斜率怎么求

直线的斜率公式

ItwaslastrevidonJanuary2,2021

课题：《直线的斜率公式》

授课人：朱庆乡

一．教材分析：

本课主要介绍直线的斜率公式及应用．本节课是在学习直线的倾斜角和斜率之

后，为了方便研究直线的方程而设置的一个过渡内容．另外，本课内容对于后面导数

的学习起到铺垫的作用．

二．教学目标：

1．认知目标：

(1)掌握经过两点的直线的斜率公式；

(2)进一步理解倾斜角和斜率的相互联系；

2．能力目标：

(1)了解用坐标研究直线的解析几何的基本思想和其中的数形结合、转化的思想方法；

(2)通过公式形成过程的教学，培养学生联想、概括与抽象的思维能力，类比推理、归

纳和演绎推理的能力；

3．德育目标：

通过本节课的教学，对学生进行事物的联系与转化和运动变化的辩证唯物主义观

点教育．

4．情感目标：

通过生动的课堂教学，激发学生的学习兴趣；体验探索学习的过程，从而感受学

习的成功和喜悦．

三．重点难点：

1．教学重点：

过两点的直线的斜率公式及公式的应用

2．教学难点：

斜率公式的推导

3．难点突破：

通过构造

Rt

引出直线的斜率与两点坐标的关系，并对两点不同顺序以及直线不

同位置情况进行分析，以问题诱导学生进行探究发现，最终得出公式，再通过习题进

行巩固达标．

四．教学方法：

启发式、导学式

五.教学工具：

多媒体课件

六．教学过程：

教学内容

（一）复习：

1.直线的倾斜角：

（1）直线l的向上方向；

（2）x轴的正方向；

（3）最小的正角

2.直线的斜率：

（1）tank；

（2）



的取值范围；

（3）斜率k的取值范围

（二）新课讲解：

1.问题引入：我们知道

两点可以确定一条直

线，已知直线上两点的

坐标，如何计算直线的

斜率？

2．过两点的直线的斜

率公式：

已知点

111

(,)Pxy、

222

(,)Pxy，且

12

PP、与

x轴不垂直，用

12

PP、

的坐标来表示

12

PP的斜率

k．

如图1，设直线

21

PP的倾斜角为



（

90），

当直线

21

PP的方向（即从

1

P指向

2

P的方向）向上

时，过点

1

P作

x

轴的平行线，过点

2

P作y轴的平行

线，两线相交于点

Q

，于是点

Q

的坐标为

21

(,)xy.

当



为锐角时，

21

PQP，

21

xx，

21

yy．

在

12

RtPPQ中，

221

12

121

||

tantan

||

QPyy

QPP

PQxx









．

师生互动

回顾直线的倾斜角和斜率，对上节课巩固和反馈．

老师：出示几个角．

学生：分辨是不是倾斜角，找出原因．

复习斜率，为公式推导铺垫．

老师：提出问题．

学生：引发思考，探究公式的推导过程．

老师：出示图1，适时提出问题：由tank,能不

能构造直角三角形去求？

学生：在老师的引导下，顺势思考，得出公式．

教学内容

思考：当



为钝角时，斜率该如何计算？

当



为钝角时，

12

180QPP，

12

xx，

12

yy．

在

12

RtPPQ中，

∴

2121

1221

tan

yyyy

xxxx









．

思考：已知直线上两

点

111

(,)Pxy，

222

(,)Pxy，运用上述公

式计算直线

12

PP斜率

时，与

12

,PP两点坐标的

顺序有关吗？



图2

图1

图4图3

同样，如上图，当

21

PP、的位置对调时，也有

师生互动

老师：进一步提出问题：当



为钝角时，斜率该如

何计算？

学生：引发思考，根据互补两角的函数关系，建立

适当的直角三角形，推出公式．

老师：针对

12

PP、不同位置提出问题．

学生：思考讨论，得出同样结论．

老师：结论说明：斜率公式与两点顺序无关．

老师：思考：当直线

12

PP与x轴平行或重合时，上

述式子还成立吗为什么

学生：讨论，得出结论：仍然成立．

因为21

21

yy

k

xx







，分子为0，分母不为0，0k

0，tan00k

教学内容

综上所述：

经过两点(,)

111

Pxy，(,)

222

Pxy的直线斜率公式：

yyyy

k

xxxx

1221

1221







（

21

xx）

公式的特点:

（1）与两点的顺序无

关；

（2）公式表明，直线

对于x轴的倾斜

程度，可以通过

直线上两点的坐

标来表示，而不

需要求出直线的

倾斜角；

（3）当

12

xx时，公

式不适用，此时

直线与x轴垂

直，90．

３．例题分析：

例1如图5，已知

(3,2)A

，

(4,1)B

，

(0,1)C

，求直线

AB,

BC

,

CA

的斜率,并

判断这些直线的倾斜角

是锐角还是钝角.

解：直线AB的斜率

图5

121

437AB

k







；

直线

BC

的斜率

直线

CA

的斜率

由0

AB

k及0

CA

k知：

直线AB及

CA

的倾斜角均为锐角；

由0

BC

k知：直线

BC

的倾斜角为钝角．

师生互动

老师：思考：当直线平行于y轴，或与y轴重合

时，上述斜率公式还适用吗为什么

学生：不成立，因为分母为0．

老师：引导．

学生：总结出公式的特点．

老师：出示例1，引导学生利用公式得出答案．

学生：在老师的引导下得出答案．

教学内容

例２在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分

别为１，-１，２及-３的直线

1

l，

2

l，

3

l及

4

l．

解：取

1

l上某一点

1

A的坐标为

11

(,)xy，

根据斜率公式有：

1

1

0

1

0

y

x







，

即

11

xy．

设

1

1x，则

1

1y，

于是

1

A的坐标为

(1,1)

，

过原点及

1

A的直线即为

1

l．

同理，

2

l是过原点及

2

A

的直线，

3

l是过原点及

3

A的直线，

4

l是过原点及

4

A的直

线．

注：例题２中，还可以

选择点

1

A的坐标为

1

(1,)y、（

1

,1x

）来简

化做题！

4．练习巩固：

（1）求经过点

(2,0)A

，

(5,3)B

的直

线的斜率和倾斜角．

（2）已知三点

(1,)Aa，(3,5)B，

(2,17)Ca在同一条直

线上，求a．

（3）已知点A、B的x

y

1

A

3

A

2

A

4

A

1

l3

l

2

l

4

l

图6

所在直线的斜率k=3，横坐标分别为3和5，求线

段AB的长．

（4）将（3）中的横坐标改为纵坐标，AB的长如

何？

5.知识小结：

经过两点(,)

111

Pxy，(,)

222

Pxy的直线斜率公式：

yyyy

k

xxxx

2112

2112

tan







（

12

xx）

师生互动

老师：出示例2，组织学生分组讨论利用公式得出

答案．

学生：在老师的组织下

分组讨论利用不同方法

得出答案．

老师：出示思考题，引

导学生利用公式得出答

案．

学生：在老师的引导下

得出答案．

老师：引导学生总结本

课．

教学内容

斜率公式的用途：

由公式可解决下列类型的问题：

（1）由

1

P、

2

P点的坐标求

k

的值；

（2）已知k及

1122

,,,xyxy中的三个量可求第四个

量；

（3）证明三点共线．

师生互动

学生：在老师的引导下

总结出本课内容．

七．作业布置：

课本77P习题9-1（A）1、5

思考：证明三点共线的方法有哪些？

八.板书设计：

九．课后反馈：

投影幕

例1

例2