根号x

令x＝tanα则：√（1＋x^2）＝√［1＋（tanα）^2］＝1/cosαdx＝［1/（cosα）^2］dα.

sinα＝√｛（sinα）^2/［（sinα）^2＋（cosα）^2］｝＝√｛（tanα）^2/［1＋（tanα）^2｝

＝x/√（1＋x^2）

∴原式＝∫｛（1/cosα）［1/（cosα）^2］｝dα

＝∫［cosα/（cosα）^4］dα

＝∫｛1/［1－（sinα）^2］^2｝d（sinα）.

再令sinα＝u则：

原式＝∫［1/（1－u^2）^2］du

＝（1/4）∫［（1＋u＋1－u）^2/（1－u^2）^2］du

＝（1/4）∫［（1＋u）^2/（1－u^2）^2］du＋（1/2）∫［（1－u^2）/（1－u^2）^2］du

＋（1/4）∫［（1－u）^2/（1－u^2）^2］du

＝（1/4）∫［1/（1－u）^2］du＋（1/2）∫［1/（1－u^2）］du＋（1/4）∫［1/（1＋u）^2］

du

＝－（1/4）∫［1/（1－u）^2］d（1－u）＋（1/4）∫［（1＋u＋1－u）/（1－u^2）］du

＋（1/4）∫［1/（1＋u）^2］d（1＋u）

＝（1/4）［1/（1－u）］－（1/4）［1/（1＋u）］＋（1/4）∫［1/（1－u）］du

＋（1/4）∫［1/（1＋u）］du

＝（1/4）［1/（1－sinα）］－（1/4）［1/（1＋sinα）］

－（1/4）∫［1/（1－u）］d（1－u）＋（1/4）∫［1/（1＋u）］d（1＋u）

＝（1/4）｛1/［1－x/√（1＋x^2）］｝－（1/4）｛1/［1＋x/√（1＋x^2）］｝

－（1/4）ln｜1－u｜＋（1/4）ln｜1＋u｜＋C

＝（1/4）［1＋x/√（1＋x^2）－1＋x/√（1＋x^2）］/［1－x^2/（1＋x^2）］

＋（1/4）ln｜1＋sinα｜－（1/4）ln｜1－sinα｜＋C

＝（1/4）［2x/√（1＋x^2）］/［（1＋x^2－x^2）/（1＋x^2）］

＋（1/4）ln［｜1＋x/√（1＋x^2）｜/｜1－x/√（1＋x^2）｜］＋C

＝（1/2）x√（1＋x^2）＋（1/4）ln｜［√（1＋x^2）＋x］/［√（1＋x^2）－x］｜＋C

＝（1/2）x√（1＋x^2）＋（1/4）ln｜［√（1＋x^2）＋x］^2/（1＋x^2－x^2）｜＋C

＝（1/2）x√（1＋x^2）＋（1/2）ln｜x＋√（1＋x^2）｜＋C