c42怎么算

【高中数学】数学高考《计数原理与概率统计》复习资料

一、选择题

1

．若二项式

2n

x

x









的展开式中各项的系数和为

243

，则该展开式中含

x

项的系数为

（）

A

．

1B

．

5C

．

10D

．

20

【答案】

C

【解析】

【分析】

对

2n

x

x









令1x，结合展开式中各项的系数和为243列方程，由此求得

n

的值，再

利用二项式展开式的通项公式，求得含

x

项的系数

.

【详解】

对

2n

x

x









令1x得123243n

n，解得5n.

二项式

52

x

x









展开式的通项

公式为5

153

1

222

55

22

r

r

r

rrrCxxCx















，令

53

1

22

r

，解得1r，故展开式中含

x

项的系数为11

5

210C

.

故选：

C.

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查求二项式展开式指定项的系数，属于基

础题

.

2

．已知函数，在区间内任取一点，使的概率为（）

A

．

B

．

C

．

D

．

【答案】

C

【解析】

【分析】

先求出的取值范围，再利用几何概型相关公式即可得到答案

.

【详解】

由得，故或，由，故或

，故使的概率为

.

【点睛】

本题主要考查几何概型的相关计算，难度一般

.

3

．安排

5

名学生去

3

个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一

名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（）

A

．

100

种

B

．

60

种

C

．

42

种

D

．

25

种

【答案】

C

【解析】

【分析】

给三个社区编号分别为

1

，

2

，

3

，则甲可有

3

种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，

从而求得所有安排方式的总数

.

【详解】

甲可有

3

种安排方法，

若甲先安排第

1

社区，

则第

2

社区可安排

1

个、第

3

社区安排

3

个，共13

43

CC

；

第

2

社区

2

个、第

3

社区安排

2

个，共22

42

CC

；

第

2

社区

3

个，第

3

社区安排

1

个，共11

41

CC

；

故所有安排总数为132211

434241

3()42CCCCCC

.

故选：

C.

【点睛】

本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和

运算求解能力

.

4

．从装有除颜色外完全相同的

3

个白球和

m

个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸

取

5

次，设摸得白球数为X，已知

()3EX

，则

()(DX)

A

．

8

5

B

．

6

5

C

．

4

5

D

．

2

5

【答案】

B

【解析】

【分析】

由题意知，

3

~(5,)

3

XB

m

，由

3

53

3

EX

m





，知

3

~(5,)

5

XB

，由此能求出

()DX

．

【详解】

由题意知，

3

~(5,)

3

XB

m

，

3

53

3

EX

m





，解得2m，

3

~(5,)

5

XB

，

336

()5(1)

555

DX．

故选：

B

．

【点睛】

本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的

灵活运用．

5

．从分别写有

1,2,3,4,5

的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第

一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）

A

．

1

10

B

．

3

5

C

．

3

10

D

．

2

5

【答案】

D

【解析】

【分析】

【详解】

从分别写有

1

，

2

，

3

，

4

，

5

的

5

张卡片中随机抽取

1

张，放回后再随机抽取

1

张，

基本事件总数

n=5×5=25

，

抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：

（

2

，

1

），（

3

，

1

），（

3

，

2

），（

4

，

1

），（

4

，

2

），（

4

，

3

），（

5

，

1

），（

5

，

2

），（

5

，

3

），（

5

，

4

），

共有

m=10

个基本事件，

∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率

p=

102

.

255



故答案为

D

．

6

．已知5929

0129

(1)(2)(1)(1)...(1)xxaaxaxax

，则

7

a

（）

A

．

9B

．

36C

．

84D

．

243

【答案】

B

【解析】

【分析】

()()59x1x2等价变形为[()][()()]59x12x11，然后利用二项式

定理将其拆开，求出含有7(1)x的项，便可得到

7

a

．

【详解】

解：55(1)[(1)2]xx展开式中不含7(1)x；

()[()()]99x2x11展开式中含7(1)x的系数为()72

9

C136

所以，

7

a36

，故选

B

【点睛】

本题考查二项式定理，解题的关键是要将原来因式的形式转化为目标因式的形式，然后再

进行解题．

7

．某小学要求下午放学后的

17

：

00-18

：

00

接学生回家，该学生家长从下班后到达学校

（随机）的时间为

17

：

30-18

：

30

，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子

的概率为（）

A

．

7

8

B

．

3

4

C

．

1

2

D

．

1

4

【答案】

A

【解析】

【分析】

根据题意，设学生出来的时间为

x

，家长到达学校的时间为

y

，转化成线性规划问题，利

用面积型几何概型求概率，即可求得概率

.

【详解】

解：根据题意，设学生出来的时间为

x

，家长到达学校的时间为

y

，

学生出来的时间为

17

：

00-18

：

00

，看作56x，

家长到学校的时间为

17

：

30-18

：

30

，

5.56.5y

，

要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要

yx

，

则相当于

56

5.56.5

x

y











，即求

yx

的概率，

如图所示：

约束条件对应的可行域面积为：

1

，

则可行域中

yx

的面积为阴影部分面积：

1117

1

2228



，

所以对应的概率为：

7

7

8

18



，

即学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为：

7

8

.

故选：

A.

【点睛】

本题考查利用面积型几何概型求概率，考查运算求解能力

.

8

．三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，若每人都选择其中两个科目，则有且仅有两

人选择的科目完全相同的概率是（）

A

．

1

4

B

．

1

3

C

．

1

2

D

．

2

3

【答案】

D

【解析】

【分析】

先求出三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目的基本事件总

数，再求出有且仅有两人选择的科目完全相同所包含的基本事件个数，利用古典概型的概

率计算公式即可得到答案

.

【详解】

三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目共有23

3

()27C

种不

同

结果，有且仅有两人选择的科目完全相同共有221

332

18CCC

种，故由古典概型的概率计

算公式可得所求概率为

182

273

.

故选：

D

【点睛】

不同考查古典概型的概率计算问题，涉及到组合的基本应用，考查学生的逻辑推理与数学

运算能力，是一道中档题

.

9

．某城市有

3

个演习点同时进行消防演习，现将

5

个消防队分配到这

3

个演习点，若每个

演习点至少安排

1

个消防队，则不同的分配方案种数为（）

A

．

150B

．

240C

．

360D

．

540

【答案】

A

【解析】

试题分析：由题意得，把5个消防队分成三组，可分为

1,1,3

，

1,2,2

两类方法，（

1

）分为

1,1,3

，共有

113

543

2

2

10

CCC

A



种不同的分组方法；（

2

）分为

1,2,2

，共有

122

542

2

2

15

CCC

A



种不

同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有3

3

(1015)150A

种不同的分配方案，故

选

A

．

考点：排列、组合的应用．

【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据

“

每个演习点至少要安排1个消防队

”

的要求，明确要将5个消防队分为

1,1,3

，

1,2,2

的三组

是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，先

将5个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原理，即可得到答案．

10

．设

01p

，随机变量



的分布列是



-113

P2(1)p2(1)pp2p

则当

p

在

(0,1)

内增大时，

“

()E

减小

”

是

“

()D

增加

”

的

()

A

．充分不必要条件

B

．必要不充分条件

C

．充分必要条件

D

．既不充分也不必要条件

【答案】

D

【解析】

【分析】

首先求E

和D

，然后换元tE

，

2

2

1331321

222228

Dttt









，利用函数的单调性，判断充分必要条件

.

【详解】

由题意可知：2

21210pppp，

且2011p，0211pp

，201p

解得：

01p

，

2

211121341Eppppp，

222

2

21Dppppppp





288pp，

设411,3Ept

，

2

2

1113

88

4422

tt

Dtt











21

12

2

t

，

当1,1t

时，

D

增大，当1,2t

时，

D

减小，

所以当

E

减小时，不能推出

D

增加；

设2880,2Dppt

，

21

82

2

pt









，

212

28

t

p











，

当

1

0

2

p

时，

12

28

t

p



，此时

12

41

28

t

E













，当

Dt

增加时，

E

也增加，

当

1

1

2

p

时，

12

28

t

p



，此时

12

41

28

t

E













，当

Dt

增加时，

E

减小，

所以当

D

增加，不能推出

E

减小

.

综上可知：

“

E

减小

”

是

“

D

增加

”

的既不充分也不必要条件

.

故选：

D

【点睛】

本题考查充分必要条件，离散型随机变量的期望和方程，重点考查换元，二次函数的单调

性，属于中档题型

.

11

．某校从6名教师中选派3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工

作由1人完成，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是

（）

A

．252B

．288C

．360D

．

216

【答案】

A

【解析】

【分析】

3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，所以当

3

名教

师确定时，则其中

1

人必须完成两项工作，故完成工作的方法有121

342

CCC••种

,

然后再

根据甲、乙、丙三人的条件要求，分三种情况讨论，得出结果

.

【详解】

解：因为3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，所以

当

3

名教师确定时，则其中

1

人必须完成两项工作，

故安排

3

名教师完成

4

项工作，可以先确定完成两项工作的

1

名人员，其方法有1

3

C

，

然后再确定完成的工作，其方法有2

4

C

，

然后再将剩下的两项工作分配给剩下的两人，其方法有1

2

C，

故当

3

名教师确定时，完成工作的方法有121

342

CCC••种；

因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，

故有三种方法选择教师，

第一种方法：甲参加，乙不参加，丙参加，再从剩下的

3

人中选择

1

人，其方法有1

3

C

种，

第二种方法：甲不参加，乙参加，丙不参加，再从剩下的

3

人中选择

2

人，其方法有2

3

C

种，

第三种方法：甲不参加，乙不参加，丙不参加，再从剩下的

3

人中选择

3

人，其方法有3

3

C

种；

故最终选派的方法为()123121

333342

CCCCCC252•••，故选

A.

【点睛】

本题考查了排列组合的知识、分类分步的计数原理，解题的关键是要辨析清楚何时是分

类，何时是分步

.

12

．从

1

，

2

，

3

，

4

，

…

，

9

这

9

个整数中同时取出

4

个不同的数，其和为奇数，则不同取

法种数有（）

A

．

60B

．

66C

．

72D

．

126

【答案】

A

【解析】

【分析】

要使四个数的和为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个，再根据排列组合及计数原理

知识，即可求解

.

【详解】

从

1

，

2

，

3

，

4

，

…

，

9

这

9

个整数中同时取出

4

个不同的数，其和要为奇数，则取数时奇

数的个数必须是奇数个：

所以共有1331

5454

60CCCC

种取法

.

故选：

A

【点睛】

本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于简单题

.

13

．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国

“

新四大发明

”

，近日对全国

100

个城市的

共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为

123100

,,,,xxxxL

，它们的平均数为x，方差为2s；其中扫码支付使用的人数分别为

1

32x

，

2

32x

，

3

32x

，

L

，

100

32x

，它们的平均数为

x



，方差为2s

，则

x



，

2s

分别为（）

A

．32x，232sB

．3x，23sC

．32x，29sD

．32x，292s

【答案】

C

【解析】

【分析】

由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案

.

【详解】

由平均数的计算公式，可得数据

12100

,,,xxxL

的平均数为

123100

1

()

100

xxxxxL

数据

12100

32,32,,32xxxL

的平均数为：

1210012100

11

[(32)(32)(32)][3()2100]32

100100

xxxxxxxLL

，

数据

12100

,,,xxxL

的方差为2222

12100

1

[()()()]

100

sxxxxxxL

，

数据

12100

32,32,,32xxxL

的方差为：

222

12100

1

{[(32)(32)[(32(32)][(32)(32)]}

100

xxxxxxL

2222

12100

1

[9()9()9()]9

100

xxxxxxsL

故选

C.

【点睛】

本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均

数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于

基础题

.

14

．已知随机变量



，



的分布列如下表所示，则（）



123

P

1

3

1

2

1

6



123

P

1

6

1

2

1

3

A

．

EE

，

DD

B

．

EE

，

DD

C

．

EE

，

DD

D

．

EE

，

DD

【答案】

C

【解析】

【分析】

由题意分别求出

Eξ

，

Dξ

，

Eη

，

Dη

，由此能得到

Eξ

＜

Eη

，

Dξ

＞

Dη

．

【详解】

由题意得：

Eξ

111

123

326



11

6

，

Dξ222

(1)(2)(3)

636108266



．

Eη

11113

123

6236



，

Dη

＝（

13

1

6



）2

1

6



（

2

13

6

）2

1

2



（

3

13

6

）2

151

3108



，

∴

Eξ

＜

Eη

，

Dξ=Dη

．

故选：

C

．

【点睛】

本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查运算求解能力，是中档

题．

15

．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施

6

个程序，其中程序

A

只能出现在第一

步或最后一步，程序

B

和

C

实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有

A

．

24

种

B

．

48

种

C

．

96

种

D

．

144

种

【答案】

C

【解析】

由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，



从第一个位置和最后一个位置选一个位

置把A排列，有1

2

2A

种结果，

Q

程序

B

和C实施时必须相邻，



把

B

和C看做一个元

素，同除A外的3个元素排列，注意

B

和C之间还有一个排列，共有42

42

48AA

，根据分

步计数原理知共有24896种结果，故选

C.

16

．数学老师给校名布置了

10

道数学题，要求小明按照序号从小到大的顺序，每天至少完

成一道，如果时间允许，也可以多做，甚至在一天全部做完，则小明不同的完成方法种数

为

A

．

55B

．

90C

．

425D

．

512

【答案】

D

【解析】

利用隔板法，

10

道题中间有

9

个空格，若

1

天做完，有0

9

C

种；若

2

天做完，从

9

个空格

中插入一个板，分成

2

天，则有1

9

C

种；若

3

天做完，则有2

9

C

种；以此类推，若

9

天做

完，则有8

9

C种；若

10

天做完，则有9

9

C种；故总数为

012899

99999

2512CCCCC

.

故选

D.

17

．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为

10

∶

8

∶

7

，从中抽取

200

名职员作为样

本，若每人被抽取的概率是

0.2

，则该单位青年职员的人数为

()

A

．

280B

．

320C

．

400D

．

1000

【答案】

C

【解析】

【分析】

由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中

抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概

率为0.2，得到要求的结果

【详解】

由题意知这是一个分层抽样问题，

Q

青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，



要从该单位青年职员中抽取的人数为：

10

20080

1087





Q

每人被抽取的概率为0.2，



该单位青年职员共有

80

400

0.2



故选C

【点睛】

本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题。

18

．古代人常常会研究

“

最大限度

”

问题，下图是一个正三角形内最大限度地可以放入三个

同样大小的圆，若将一个质点随机投入如图所示的正三角形

ABC

中（阴影部分是三个半径

相同的圆，三个圆彼此互相外切，且三个圆与正三角形

ABC

的三边分别相切），则质点落

在阴影部分内部的概率是（）

A

．

233

4



B

．

(233)

4



C

．

233

2



D

．

(233)

2



【答案】

D

【解析】

【分析】

设圆的半径为

r

，表示出三角形的边长，分别求出圆的面积和三角形面积，根据几何概型

求解概率

.

【详解】

设

“

质点落在阴影部分内部

”

为事件

M.

如右图所示：设圆的半径为

r

，正三角形

ABC

的边长为

a.

因为

1

30PBO

，所以

3

tan30

3

r

BP

，解得3BPr.

同理，3CQr.

又因为

12

2PQOOr

，所以

332(232)BPCQPQrrrrBCa，所以由几何概型得，点落在阴

影部分内部的概率是

22

22

33(233)

()

2

133

(232)

224

rr

PM

aar







.

故选：

D.

【点睛】

此题考查求几何概型，关键在于准确求出圆的面积和三角形的面积，找出其中的等量关系

即可得解

.

19

．中国古代中的

“

礼、乐、射、御、书、数

”

合称

“

六艺

”.“

礼

”

，主要指德育；

“

乐

”

，主要指

美育；

“

射

”

和

“

御

”

，就是体育和劳动；

“

书

”

，指各种历史文化知识；

“

数

”

，指数学

.

某校国

学社团开展

“

六艺

”

课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要

求：

“

数

”

必须排在第三节，且

“

射

”

和

“

御

”

两门课程相邻排课，则

“

六艺

”

课程讲座不同的排课

顺序共有（）

A

．

12

种

B

．

24

种

C

．

36

种

D

．

48

种

【答案】

C

【解析】

【分析】

根据

“

数

”

排在第三节，则

“

射

”

和

“

御

”

两门课程相邻有

3

类排法，再考虑两者的顺序，有

2

2

2A

种，剩余的

3

门全排列，即可求解

.

【详解】

由题意，

“

数

”

排在第三节，则

“

射

”

和

“

御

”

两门课程相邻时，可排在第

1

节和第

2

节或第

4

节和第

5

节或第

5

节和第

6

节，有

3

种，再考虑两者的顺序，有2

2

2A

种，

剩余的

3

门全排列，安排在剩下的

3

个位置，有3

3

6A

种，

所以

“

六艺

”

课程讲座不同的排课顺序共有32636种不同的排法

.

故选：

C.

【点睛】

本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制

条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题

.

20

．若52345

012345

(23)xaaxaxaxaxax

，则

012345

2345aaaaaa+++++

为

（）

A

．－

233B

．

10C

．

20D

．

233

【答案】

A

【解析】

【分析】

对等式两边进行求导，当

x

＝

1

时，求出

a

1+2a2+3a3+4a4+5a5的值，再求出

a0的值，即可得

出答案．

【详解】

对等式两边进行求导，得：

2×5

（

2x

﹣

3

）4＝

a

1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，

令

x

＝

1

，得

10

＝

a

1+2a2+3a3+4a4+5a5；

又

a

0＝（﹣

3

）5＝﹣

243

，

∴

a

0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝﹣

243+10

＝﹣

233

．

故选

A

．

【点睛】

本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的

方法，利用导数得出式子

a

1+2a2+3a3+4a4+5a5是解题的关键．