c的导数

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导数复习（1）

一、知识网络

二、知识纲要

⒈导数的概念：

⑴曲线的切线；

⑵瞬时速度；

⑶导数的概念及其几何意义．

①函数)(xfy的导数)('xf，就是当0x时，函数的增量y与自

变量的增量

x

的比

x

y





的极限，即

x

xfxxf

x

y

xf

xx













)()(

limlim)('

00

．

②函数

)(xfy

在点

0

x处的导数的几何意义，就是曲线

)(xfy

在点

))(,(

00

xfx处的切线的斜率．

⒉常用的导数公式：

⑴0'C(C为常数)；⑵1)'(nnnxx(Qn)；

⑶xxcos)'(sin；⑷xxsin)'(cos；

⑸*x

x

x2

2

c

cos

1

)'(tan；⑹*x

x

x2

2

csc

sin

1

)'(cot；

⑺xxee)'(；⑻aaaxxln)'(；

导

数

导数的概念

导数的运算

导数的应用

导数的几何意义、物理意义

函数的单调性

函数的极值

函数的最值

常见函数的导数

导数的运算法则

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⑼

x

x

1

)'(ln

；⑽

e

x

x

aa

log

1

)'(log

．

⒊导数的运算法则：

⑴两个函数四则运算的导数：

①

'')'(vuvu

；②

'')'(uvvuuv

；③

)0(

''

2

'



















v

v

uvvu

v

u

．

⑵复合函数的导数：

xux

uyy'·''．

5．导数的应用

[1]切线的斜率

根据导数的几何意义，函数f(x)在点

0

x处的导数就是曲线f(x)在点))(,(

00

xfxP处的

切线斜率。因此，求函数在某点处的切线斜率，只要求函数在该点处的导数。

[2]函数的单调性

当函数y=f(x)在某个区间内可导时，如果f＇(x)>0，则函数y=f(x)在这个区间上为增

函数；如果f＇(x)<0，则函数y=f(x)在这个区间上为减函数．对于某个区间上的可导函数，

利用导数来判断函数单调性是普遍适用的方法。

[3]函数的极值

对于可导函数f(x)判断其极值的方法为；

○

1

如果在

0

x附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，)(

0

xf是极大值；

○

2

如果在

0

x附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么，)(

0

xf是极小值.

可导函数f(x)在极值点处的导数是0；导数为0的点不一定是极值点．例如，对于函数

3)(xxf，x=0点处的导数是0，但它不是极值点．

[4]函数的最值

闭区间[a，b]上连续函数f(x)必有最大值与最小值，其求法为：

○

1

求函数f(x)在(a，b)内的极值；

○

2

将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小

值。

三、例题

例1已知函数)2lg()(axaxf（a>0且a≠1）在定义域[0，1]上是减函数，求a的取值

范围。

分析因为f(x)在[0，1]上是减函数，所以在[0，1]上必有f′(x)<0.由不等式f′(x)<0

求出a的取值范围。

点拨本题是已知函数的单调性求字母范围的问题，对于可导函数，利用导数来研究

单调性是一种普遍适用的方法。

例2．已知函数2)(23xcbxaxxxf在处取得极值，并且它

的图象与直线33xy在点（1，0）处相切，求a、b、c的值.

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解：由曲线

)(xfy

过（1，0）得

01cba

①又

axxxf23)(2

+b

则

0412)2(



baf

②

323)1(



baf

③

解①②③得

6,8,1cba

.

例3．已知cbxaxxxf23)(有极大值

)(f

和极小值

)(f

.

（1）求

)(f

+

)(f

的值；

（2）设曲线

)(xfy

的极值点为A、B，求证：线段AB的中点在

)(xfy

上.

解：（1）

baxxxf



23)(2，由于

)(xf

有极大值和极小值，

、

0232baxx为

的两根，

则

)()()()(,

3

,

3

2

2323cbacbaff

ba



]2)[()](3)[(2)()()(232233acba

c

ab

ac

a

b

ba

a

aba

cb2

3

2

27

4

2)

3

2

()]

3

(2)

3

2

[()]

3

2

(

3

3)

3

2

[(2)(323





（2）设

















cbaffBfA

2

)

2

()

2

()

2

(),(,()),(,(33



由

)]()([

2

1

3

1

27

2

)

3

()

3

()

3

(323ffcabac

a

b

a

a

a



知AB的中点在

)(xfy

上。

例4．求证：xe1x。

证明：（1）当

0x

时，xe=1，1x=1，命题成立；

（2）当x>0时，令)(xfxe1x，则1)(

xexf>0

)(xf在（0，）上为增函数

x>0，)(xf>010)0(0ef即xe1x>0

xe>1x；

（3）当x<0时，令)(xfxe1x，则1)(

xexf<0

)(xf在（0,）上为减函数

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x<0，

)(xf

>010)0(0ef即xe1x

>0

xe>

1x

综合以上情况，xe1x

。