

FxyFxFy

，

离散：

{,}{}{}

ijij

PXxYyPXxPYy

，

ijij

ppp



；

连续：

(,)()()

XY

fxyfxfy

．

例1．设随机变量X与Y相互独立且有相同分布，

11

{1}{1},{1}{1}

22

PXPYPXPY

，

则下列各式成立的是（）

A

1

{}

2

PXY

；B

{}1PXY

；

C

1

{0}

4

PXY

；D

1

{1}

4

PXY

.

解：考察（A）：

19

{}{1,1}{1,1}

{1}{1}{1}{1}

11111

22222

PXYPXYPXY

PXPYPXPY







所以选（A）.

例2．[2005，一（6）]设随机变量X与Y的

概率分布如表，已知随机事件

{0}X

，

{1}XY

独立，则

A

0.2,0.3ab

；B

0.4,0.1ab

；

C

0.3,0.2ab

；D

0.1,0.4ab

.

解：由联合分布律性质：

0.40.11ab

，

0.5ab

；

再利用独立性讨论：

(0,1)(0)(1)PXXYPXPXY

所以:(0,1)(0)(0,1)(1,0)PXYPXPXYPXY

所以：

(0.4)()0.5(0.4)0.20.50.4,0.1aaabaaab

，

所以选（B）.

例3．[2007，一（10）]设随机变量（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y不

相关，

()()

XY

fxfy，

分别表示X，Y的分布密度，则在

Yy

条件下，X的概率

密度

|

(|)

XY

fxy

为（）

A

()

X

fx

；B

()

Y

fy

；C

()()

XY

fxfy

；D

()

()

X

Y

fx

fy

.

解：注意不相关与独立的关系；独立一定不相关；但在一般情况下，不相关未

Y

X

01

00.4

a

1

b

0.1

20

必独立；例外：在二维正态分布下，不相关



独立。

所以本题中：|

()()

(,)

(|)()

()()

XY

XYX

YY

fxfy

fxy

fxyfx

fyfy





答案选A。

例4．[2003，四]设随机变量X和Y都服从正态分布，且X与Y不相关，则（）

AX与Y一定独立；B（X，Y）服从二维正态分布；

CX与Y未必独立；DX+Y服从一维正态分布.

解：由于不知（X，Y）的联合分布是否为二维正态分布，所以不能从X与Y不

相关来判定X与Y是否独立!!!!!!相反，如果X与Y独立，则B，D均成立。

答案选C。

例5．二维随机变量（X，Y）的分布密度

3,01,0,

(,)

0,.

xxyx

fxy











其他

求（1）X与Y边缘概率密度；（2）X，Y是否独立．

解：（1）如图，当

01x

时，

0yx

，故有

2

0

()(,)33x

X

fxfxydyxdyx



（

01x

），

当

01y

时，

1yx

，有

1

2

3

()(,)3(1)

2Y

y

fyfxydxxdxy



（

01y

）；

（2）显然

()()(,)

XY

fxfyfxy

，所以X和Y不是相互独立的．

21

例5．[2008年，三（22）]设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为

1

{}

3i

PXx

，

(1,0,1)i

，Y的概率密度为

1,01

()

0,Y

y

fy











其它

，记

ZXY

，

（1）求

1

{|0}

2

PZX

；

（2）求Z的概率密度

()

Z

fz

.

解：（1）

11

{,0}{0,0}

1

22

{|0}

2{0}{0}

PZXPYX

PZX

PXPX







1

2

0

1

{}{0}

11

2

{}

{0}22

PYPX

PYdy

PX









＝＝＝＝＝＝

独立

；

（2）设Z的分布函数为

()Fz

，Z的取值范围是

[1,2]

，

当

1z

时，

()0Fz

；当

2z

时，

()1Fz

；

当

12z

时，

(){}{}FzPZzPXYz

{|1}{1}PXYzXPX

{|0}{1}PXYzXPX

{|1}{1}PXYzXPX



1

{1}{}{1}

3

PYzPYzPYz

22



1

(1)()(1)

3YYY

FzFzFz

，

所以





1

()()(1)()(1)

3

1

,12

1

(1)()(1)

3

3

0,

ZYYY

YYY

fzFzFzFzFz

z

fzfzfz





















其它

即Z满足区间（－1,2）上的均匀分布.

例6．[2012，一（7）]设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1和4

的指数分布，则

{}PXY

（）

A

1

5

B

1

3

C

2

5

D

4

5

解：由独立性可知，联合密度等于边缘密度的乘积：

4

4

0,

4

040

0

(,)()()

0000

0





































其它

xy

xy

XY

x

e

exey

y

fxyfxfy

xy

所以

4

0

{}(,)4







1

dddd

5

xy

x

xy

PXYfxyxyeyx=

。

题型四：二维随机变量函数的分布及概率的计算

例1．已知随机变量X和Y的联合分布为

（X,Y）（0,0）（0,1）（1,0）（1,1）（2,0）（2,1）

P

0.100.150.250.200.150.15

23

试求：（1）X的边缘分布；（2）X＋Y的概率分布．

解：由已知条件可得

所以（1）X的边缘分布为

（2）X＋Y可取值：0，1，2，3，当X＋Y＝0时，

{0}{0,0}0.10PxyPxy

，

当X＋Y＝1，

{1}{"1,0""0,1"}PxyPxyxy

{1,0}{0,1}0.250.150.4PxyPxy

，

以此类推，可得X＋Y的概率分布为

例2．设随机变量X、Y相互独立，其概率密度分别为

1,01

()

0,X

x

fx











其他

，

,0

()

0,0

y

Y

ey

fy

y













，

求Z=X＋Y的概率密度．

X

Y

012

p

.j

00.100.250.150.50

10.150.200.150.50

p

i.

0.250.450.301

X

012

P

0.250.450.30

X＋Y

0123

P

0.100.400.350.15

24

解：因为随机变量X、Y相互独立，利用卷积公式可得

()

ZXY

fzff1

0

()()1()

XYY

fxfzxdxfzxdx





（作变量代换，令

zxy

，可得）

10

1

0,0

0,0

(),011,01

(1),1

,1

zz

yz

Y

z

z

z

y

z

z

z

fydyedyzez

eez

edyz















































．

例3．设随机变量X、Y相互独立，而且X在（0，1）上均匀分布，Y在（0，2）

上均匀分布，求Z

1

=max{X，Y}，Z

2

=min{X，Y}的概率密度．

解：由已知，X、Y相互独立，且

1,01

()

0,X

x

fx











其他

，

0,0

()01

11

X

x

Fxxx

x

















；

1

,02

()

2

0,

Y

x

fy















其他

，

0,0

()02

2

12

Y

y

y

Fyy

y





















；

则有（1）

1

1

(){}{max{,}}{,}

Z

FzPZzPXYzPXzYz

0,0

01

2

{}{}()()

112

2

12

XY

z

z

zz

PXzPYzFzFz

z

z

z





























；

25

从而

1

Z的概率密度为

22

,01

1

()(),12

2

0,

ZZ

zz

fzFzz





















其他

；

（2）同理可得

2

(){min{,}}1[1()][1()]

ZXY

FzPXYzFzFz

2

1[10][10],0

0,0

1[1][1],01

3

2

,01

22

1[11][1],12

1,1

2

1[11][11],2

z

z

z

zz

zz

z

z

z

z

z







































，

22

3

,01

()()

2

0,

ZZ

zz

fzFz

















其他

．

例4．[1999年]设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布

(0,1)N

和

(1,1)N

，则()

A

2

1

)0(YXP

B

2

1

)1(YXP

C

2

1

)0(YXP

D

2

1

)1(YXP

解：注意到

2

11

(,)XN

，

2

22

(,)YN

，则有

22

1212

(,)(1,2)XYNN

，

由正态分布的几何图形与性质可知，选（B）.

26

例5．[2001，十二]设二维随机变量（X，Y）的联合分布是正方形

{(,)|13,13}Gxyxy

上的均匀分布，试求随机变量

UXY

的概率密度

()pu

。

解：注意联合密度为：

1

,13,13

(,)

4

0,

xy

fxy















其它

，

以

(){}{}FuPUuPXYu

表示随机变量U的分布函数，

显然，当

0u

时，

()0Fu

；

当

2u

时，

()1Fu

；

当

02u

时，则

1

(){}(,)

4

XYuXYu

FuPXYufxydxdydxdy





22

11

[4(2)]1(2)

44

uu

；

所以

1

(2),02,

()()

2

0,

uu

puFu

















其它.

例6．[2002年]假设随机变量U在区间[-2，2]上服从均匀分布，随机变量

1,1,1,1,

1,1;1,1;

UU

XY

UU













若若

若若

求（1）X，Y的联合分布；

（2）D（X+Y）.

解：（1）首先考查X，Y的可能取值：

(1,1),(1,1),(1,1),(1,1),

27

再求出概率：

1

{1,1}{1,1}{1}

4

PXYPUUPU

，

{1,1}{1,1}{}0PXYPUUP

，

1

{1,1}{1,1}{11}

2

PXYPUUPU

；

1

{1,1}{1,1}{1}

4

PXYPUUPU

，

所以联合分布为：

(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)

(,)

1/401/21/4

XY











；

（2）

XY

，

2()XY

的概率分布分别为：

2002202

1/401/21/41/41/21/4

XY













2

400404

()

1/401/21/41/21/2

XY











所以

111

()(2)020

424

EXY

，

222

1

()()()()42

2

DXYEXYEXYEXY

。

例7．[2003，十二]设随机变量X与Y相互独立，其中X的概率分布为

12

0.30.7

X









，而Y的概率密度为

()fy

，求随机变量

UXY

的概率

密度

()gu

。

解：注意本题中两个随机变量一个是离散的，一个是连续的，由于X只能取两

个值，常用全概率公式求之。

28

设

()Fy

表示随机变量Y的分布函数，由全概率公式：

(){}({(1)(2)})uuuGPXYPXYX=X

(1)(|1)(2)(|2)uuPPX=PXYX=X=PXYX=

0.3(1|1)0.7(2|2)uuPYXPYX

(1)(2(1)(2)

0.30.7

)

(1)(2)

uu









PYPPXX

P

YP

PXX

0.3(1)0.7(2)uuPYPY

0.3(1)0.7(2)uuFF

，

所以

()()0.3(1)0.7(uu



guGuFF

0.3(1)0.7(2)uuff

。

例8．[2005，三（22）]设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

1,01,02,

(,)

0,

xyx

fxy











其它

求（1）（X，Y）的边缘概率密度

()()

XY

fxfy，

；

（2）Z=2X-Y的概率密度

()

Z

fz

；

（3）

11

{|}

22

PYX

。

解：由联合求边缘，求函数分布密度，求条件概率。

（1）当

01x

时，

2

0

()(,)12x

X

fxfxydydyx



，

所以

2,01,

()

0,X

xx

fx











其它.

同理：

02y

时，

1

2

()(,)11

2y

Y

y

fyfxydxdx



；

29

所以

1,02,

()

2

0,

Y

y

y

fy















其它.

（2）先求Z的分布函数：

当

0z

时，

()0

Z

Fz

；

当

02z

时，

(){}{2}

Z

FzPZzPXYz

12

{2}

DD

PXzYdxdydxdy

212

2

002

2

z

xx

z

xz

dxdydxdy





2

(1)(1)

424

zzz

zz

；

当

2z时，

12

00

()1x

Z

Fzdxdy；

从而

0,0,

()(1),02,

4

1,2,

Z

z

z

Fzzz

z





















所以

1,02,

()()

2

0,

ZZ

z

z

fzFz

















其它.

（3）

11

{}

11

22

{|}

1

22

{}

2

PYX

PYX

PX









，

30

而

11

22

0

11

{}()2

24X

PXfxdxxdx



，

1

11

2

2

42

1

000

4

11

{}

22

113

.

16816

x

PYXdxdydxdy





所以：

113/163

{|}

221/44

PYX

。

例9．[2006年，一（5）]假设随机变量X，Y相互独立，且均服从区间[0，3]

上的均匀分布，则

{max{,}1}PXY

=。

解：

{max{,}1}{1,1}{1}{1}PXYPXYPXPY

11

00

111

{1}{1}

339

PXPYdxdy。

例10．[2007，三（23）]设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

2,01,01,

(,)

0,

xyxy

fxy











其它

求（1）

{2}PXY

；

（2）Z=X+Y的概率密度

()

Z

fz

；

解：（1）略

（2）同上题解法，注意分段：

当

0z

时，

()0

Z

Fz

；当

2z

时，

()1

Z

Fz

；

31

当

01z

时，

32

1

()

3Z

Fzzz

；

当

12z

时，

32

15

()4

33Z

Fzzzz

；

再求导，得概率密度。

例11．[2009年]设随机变量X与Y相互独立，且X服从正态分布

(0,1)N

，

Y的概率分布为

1

{0}{1}

2

PYPY

。记

()

z

Fz

为随机变量

Z=XY

的分

布函数，则函数的间断点的个数为()

A0；B1；C2；D3。

解：当

0z<

时，

(){}{0}{1}

z

FzPXYzPXYz,YPXYz,Y

{0}{0}{1}{1}PYP|YPYPXYz|YXYz

1{,1}1{}{1}1

()

2{1}2{1}2







PXzYPXzPY

z

PYPY；

(这里：

{0}{0}XYz0z<0P|YP|Y0

)

当

0z

时，

(){}{0}{1}

z

FzPXYzPXYz,YPXYz,Y

{0}{1}{1}PYPYPXYz|Y

1111

{}()

2222

PXzz

，

显然只在

0z

处间断，选（B）.

例12．[2011，一（22）]设随机变量X，Y的概率分布分别为

32

01101

,

1323131313









XY

且

22{}1PXY

。

（1）求二维随机变量（X，Y）的概率分布；

（2）求Z=XY的概率分布；

（3）求X与Y的相关系数。

解：（1）由边缘分布求联合分布：注意条件

（2）……

101

131313









Z

（3）

2

()()0()()0()00

3



XY

EX,EY,EXYEZcovX,Y

。

Y

X

-101

00

？

01/3

1

？

0

？

2/3

1/31/31/31