插入法

..

.v.

110.3组合〔六〕教学目标:1．掌握组合数的性质，并能应

用组合数的性质解题.2．培养学生应用公式、性质的能力.教

学重点:隔板法、插入法、捆绑法解决组合问题.教学难点:隔

板法、插入法、捆绑法.教学过程:讲授新课例1．有10个

一样的小球，放入编号为1、2、3的三个不同盒子，�7�6

要求每个盒子非空，共有多少种放法.�7�7要求每个盒子

放入的小球数不少于盒子的编号数，共有多少种放法.方法

一:�7�6设x＋y＋z＝10,x≥y≥z,其正整数解为：x＝8，y

＝1，z＝1；x＝7，y＝2，z＝1；x＝6，y＝3，z＝1；x＝6，

y＝2，z＝2；x＝5，y＝4，z＝1；x＝5，y＝3，z＝2；x＝4，

y＝4，z＝2；x＝4，y＝3，z＝3．那么放法有:.36443313

AA�7�7先将1个、2个小球分别放入第2、3个盒

子，再按�7�6放入每个盒子的小球数>0，设x＋y＋z＝

7,x≥y≥z,其正整数解为：x＝5，y＝1，z＝1；x＝4，y＝2，

z＝1；x＝3，y＝3，z＝1；x＝3，y＝2，z＝2．那么放法有:.

1533313AA方法二：隔板法.如:对应:�7�63629

C�7�71526C答:�6�7练习1.某中学从高中7个

班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题

竞赛活动，使代表中每班至少有1人参加的选法有多少种.

611C462练习2.6人带10瓶汽水参加春游，每人至少

带1瓶汽水，共有多少种不同的带法.12659C练习3.

市某中学要把9台型号一样的电脑送给西部地区的三所希

..

.v.

望小学，每所小学至少得到2台，共有种不同送法.例2.

方程x＋y＋z＋w＝100，求这个方程的正整数解的组数.练习

4.方程x1＋x2＋x3＝50，求这个方程有多少组非负整数

解.1号2号3号1号2号3号1号2号3号2隔板法：

就是把“|〞当成隔板，把考察的对象分成假设干份．例3.

一座桥上有编号为1，2，3�6�7，10的十盏灯，为节约用

电又不影响照明，可以把其中的三盏关掉，但不能关掉相

邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，问不同的关灯方

法有多少种.练习5.一条长椅上有9个座位，3个人坐，假

设相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法.

例4.一条长椅上有七个座位，四人坐，要求三个空位中有

两个空位相邻，另一个空位与这两个相邻空位不相邻，共

有几种坐法.课堂小结1.隔板法；2.插入法；3.捆绑法.捆

绑法和插空法是解排列组合问题的重要方法之一，主要用于

解决"相邻问题"及"不邻问题"。总的解题原那么是"相邻问

题捆绑法，不邻问题插空法"。在实际公务员考试培训过程

中，我发现学员经常碰到这样的困惑，就是一样类型的题

目，不过表达的形式有所变化，就很难用已解过的题目的

方法去解决它，从而降低了学习效率。下面结合有关捆绑

法和插空法的不同变化形式，以实际例题详细讲解。"相邻

问题"捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，

先整体考虑，也就是将相邻元素视作一个大元素进展排序，

..

.v.

然后再考虑大元素部各元素间顺序的解题策略就是捆绑

法．〔注〕运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意

“捆绑〞起来的大元素部的顺序问题部各元素间排列顺序

的解题策略。例1．假设有A、B、C、D、E五个人排队，

要求A和B两个人必须站在相邻位置，那么有多少排队方

法.【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首

先将A和B两个人"捆绑"，视其为"一个人"，也即对"A，

B"、C、D、E"四个人"进展排列，有种排法。又因为捆绑

在一起的A、B两人也要排序，有种排法。根据分步乘法

原理，总的排法有种。例2．有8本不同的书；其中数

学书3本，外语书2本，其它学科书3本．假设将这些书

排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排

在一起的3排法共有多少种．(结果用数值表示)解：把3本

数学书“捆绑〞在一起看成一本大书，2本外语书也“捆

绑〞在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元

素，共有A(5,5)种排法；又3本数学书有A(3,3)种排法，2本

外语书有A(2,2)种排法；根据分步计数原理共有排法

A(5,5)A(3,3)A(2,2)=1440(种).【解析】：把3本数学书"捆绑"

在一起看成一本大书，2本外语书也"捆绑"在一起看成一本

大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排法；又

3本数学书有种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘

法原理共有排法种。【王永恒提示】：运用捆绑法解决排

..

.v.

列组合问题时，一定要注意"捆绑"起来的大元素部的顺序问

题。解题过程是"先捆绑，再排列"。6个球放进5个盒子，

有多少种不同的方法.其实，由抽屉原理可知，必然有两个

球在一起。所以答案是C〔6,2〕XA(5,5)其实就是6取2，

与5的阶乘的积1、有10本不同的书：其中数学书4本，

外语书3本，语文书3本。假设将这些书排成一列放在书

架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法

共有()种。2、5个人站成一排，要求甲乙两人站在一起，

有多少种方法.43、6个不同的球放到5个不同的盒子中，

要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法.4、一台晚

会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目，4个舞蹈节目要排在

一起，有多少不同的安排节目的顺序.1、有ABCDE共5个

人并排站在一起,如果AB必须相邻,并B在A的右边,那么

不同的排法有多少种2、将袋子里面的所有球排成一排，

要求红色的球彼此相邻，有〔〕种方法3、将袋子里面的

所有球排成一排，要求红色的球互不相邻，有〔〕种方法

局部题目答案：2、【解】P(5,5)×P(5,5)3、【解】P(4,4)×P(5,5)

1、将袋子里面的所有球分成三组，每组至少一个，有〔〕

种方法2、将袋子里面的所有球分成三组，每组恰好三个，

有〔〕种方法3、将袋子里面的所有球分成至多三组，每

组至少一个，有〔〕种方法54、将袋子中的五个红球排

成一排，假设要求1号球不在第一个位置，3号球不在第

..

.v.

二个位置，5号球不在第三个位置，7号球不在第四个位置，

9号球不在第五个位置，有〔〕种方法"不邻问题"插空法，

即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它

元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙

或两端位置，从而将问题解决的策略。例3．假设有A、

B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在

一起，那么有多少排队方法.【解析】：题目要求A和B两

个人必须隔开。首先将C、D、E三个人排列，有种排法；

假设排成DCE，那么D、C、E"中间"和"两端"共有四个空

位置，也即是：〕D〕C〕E〕，此时可将A、B两

人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。由乘法

原理，共有排队方法：。例4．在一节目单中原有6个节

目，假设保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节

目，那么所有不同的添加方法共有多少种.【解析】：直接

解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去

插7个空位〔原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个

空位〕，有种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种

方法；用最后一个节目去插9个空位，有方法，由乘法原

理得：所有不同的添加方法为=504种。例5．一条马路

上有编号为1、2、�6�7�6�7、9的九盏路灯，为了节约

用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两

盏或三盏，那么所有不同的关灯方法有多少种.【解析】：

..

.v.

假设直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的

灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共

有种方法〔请您想想为什么不是〕，因此所有不同的关

灯方法有种。【王永恒提示】：运用插空法解决排列组合

问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素"中间空位"

和"两端空位"。解题过程是"先排列，再插空"。例6．练习：

一节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序

不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法.〔国考

2021-57〕A．20B．12C．6D．4678解排列组合应用题

的21种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生

动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，

掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组

合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解

题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑

成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.五人并排站成一

排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有

〔〕9A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把

视为一人，且固定在的右边，那么此题相当于4人的全排

列，种，选.2.相离问题插空排:元素相离〔即不相邻〕问题，

可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的

几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站

成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是

..

.v.

〔〕A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解

析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个

空位有种，不同的排法种数是种，选.3.定序问题缩倍法:

在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩

小倍数的方法.例3.五人并排站成一排，如果必须站在

的右边〔可以不相邻〕那么不同的排法种数是〔〕A、

24种B、60种C、90种D、120种解析：在的右边与

在的左边排法数一样，所以题设的排法只是5个元素全排

列数的一半，即种，选.4.标号排位问题分步法:把元素排

到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另

一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，

3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，

那么每个方格的标号与所填数字均不一样的填法有〔〕A、

6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1填入方格

中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数

字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两

个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选.5.

有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成假设干组，

可用逐步下量分组法.例5.〔1〕有甲乙丙三项任务，甲需2人

承当，乙丙各需一人承当，从10人中选出4人承担这三项

任务，不同的选法种数是〔〕A、1260种B、2025种C、

2520种D、5040种解析：先从10人中选出2人承当甲项

..

.v.

任务，再从剩下的8人中选1人承当乙项任务，第三步从

另外的7人中选1人承当丙项任务，不同的选法共有种，

选.〔2〕12名同学分别到三个不同的路口进展流量的调查，

假设每个路口4人，那么不同的分配方案有〔〕A、种

B、种C、种D、种答案：.6.全员分配问题分组法:例

6.〔1〕4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少

去一名，那么不同的保送方案有多少种.解析：把四名学生

分成3组有种方法，再把三组学生分配到三所学校有种，

故共有种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都

有元素分配时常用先分组再分配.10〔2〕5本不同的书，全

局部给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为〔〕

A、480种B、240种C、120种D、96种答案：.7.名

额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，

每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案.解析：10

个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个一样的

小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个

空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故

共有不同的分配方案为种.8.限制条件的分配问题分类法:

例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西

部四城市参加中国西部经济开发建立，其中甲同学不到，

乙不到，共有多少种不同派遣方案.解析：因为甲乙有限制

条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①

..

.v.

假设甲乙都不参加，那么有派遣方案种；②假设甲参加而

乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有方

法，所以共有；③假设乙参加而甲不参加同理也有种；④

假设甲乙都参加，那么先安排甲乙，有7种方法，然后再

安排其余8人到另外两个城市有种，共有方法.所以共有

不同的派遣方法总数为种.9.多元问题分类法：元素多，取

出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分

别计数，最后总计.例9〔1〕由数字0，1，2，3，4，5组

成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的

共有〔〕A、210种B、300种C、464种D、600种解

析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，

分别有个，个，合并总计300个,选.〔2〕从1，2，3…，

100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，

这两个数的取法〔不计顺序〕共有多少种.解析：被取的

两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7

整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数

的集合记做共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合

记做共有86个元素；由此可知，从中任取2个元素的取

法有，从中任取一个，又从中任取一个共有，两种情

形共符合要求的取法有种.〔3〕从1，2，3，…，100这

100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法〔不计顺

序〕有多少种.解析：将分成四个不相交的子集，能被4整

..

.v.

除的数集；能被4除余1的数集，能被4除余2的数集，

能被4除余3的数集，易见这四个集合中每一个有25个

元素；从中任取两个数符合要；从中各取一个数也符合

要求；从中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符

合要求；所以符合要求的取法共有种.10.穿插问题集合法：

某些排列组合问题几局部之间有交集，可用集合中求元素个

数公式.例10.从6名运发动中选出4人参加4×100米接

力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不

同的参赛方案.解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排

列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四11棒的

排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：种.11.

定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排

这个或几个元素；再排其它的元素。例11.1名教师和4名

获奖同学排成一排照相留念，假设教师不站两端那么有不同

的排法有多少种.解析：教师在中间三个位置上选一个有

种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种。.

12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考

虑，再分段处理。例12.〔1〕6个不同的元素排成前后两排，

每排3个元素，那么不同的排法种数是〔〕A、36种B、

120种C、720种D、1440种解析：前后两排可看成一排

的两段，因此此题可看成6个不同的元素排成一排，共种，

选.〔2〕8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，

..

.v.

其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多

少种不同排法.解析：看成一排，某2个元素在前半段四个

位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位

置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故

共有种排法.13.“至少〞“至多〞问题用间接排除法或分

类法:例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其

中至少要甲型和乙型电视机各一台，那么不同的取法共有

〔〕A、140种B、80种C、70种D、35种解析1：

逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取

另一种型号的电视机，故不同的取法共有种,选.解析2：

至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台

乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有台,选.14.

选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，

再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.〔1〕四个

不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，那么恰有一个

空盒的放法有多少种.解析：先取四个球中二个为一组，另

二组各一个球的方法有种，再排：在四个盒中每次排3个

有种，故共有种.〔2〕9名乒乓球运发动，其中男5名，

女4名，现在要进展混合双打训练，有多少种不同的分组

方法.解析：先取男女运发动各2名，有种，这四名运发动

混和双打练习有中排法，故共有种.15.局部合条件问题排

除法:在选取的总数中，只有一局部合条件，可以从总数中减

..

.v.

去不符合条件数，即为所求.例15.〔1〕以正方体的顶点为

顶点的四面体共有〔〕A、70种B、64种C、58种D、

52种解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构

成四面体，但6个外表和6个对角面的四个顶点共面都不

能构成四面体，所以四面体实际共有个.12〔2〕四面体的

顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同

的取法共有〔〕A、150种B、147种C、144种D、141

种解析：10个点中任取4个点共有种，其中四点共面的

有三种情况：①在四面体的四个面上，每面四点共面的情

况为，四个面共有个；②过空间四边形各边中点的平行四

边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.

所以四点不共面的情况的种数是种.16.圆排问题单排法:把

个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序〔例如

按顺时钟〕不同的排法才算不同的排列，而顺序一样〔即

旋转一下就可以重合〕的排法认为是相同的，它与普通排

列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，以下个普通排

列：在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为

一样，个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展

成单排，其它的元素全排列.例16.5对姐妹站成一圈，要

求每对姐妹相邻，有多少种不同站法.解析：首先可让5位

姐姐站成一圈，属圆排列有种，然后在让插入其间，每位

均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安

..

.v.

排方式种不同站法.说明：从个不同元素中取出个元素作

圆形排列共有种不同排法.17.可重复的排列求幂法:允许重

复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的

约束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在个

不同位置的排列数有种方法.例17.把6名实习生分配到7

个车间实习共有多少种不同方法.解析：完成此事共分6步，

第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二

步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次

类推，由分步计数原理知共有种不同方案.18.复杂排列组

合问题构造模型法:例18.马路上有编号为1，2，3…，9九

只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或

三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多

少种.解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5

个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满足条件的关灯

方案有10种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转

化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问

题容易解决.19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举

法:例19.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，

2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个

盒子放一个球，并且恰好有两个球的与盒子一样，问有多少

种不同的方法.解析：从5个球中取出2个与盒子对号有

种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法

..

.v.

分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球

不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号

球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只

有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数

为种.20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:例20.

〔1〕30030能被多少个不同偶数整除.解析：先把30030分

解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶

因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取假设干

个组成成积，所有的偶因数为13个.〔2〕正方体8个顶点

可连成多少队异面直线.解析：因为四面体中仅有3对异面

直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不

同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面

体有个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.

21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要

的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例

21.〔1〕圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆的交

点有多少个.解析：因为圆的一个接四边形的两条对角线相

交于圆一点，一个圆的接四边形就对应着两条弦相交于圆

的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定

多少个不同的四边形，显然有个，所以圆周上有10点，

以这些点为端点的弦相交于圆的交点有个.〔2〕某城市的

街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从到的

..

.v.

最短路径有多少种.解析：可将图中矩形的一边叫一小段，

从到最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；

而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段

的走法，便能确定路径，因此不同走法有种.排列组合问

题的求解策略(本周回忆〕方肇飞〔归纳版〕1.计数原理：

①加法原理：N=n1+n2+n3+�6�7+nM(分类)②乘法原理：

N=n1·n2·n3·�6�7nM(分步)；2.排列〔有序〕与组合

〔无序〕；排列一般为总元素中选局部，然后对选出元素

进展安排，要各得其所。〔一对一〕3.公式和性质：〔自己

写〕4.排列组合混合题的解题原那么：先选后排，先分再

排。5.排列组合题的主要解题方法：解答排列组合问题，

首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或

者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特

征，灵活运用根本原理和公式进展分析解答。同时还要注

意讲究一些策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃

而解。下面介绍几种常用的解题方法。14一、合理分类与

准确分步法解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性

质进展分类，按事情发生的连续过程分步，作到分类标准

明确，分步层次清楚，不重不漏。例1、五个人排成一排，

其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有〔〕A．120

种B．96种C．78种D．72种分析：由题意可先安排甲，

并按其分类讨论：1〕假设甲在末尾，剩下四人可自由排，

..

.v.

有种排法；2〕假设甲在第二，三，四位上，那么有种排

法，由分类计数原理，排法共有种，选C。二、正难反易

转化法对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难

问题，从正面入手情况较多，不易解决，这时可从反面入

手，将其转化为一个简单问题来处理。例2、马路上有8只

路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯

关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端

的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种.分析：关掉

第1只灯的方法有6种，关第二只，第三只时需分类讨论，

十分复杂。假设从反面入手考虑，每一种关灯的方法对应

着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列，于是问题转化

为“在5只亮灯的4个空中插入3只暗灯〞的问题。故关

灯方法种数为。三、混合问题“先选后排〞对于排列组

合混合问题，可先选出元素，再排列。例3、4个不同小

球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法

有多少种.分析：因有一空盒，故必有一盒子放两球。1〕

选：从四个球中选2个有种，从4个盒中选3个盒有种；

2〕排：把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个

元素，对选出的3盒作全排列有种，故所求放法有种。四、

“优先安排法〞：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，

再考虑其他元素.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要

求，再考虑其他位置.例4、用0，2，3，4，5，五个数字，

..

.v.

组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有〔〕。A．24

个B。30个C。40个D。60个[分析]由于该三位数为偶

数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故015就

是其中的“特殊〞元素，应该优先安排，按0排在末尾和0

不排在末尾分两类：1〕0排末尾时，有个，2〕0不排在

末尾时，那么有个，由分数计数原理，共有偶数=30个，

选B。五、间接法〔总体淘汰法〕对于含有否认字眼的问

题，可以从总体中把不符合要求的除去，此时需注意不能

多减，也不能少减。例如在例4中，也可用此法解答：五

个数字组成三位数的全排列有个，排好后发现0不能排首

位，而且数字3，5也不能排末位，这两种排法要除去，故

有个偶数。六、局部问题“整体优先法〞对于局部排列

问题，可先将局部看作一个元与其余元素一同排列，然后在

进展局部排列。例5、7人站成一排照相，要求甲乙两人

之间恰好隔三人的站法有多少种.分析：甲、乙及间隔的3

人组成一个“小整体〞，这3人可从其余5人中选，有种；

这个“小整体〞与其余2人共3个元素全排列有种方法，

它的部甲、乙两人有种站法，中间选的3人也有种排法，

故符合要求的站法共有种。七、相邻问题“捆绑法〞对

于某几个元素要求相邻的排列问题，可将相邻的元素看作一

个“元〞与其他元素排列，然后在对“元〞部元素排列。

例6、7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种

..

.v.

不同排法.分析：把甲、乙、丙三人看作一个“元〞，与其

余4人共5个元作全排列，有种排法，而甲乙、丙、之间

又有种排法，故共有种排法。八、不相邻问题“插空法〞

对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，

再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即

可。例7、在例6中，假设要求甲、乙、丙不相邻，那么

有多少种不同的排法.分析：先将其余四人排好有种排法，

再在这人之间及两端的5个“空〞中选三个位置让甲乙

丙插入，那么有种方法，这样共有种不同排法。九、顺

序固定问题用“除法〞对于某几个元素顺序一定的排列问

题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排

列数除以这几个元素的全排列数。例8、6个人排队，甲、

乙、丙三人按“甲---乙---丙〞顺序排的排队方法有多少种.

分析：不考虑附加条件，排队方法有种，而其中甲、乙、

丙的种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有

种。十、构造模型“隔板法〞对于较复杂的排列问题，

可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。例9、

方程a+b+c+d=12有多少组正整数解.分析：建立隔板模型：

将12个完全一样的球排成一列，在它们之间形成的1116

个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，而每一种分法

所得4堆球的各堆球的数目，即为a,b,c,d的一组正整解，

故原方程的正整数解的组数共有。再如方程a+b+c+d=12

..

.v.

非负整数解的个数；三项式,四项式等展开式的项数，经

过转化后都可用此法解。十一、分排问题“直排法〞把几

个元素排成前后假设干排的排列问题，假设没有其它的特殊

要求，可采取统一排成一排的方法来处理。例10、7个人

坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，那么不同的

坐法有多少种.分析：7个人可以在前两排随意就坐，再无

其它条件，故两排可看作一排来处理，不同的坐法共有种。

十二、表格法有些较复杂的问题可以通过列表使其直观化。

例11、9人组成篮球队，其中7人善打前锋，3人善打后卫，

现从中选5人〔两卫三锋，且锋分左、中、右，卫分左右〕

组队出场，有多少种不同的组队方法.分析：由题设知，其

中有1人既可打锋，又可打卫，那么只会锋的有6人，只会

卫的有2人。列表如下：人数6人只会锋2人只会卫1

人即锋又卫结果不同选法32311〔卫〕221〔锋〕由

表知，共有种方法。除了上述方法外，有时还可以通过

设未知数，借助方程来解答，简单一些的问题可采用列举

法，还可以利用对称性或整体思想来解题等等。排列组合是

高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的根

底。事实上，许多概率问题也可归结为排列组合问题。这

一类问题不仅容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现

“重复〞和“遗漏〞的错误，这些错误甚至不容易检查出

来，所以解题时要注意不断积累经历，总结解题规律，掌

..

.v.

握假设干技巧。6.在求解排列与组合应用问题时，应注意：

(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析

确定运用分类计数原理还是分步计数原理；(3)用何种方法.

(4)分析题目条件，防止“选取〞时重复和遗漏；(5)列出式

子计算和作答.三经常运用的数学思想是：①分类讨论思

想；②转化思想；③对称思想.7.解排列组合题的一般思路〔步

骤〕及方法：〔刚开场学时的关键所在，即找出框架〕a、

先分析事件是什么，并判断完成这件事情是分步还是分类.17

如分步，那么分几步.每个步骤又分几种情况.如分类，如何

分类，在你选好某种个人分类方法后那么分几类.每类又有几

种情况.在某类中是否依步进展不了还需再分类。b、先考

虑以上两个原那么，再考虑这件事情的发生有无顺序，有序

那么排列，无序那么组合；然后考虑题意，根据题意选择

用何种方法：插空法、优先法、捆绑法、间接法、去杂法、

树形法等等；一定要确保其中无重复，无遗漏！当然只要找

准套路就没问题。题型可由你归纳为排队问题，数字问题

和几何问题〔染色〕等。要以典型例题为本来模仿！不要

以为是出现了新问题而束手无策。同学们在学习时，假设

能把一个题的解答分析过程清楚地表达出来，那么，就一定

对该题该类都了如指掌了，这正如有的同学为什么帮别人解

答了问题提高了自己。在此我希望高二〔11〕，〔12〕班的

同学们能够齐心协力，按时按质完成每天的任务，不在中

..

.v.

途落下。能把高考中的这21分拿到手。同时激发年轻人的

斗志，无往不胜！牛刀小试：1、设集合M={a,b,c,d},

N={a1,b1,c1},那么M到N上的映射的个数为_81____.2、

现有6同排连座号的电影票,分给3名教师与3名学生,要

求师生相间而坐,那么不同的分法数为_____72_______.3、

一名数学教师和四名获奖学生排成一行留影,假设教师不排

在两端,那么共有多少种不同的排法_______72_____.4、从

6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至

少有原装与组装计算机各2台,那么不同的选法有

____350________.5、集合{－11,－7,0,1,2,3,5}从中每次取出3

个不重复的元素作为直线Ax+By+C=0中的字母A、B、C,

那么斜率小于零的直线共有______70__条.6、有一个田字格，

用四种不同的颜色去涂，相邻的格子不能用同一种颜色，那

么有____84__种填涂方法。7、7人坐成一排照像,其中甲、

乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻,那么共有___240_____

排法.8、8人排成一排,其中甲、乙、丙三人中有2人相邻,

但这3人不同时相邻的排法有_____21600___种.解答排列

组合应用题的策略〔第二周回忆〕方肇飞07.03.25解决排

列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有

序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。其次，要抓

住问题的本质特征，准确合理地利用两个根本原那么进展

“分类与分步〞。加法原理的特征是分类解决问题，分类必

..

.v.

须满足两个条件：①类18与类必须互斥(不相容)，②总类

必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分

步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。分类

与分步是解决排列组合问题的最根本的思想策略，在实际

操作中往往是“步〞与“类〞穿插，有机结合，可以是类

中有步，也可以是步中有类。以上解题思路分析，可以用

顺口溜概括为：审明题意，排〔组〕分清；合理分类，用准

加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位

置，特殊先行；一题多解，检验真伪。下面对几种典型的

排列组合问题进展策略分析，拟找到解决相应问题的有效方

法。具体题目在审题时一定要明白题意，理解对了才能做

对。每个字眼都要看清。如种，个，相同不一样，不重复

或没提到，否那么千错万错。有的题目从不角度做有难易之

分，比方从元素或位置做。一定打好根底，对定义理解〔可

以编一个情景〕才能在遇到任何题时充满自信，进展模仿

或变通，找出做题的方法。有时需要的可能是一点点技巧，

公式转化。要有类比思想，归一或转化区分。一、特殊优

先，一般在后对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安

排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先〞，有时

“位置优先〞。例10、2、3、4、5这五个数字，组成没有

重复数字的三位数，其中偶数共有几个.练习1由数字1、

2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的

..

.v.

偶数共有__________个〔用数字作答〕。二、排组混合，

先选后排对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元

素，再进展排列。这就是分组的作用。防止直接分配〔即

分步去做〕行不通。例2(95年全国)4个不同的小球放入

编号为1、2、3、4的四个盒，那么恰有一个空盒的放法有

几种。练习2由数字1，2，3，4，5，6，7组成有3个

奇数字，2个偶数字的五位数，数字不重复的有多少个.

三、元素相邻，整体处理对于某些元素要求相邻排列的问

题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它

元素进展排列，同时对相邻元素进展自排。例35个男生3

个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法.练习3四

对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种.四、元素

间隔，分位插入对于某些元素要求有间隔〔本质〕的排列，

用插入法。不要后来放东西也认为是插空。例45个男生3

个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种

排法.练习44男4女站成一行，男女相间的站法有多少种.

练习5从1、2、�6�7、10这十个数中任选三个互不相邻

的自然数，有几种不同的取法.五、元素定序，先排后除或

选位不排或先定后插19对于某些元素的顺序固定的排列问

题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中

选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进展排

列。也可先放好定序的元素，再一一插入其它元素。例65

..

.v.

人参加百米跑，假设无同时到达终点的情况，那么甲比乙先

到有几种情况.练习6要编制一演出节目单，6个舞蹈节目

已排定顺序，要插入5个歌唱节目，那么共有几种插入方

法.六、“小团体〞排列，先“团体〞后整体对于某些排列

问题中的某些元素要求组成“小团体〞时，可先按制约条件

“组团〞并视为一个元素再与其它元素排列。例7四名男

歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要

求两名女歌手之间有两名男歌手，那么出场方案有几种.练

习76人站成一排，其中一小孩要站在爸妈之间的站法有多

少种.七、不同元素进盒，先分堆再排列对于不同的元素放

入几个不同的盒，当有的盒有不小于2个元素时，不可分批

进入，必须先分堆再排入。例85个教师分配到3个班搞

活动，每班至少一个，有几种不同的分法.练习8有6名同

学，求以下情况下的分配方法数：①分给数学组3人，物

理组2人，化学组1人；②分给数学组2人，物理组2人，

化学组2人；③分给数学、物理、化学这三个组，其中一

组3人，一组2人，一组1人；④平均分成三组进展排球

训练。八、一样元素进盒，用档板分隔例910参观公园的

门票分给5个班，每班至少1，有几种选法.练习9从全校

10个班中选12人组成排球队，每班至少一人，有多少种选

法.九、两类元素的排列，用组合选位法例1010级楼梯，

要求7步走完，每步可跨一级，也可跨两级，问有几种不同

..

.v.

的跨法.练习103面红旗2面黄旗，全部升上旗杆作信号，

可打出几种不同的信号.例11从5个班中选10人组成校篮

球队(无任何要求)，有几种选法.