对数函数的导数

.

.专业.

对数函数与指数函数的导数

——指数函数的导数

●教学目标

(一)教学知识点

指数函数的导数的两个求导公式：(ex)′=ex.(ax)′=axlna.

(二)能力训练要求

1.理解掌握指数函数的导数的两个求导公式.

2.在学习了函数的四那么运算的求导法那么与复合函数的求导法那么的基础上，应用指数函数的求导公式，

能求简单的初等函数的导数．

(三)德育渗透目标

培养学生灵活运用知识和综合运用知识的能力.

●教学重点

结合函数四那么运算的求导法那么与复合函数的求导法那么，以及四种基本初等函数的求导公式，应用指

数函数的求导公式.

●教学难点

指数函数的求导公式的记忆，以及应用指数函数的求导公式.

●教学方法

讲练结合.

●教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］先复习一下四种基本初等函数的求导公式.常数函数，幂函数，三角函数，对数函数.

［生］C′=0(C是常数)(xn)′=nxn－1(n∈R)

(sinx)′=cosx(cosx)′=－sinx.

(lnx)′=

x

1

(log

a

x)′=

x

1

log

a

e.

［师］这节课要学习第五种基本初等函数的求导公式，就是指数函数的求导公式.

Ⅱ.讲授新课

(一)指数函数的导数

［板书］1.(1)(ex)′=ex

(2)(ax)′=axlna

［师］这两个公式的证明需要用到反函数的求导法那么，这超出了目前的学习范围，所以这里就不再证明.

只需记住它的结论，以e为底数的指数函数的导数是它本身，以a为底数的指数函数的导数是它的本身乘

以lna.我们利用这两个公式就可以求一些关于指数函数的导数了.

(二)课本例题

［例3］y=e2

xcos3x的导数

［分析］这题先要用到两个函数乘积的求导法那么，再要用到复合函数的求导法那么.

解：y′=(e2

x)′cos3x+e2

x(cos3x)′

=e2

x(2x)′cos3x+e2

x(－sin3x)(3x)′

=2e2

xcos3x－3e2

xsin3x

=e2

x(2cos3x－3sin3x)

［例4］求y=a5

x的导数.

［分析］这题只需用复合函数的求导法那么.

.

.专业.

解：y′=(a5

x)′=a5

xlna·(5x)′=5a5

xlna.

(三)精选例题

［例1］求函数y=e-2

xsin3x的导数.

［学生分析］先用积的求导法那么，(uv)′=u′v+uv′，再用复合函数的求导法那么求导，y

x

′=y′

u

u′

x

.

［学生板演］解：y′=(e-2

x)′sin3x+e-2

x·(sin3x)′

=e-2

x(－2x)′sin3x+e-2

xcos3x(3x)′

=－2e-2

xsin3x+3e-2

xcos3x

=e-2

x(3cos3x－2sin3x).

［例2］求y=

x

ex

3sin

2

的导数.

［学生分析］先用商的求导法那么

2

)(

v

vuvu

v

u











，再用复合函数求导法那么求导.y′

x

=

y′

u

·u′

x

.

［学生板演］解：y′=(

x

ex

3sin

2

)′=

2

22

)3(sin

)3(sin3sin)(

x

xexexx





x

xxe

x

xexexxx

3sin

)3cos33sin2(

3sin

33cos3sin)2(

2

2

2

22









［例3］求y=xsin

x的导数.

［学生板演］两边取对数.lny=lnxsin

x=sinx·lnx

两边对x求导

y

y



=cosx·lnx+sinx·

x

1

∴y′=(cosxlnx+

x

xsin

)y=(cosx·lnx+

x

xsin

)·xsin

x.

［师］这是我们上节课学习的解这类题的方法.我们今天学习了指数函数的求导公式.而任何一个函数y=f(x)

都可以用指数函数的形式表示出来y=

)(logxf

aa，为了方便起见，我们取a=e.∴y=)(lnxfe.这道题转化成指

数函数的形式怎么做呢？

［学生板演］解：由所给函数知x＞0

∵xxxxeexyxlnsinlnsinsin

∴y′=)ln(sin)(lnsinlnsin



xxeexxxx

)

sin

ln(cos)

sin

ln(cossinlnsin

x

x

xxx

x

x

xxexxx

［师］当用第二种方法求导的时候，要说明一下x＞0，∵xsin

x是幂函数的形式，所以

x＞0，否那么xn(x＜0)时没有导数.而xsin

x＞0，所以在用第一种方法求导时，等于默认了y＞0.

.

.专业.

［师生共同总结］形如(u(x))v(x)的幂指函数，可以用两种方法求导，其一，是两边取对数后再对x求导；

其二，是把它化成指数函数与其他函数复合.

［例4］求y=32

xlg(1－cos2x)的导数.

方法一：y=32

xlg(1－cos2x)=9xlg(1－cos2x)

y′=9xln9·lg(1－cos2x)+9xx

e

2cos1

lg



·(1－cos2x)′

=9xln9·lg(1－cos2x)+9xx

e

2cos1

lg



sin2x·2.

=9x·ln9·lg(1－cos2x)+29x·lge·

x

xx

2sin2

cossin2

=9x·2ln3·lg(1－cos2x)+29x·lge·cotx

=2·9x［ln3·lg(1－cos2x)+lge·cotx］

方法二：y′=(32

x)′lg(1－cos2x)+32

x·［lg(1－cos2x)］′

=32

x·ln3·2lg(1－cos2x)+32

x·

x

e

2cos1

lg



·sin2x·2

=2·32

xln3·lg(1－cos2x)+2·32

xlge·cotx

=2·32

x［ln3·lg(1－cos2x)+lge·cotx］

［例5］求y=f(ex)ef

(

x

)的导数，其中f(x)为可导函数.

解：y′=［f(ex)］′ef

(

x

)+f(ex)·(ef

(

x

))′

=f′(ex)·exef

(

x

)+f(ex)·ef

(

x

)·f′(x)

=ef

(

x

)［f′(ex)ex+f(ex)·f′(x)］.

［例6］求y=2xx的导数.

(请两位同学用两种不同的方法做)

(方法一)解：两边取对数，得lny=ln2+xlnx.

两边对x求导

y

1

y′=(x)′lnx+x(lnx)′=

2

1

x2

1



lnx+x·

x

1

)2(ln

2

1

ln

2

1

2

1

2

1

2

1

xxxxx

∴y′=)2(ln2)2(ln

2

1

2

1

2

1

xxxxxx

x

(方法二)解：xxxxeexyxln2ln2ln2.

(方法二)解：xxxxeexyxln2ln2ln2

.

.专业.

y′=)

1

ln

2

1

()ln(2

1

ln2lnln2ln

x

xxxexxexxxx







)2(ln)2(ln

2

1

22

1

2

1

xxxxxx

x

［师］比较这两种方法，是不是难易程度差不多，都只要对xlnx求导就可以了.所以碰到这类题目，两

种方法可以任选其一.

Ⅲ.课堂练习.

求以下函数的导数.

1.y=x2ex.

解：y′=(x2ex)′=2xex+x2ex=(2+x)xex

2.y=e3

x

解：y′=(e3

x)′=e3

x·3=3e3

x

3.y=x3+3x

解：y′=3x2+3x·ln3.

4.y=xne－x

解：y′=nxn－1e－x+xne－x·(－1)=(n－x)xn－1e－x.

5.y=exsinx

解：y′=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)

6.y=exlnx

解：y′=exlnx+ex·

x

1

=ex(lnx+

x

1

)

7.y=a2

x

+1

解：y′=a2

x

+1lna·2=2a2

x

+1·lna

8.y=2〔22

xx

ee〕

解：y′=22222)

2

1

2

1

(

xxxx

eeee.

9.假设f(x)=2xe+1那么f′(x)=(C)

A.(x2+1)2xeB.(x2+1)12xe

C.2x12xeD.2xe2

x

解：(2xe+1)′=12xe·2x=2x12xe.

10.假设f(x)=ecos

x.求f′(x).

解：f′(x)=(ecos

x)′=ecos

x·(cosx)′=－sinx·ecos

x.

11.求y=xe1－cos

x的导数.

解：y′=(xe1－cos

x)′=e1－cos

x+xe1－cos

x·(1－cosx)′

.

.专业.

=e1－cos

x+xe1－cos

x·sinx=(1+xsinx)e1－cos

x

12.求y=2xe+ax导数.

解：y′=(2xe+ax)′=2xe·2x+a=2x2xe+a.

Ⅳ.课时小结

这节课主要学习了指数函数的两个求导公式.(ex)′=ex，(ax)′=axlna，以及它们的应用.还有形如(u(x))v

(

x

)的

函数求导有两种方法：其一，两边取对数，再两边对x求导，其二是把它化成指数函数与其他函数复合，

再进行求导.

Ⅴ.课后作业

(一)课本P

127~128

.习题3.52、3(1)(3).

(二)1.预习内容.P

128~129

微分的概念与运算.P

131~132

近似计算.

2.预习提纲.

(1)自变量的微分概念、表示.

(2)函数的微分概念、表示.

(3)Δy与y的微分的关系.

(4)导数用微分如何表示.

(5)求微分的方法.

(6)微分的四那么运算法那么.

●板书设计

§3．5.2对数函数与指数函数的导数(二)——指数函数的导数

1.(1)(ex)′=ex

(2)(ax)′=axlna

课本例题

例3.求y=e2

xcos3x的导数.

例4.求y=a5

x的导数.

精选例题

例1：求y=e-2xsin3x的导数.

例2：求y=

x

ex

3sin

2

的导数.

例3：求y=xsin

x的导数.

方法一取对数

方法二化成指数函数

例4求y=32

xlg(1－cos2x)的导数，两种方法.

例5.求y=f(ex)ef

(

x

)的导数，其中f(x)为可导函数

例6.求y=2xx的导数.两种方法.

课堂练习.求以下函数的导数.

1.y=x2ex2.y=e3

x.3.y=x3+3x4.y=xne－x

5.y=exsinx6.y=exlnx.7.y=e2

x+18.y=2(22

xx

ee)

9.f′(x)=12xe那么f′(x).10.假设f(x)=ecos

x求f′(x)

.

.专业.

11.求y=xe1－cos

x的导数12.求y=2xe+ax的导数

课时小结

课后作业