立方的计算公式

第一阶梯

???[例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两

个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：

???(1)(2x+3y)(2x-3y)??????(2)(1+2a)(1-2a)????(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)??(4)(-a2-b2)(b2-a2)

???提示：

???刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如（1）（2x+3y）(2x-3y)=

（）2-（）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。

???

参考答案：

???(1)（2x+3y）(2x-3y)=（2x）2-(3y)2=4x2-9y2

???(2)(1+2a)(1-2a)=12-(2a)2=1-4a2

???(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4

???(4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4

???说明：

???平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的特征是：

???（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。

???（2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注

意：

???①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式

???②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公

式标准的形式，如第（4）小题。

???[例2]计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b）

2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即（a±b）2=a2±2ab+b2，这

就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘

法的完全平方公式。利用这两个公式计算

(1)(x+5)2???(2)(2-y)2??(3)(3a+2b)2?????(5)(-a+2b)2

???提示：

???在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是b。

???参考答案：

???(1)(x+5)2=x2+2·x·5+52=x2+10x+25

???(2)(2-y)2=22-2·2·y+y2=4-4y+y2

???(3)(3a+2b)2=(3a)2+2·3a·2b+(2b)2=9a2+12ab+4b2

????

????(5)(-a+2b)2=(-a)2+2·(-a)·2b+(2b)2=a2-4ab+4b2

???说明：

???1、（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的

完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

???2、这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，（即二项式的平方形式），右边是三项

式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍。

???3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式。

???4、只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式，在运用公式时，注意防止发生（a±b）2=a2±

b2这样的错误。

???[例3]计算（a+b）(a2-ab+b2)和(a-b)(a2+ab+b2)，可知（a+b）(a2-ab+b2)=a2-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,（a-b）

(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3,即（a±b）(a2ab+b2)=a3±b3，这就是说，两数和（或差）乘以它们

的平方和与它们的积的差（或和），等于这两个数的立方和（或差），这两个公式叫做乘法的立方和公式与

立方差公式，利用这两个公式计算：

???（1）（x+2）(x2-2x+4);(2)(3-y)(9+3y+y2);

???（3）(3x-4y)(9x2+12xy+16y2);

???（5）(3x2-2y2)(9x4+6x2y2+4y4)

???提示：

???先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算，再弄清题目中哪个数或式是a，哪个数或式是b，最

后再代入公式计算。

???参考答案：

???（1）（x+2）(x2-2x+4)=(x+2)(x2-x·2+22)=x3+23=x3+8

???（2）(3-y)(9+3y+y2)=(3-y)(32+3·y+y2)=33-y3=27-y3

???（3）(3x-4y)(9x2+12xy+16y2)=(3x-4y)[(3x)2+3x·4y+(4y2)]=(3x)3-(4y)3=27x3-64y3

????

???（5）（3x2-2y2）(9x4+6x2y2+4y4)=(3x2-2y2)[(3x2)2+3x2·2y2+(2y2)2]=(3x2)3-(2y2)3=27x6-8y6

???说明：

???1、注意对公式的理解和记忆（1）项数特征：两项乘三项→积为二项，（2）符号特征：二项的因式若两

项都为"+"，则三项的因式符号为+，-，+，积的符号与二项因式的符号相同，二项的因式符号若为"+"，

"-"，则三项的因式符号为+，+，+，积的符号与二项因式的符号相同，即是说公式在各种条件都相符的情

况下，所得的积是两数的"立方和"还是两数的"立方差"，主要看乘积中第一个乘式是"两数和"，还是"两数

差"。

???2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式。

?第二阶梯

???[例1]利用乘法公式计算：

???(1)（x+3）(x-3)(x2+9)?????(2)(a+b)(a-b)(a2-b2)

???(3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)?(4)(a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)

???提示：

???（1）小题可两次使用平方差公式；

???（2）小题先使用平方差公式，再使用完全平方公式；

???（3）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式

???（4）小题两次使用立方差公式。

???参考答案：

???(1)(x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=(x2)2-92=x4-81

???(2)(a+b)(a-b)(a2-b2)=(a2-b2)(a2-b2)=(a2-b2)2=(a2)2-2a2b2+(b2)2=a4-2a2b2+b4

???(3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)=(x2-4)(x4+4x2+16)=(x2)3-43=x6-64

???(4)(a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)=(a3-b3)(a6+a3b3+b6)=(a3)3-(b3)3=a9-b9

???说明：

???遇到多项式的乘法问题，首先应看看是否符合某个乘法公式，若有恰当的公式使用可大大简化运算过

程。

???[例2]运用乘法公式计算：

???(1)(a+b+c)(a-b-c)??(2)(a-2b+3c)(a+2b-3c)

???(3)(x+2y+z)2???????(4)(2x-3y-4z)2

???提示：

???（1）（2）小题可利用平方差公式进行计算；（3）（4）小题可利用完全平方公式进行计算。

???参考答案：

???(1)（a+b+c）(a-b-c)=[a+(b+c)][a-(b+c)]=a2-(b+c)2=a2-(b2+2bc+c2)=a2-b2-2bc-c2

???(2)(a-2b+3c)(a+2b-3c)=[a-(2b-3c)][a+(2b-3c)]=a2-(2b-3c)2=a2-(4b2-12bc+9c2)=a2-4b2-12bc-9c2

???(3)（x+2y+z）2=[x+(2y+z)]2=x2+2x(2y+z)+(2y+z)2=x2+4xy+2xz+4y2+4yz+z2

???(4)(2x-3y-4z)2=[2x-(3y+4z)]2=(2x)2-2·2x·(3y+4z)+(13y+4z)2=4x2-4x(3y+4z)+(19y2+24yz+16z2)=4x2

-12xy-16xz+9y2+24yz+16z2

???说明：

???进行多项式乘法运算时，一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调

整。适当地添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号方式的不同，可一题多解，如（4）小题还可添加

括号为[（2x-3y）-4z]2，但得出的结果均相同。

???[例3]利用乘法公式计算：

???（1）（x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)

???（2）(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)

???提示：

???（1）小题前两个因式可利用平方差公式计算，后两个因式也可利用平方差公式计算，也可以将第一个因

式与第四个因式结合利用立方和公式，第二个因式与第三个因式结合利用立方差公式（2）小题类似。

???参考答案：

???（1）

???解法一：

???（x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)

???=(x2-1)[(x2+1)2-x2]

???=(x2-1)(x4+2x2+1-x2)

???=(x2-1)(x4+x2+1)

???=(x2-1)[(x2)2+x2-1+12]

???=(x2)3-13=x6-1

???解法二：

???（x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)

???=[(x+1)(x2-x+1)[(x-1)(x2+x+1)]

???=（x3+1）(x3-1)

???=(x3)2-12

???=x6-1

???（2）?

???解法一：

???（a+b）(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)

???=(a2-b2)[(a2+b2)2-(ab)2]

???=(a2-b2)(a4+2a2b2+b4-a2b2)

???=(a2-b2)(a4+a2b2+b4)

???=(a2)3-(b2)3

???=a6-b6

???解法二：

???（a+b）(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)

???=[（a+b）(a2-ab+b2)][(a-b)(a2+ab+b2)]

???=(a3+b3)(a3-b3)

???=(a3)2-(b3)2

???=a6-b6

???说明：

???进行整式乘法运算时，要注意观察题目的特点，统观全局，恰当地选用所学的乘法公式或用乘法法则进

行计算，以上两道小题的解法中，显然解法二先运用立方和，立方差公式，再运用平方差公式，这样做既

简便又不易出错。

第三阶梯

???[例1]

???（1）化简化求值：（x+2）(x2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1)，其中

???（2）解方程：（2x+1）2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0

???提示：

???用乘法公式进行化简

???参考答案：

???（1）

???（x+2）(x2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1)

???=x3+8+x3-1

???=2x3+7

???当时，

???

???（2）（2x+1）2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0

???解：

???（4x2+4x+1）-(x2-1)-3x2+3x=0

???4x2+4+1-x2+1-3x2+3x=0

???7x=-2

??????

???说明：

???在化简求值和解方程的过程中，如果遇到多项式的乘法，应先观察能否运用乘法公式，如果能运用，很

多乘法就可直接应用公式写出结果，这充分简化了计算过程。

???[例2]已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。

???（1）a2+b2??(2)a2-ab+b2??(3)(a-b)2??(4)a3+b3

???提示：

???由完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2,可知a2+b2=(a+b)2-2ab,利用已知条件可求出a2+b2的值，再分别代入

（2），（3），（4），可求出（2），（3），（4）式的值。注意，第（4）小题应逆用立方和公式。

???参考答案：

???(1)a2+b2=(a+b2)-2ab=32-2×(-8)=9+16=25

???(2)a2-ab+b2=a2+b2-ab=25-(-8)=25+8=33

???(3)(a-b)2=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab=25-2×(-8)=25+16=41

???(4)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a2+b2-ab)=3×[25-(-8)]=3×33=99

???说明：

???灵活运用公式变形和逆用公式，这些都是常用的解题技巧。

???[例3]若两个连续自然数的平方差是17，求这两个自然数的和？

???提示：

???设一个自然数为x,另一个自然数为x+1，根据题意，列出方程，求出这两个自然数，进而求出它们的和

???参考答案：????

???解：设这两个连续自然数是x,x+1

???根据题意得，

???(x+1)2-x2=17

???x2+2x+1-x2=17

???2x+1=17

???2x=16

???x=8

???∴x+1=8+1=9

???∴x+(x+1)=8+9=17

???答：这两个自然数的和是17。

???说明：

???解方程时还可逆用平方差公式(x+1)2-x2=（x+1+x）(x+1-x)=2x+1

???四、检测题

A组

???选择题

???1．下列各式能用平方差公式进行计算的是（）

???A.（a+2）(-a-2)

???B.(-x-y)(y-x)

???C.

???D.(2x+y)(x-2y)

???2．若16x2+mxy+81y2是一个完全平方式，则m的值为（）

???A.36????????B.72?????????C.-72???????????D.±72

???3．a3-27b3的一个因式是（）

???A.a2+3ab+9b2

???B.a2+3ab+9b2

???C.a2-3ab+b2

???D.a2-3ab+b2

???4．若x+y=9,xy=16，则x2+y2=()

???A.81??????????B.17?????????C.49??????????D.145

???填空题

???1、（3x+2y）=(???)=9x2-4y2

???2、（-1+2a）(-1-2a)=(?????)

???3、（0.3x+y）2=(???)

???4、x2+x+(???)=

???5、9x2-(???)+49y2=(3x-7y)2

???6、(2a+3b)(4a2-6ab+9b2)=(???)

???7、(???)(m4-m2+1)=m6+1

???8、a2+b2=(a+b)2-(????)

???9、(a+b)2=(a-b)2+()

???10、(p2-q)(???)=p6-q3

B组

???1、计算：

???(1)（x+2）(x-2)(x2+4)

???(2)(x-y+1)(x+y-1)

???(3)(a+b+c)2

???(4)(x+3)(x-3)(x2-3x+9)(x2+3x+9)

???(5)

???(6)2022

???2、化简求值：

???3、解方程：4(x-3)2-(2x+1)2=(3x+1)(1-3x)+9x2

???

???答案：

???

A组答案：

???选择题

???1、B???2、D???3、A???4、C

???填空题

???1、3x-2y

???2、1-4a2

???3、0.09x2+0.6xy+y2

???4、

???5、42xy

???6、8a3+27b3

???7、m2+1

???8、2ab

???9、4ab

???10、p4+p2q+q2

???B组答案：

???1、(1)x4-16???(2)x2-y2+2y-1??(3)a2+2ab+b2+c2+2ac+2bc?

????(4)x6-729??????????(6)40804

???2、-39

???3、

???4、