等差数列求和公式推导

2．2等差数列的前n项和公式（3课时）

教学目标：

1．理解并掌握等差数列的前n项和公式及相关性质

2．通过等差数列的求和公式的发现和推导过程，促进学生认知水平、思维水

平的发展

3．通过有关内容在实际生活中的应用，引导学生观察生活，从生活中发现问

题，并应用数学知识解决问题，进而提高学生应用数学知识分析、解决问题能力。

教学重点：掌握等差数列的前n项和公式及相关性质；会用求和公式解决一些

简单的问题

教学难点：对等差数列求和公式的理解及其灵活应用

教学方法：引导、启发式

教学过程：

一、复习引入

等差数列的概念：（等差数列的判定）

1

()

nn

aadnN





二、新课教学

（一）数列{}

n

a的前n项的和

123nn

Saaaa

问题：将

n

a用和如何表示？

结论：1

1

(1)

(2)n

nn

Sn

a

SSn















训练：

1．已知数列{}

n

a的前n项和235

n

Snn，则

n

a

2．已知数列{}

n

a的前n项和2

n

SAnBn，则

n

a

3．已知数列{}

n

a的前n项和31n

n

S，则

n

a

（二）等差数列的前n项和公式

引例：求数列1，2，3，4，……，的前100项的和

100

S

学生思考回答：

方法一：连续相加

方法二：首尾相加

方法三：

100

S＝100＋99＋98＋…＋3＋2＋1——倒序相加法

一般地，已知{}

n

a是等差数列，首项为

1

a，公差为

d

，求该数列前n项的和

n

S

学生思考、回答：

方法一：

123

1111

1221

()(2)[(1)]

()(2)()

nn

nnnn

nnnnn

Saaaa

aadadand

Saaaaa

aadadada











111

1

2()()()

()

nnnn

n

Saaaaaa

naa





所以1

()

2

n

n

naa

S





用等差数列的性质，方法二

1231

1221

nnn

nnnn

Saaaaa

Saaaaa









学生完成――将

1

(1)

n

aand代入上式

得到：

1

(1)

2n

nn

Snad





结论：等差数列的通项公式

1

()

2

n

n

naa

S





——首项、末项、项数、和——知三求一

1

(1)

2n

nn

Snad





——首项、公差、项数、和——知三求一

训练巩固：

1．（1）求前n个正奇数的和；

（2）求数列1，4，7，10，…的前n项和，前100项和；

2．在数列{}

n

a中，23

n

an，求这个数列第100项到第200项的和

分析：方法一：求：

20099

SS；

方法二：

100101200

,,,aaa构成等差数列（100200101

2

aa

S





）

3．等差数列－10，－6，－2，2，……前多少项的和为54？

4．等差数列{}

n

a中，

1

14,0.7,32,

n

ada求

n

S

5．在等差数列{}

n

a中，

56

3,2,aa则

4510

aaa

6．已知{a

n

}是等差数列，若S

n

=S

m

，则S

m+n

=若S

m

=n,S

m

=m,则S

m+n

=

7．若{}

n

a是等差数列。（1）证明数列n

S

n







是等差数列，（2）1011010,1,

10110n

SS

S

8．已知数列{}

n

a的前n项和为

n

S，若232

n

Snn

n

求数列{|

n

a|}的前n项和

S



。

9.《教材》例8，例10，例11

关于应用题：

1．与数学模型的对接：实际问题中主变量是正整数时，可考虑建立数列模型

2．解答必做

（1）设：定位数列各项的实际意义——从实际问题中抽象出数列

——一定要说清楚：从什么起至什么的什么构成数列{}

n

a

（2）判：判断数列的特征

（3）算：利用相应数列的特性进行相关计算——弄清项数与公差；弄清求和还

是求某一项

（4）答：做答

10.2000年11月14日教育部颁发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通

知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，

在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程

的费用为500万元，为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年

增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投

入是多少？

解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年

增加50万元.所以，可以建立一个等差数列{an}，表示从2001年起各年投入的

资金，其中

那么，到2010年(n=10),投入的资金总额为

10(101)

1

10

2

S





答：从2001～2010”年,该市在“校校通”工程中的总投入是7250元.

练习：某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60

个座位，这个剧场共有多少个座位

（三）等差数列的前n项和相关性质

1．公差为

d

的等差数列{}

n

a的前n项和

n

S，数列

232

,,,

mmmmm

SSSSS的特

征？

教师启发，学生思考

121

212(1)2

3221222(1)3

(1)(1)1(1)2(1)(1)

mmm

mmmmmmm

mmmmmmm

kmkmkmkmkmmkm

Saaaa

SSaaaa

SSaaaa

SSaaaa

















学生利用等差数列的性质，思考该数列的特征

结论：

232

,,,

mmmmm

SSSSS是等差数列，公差为2md

训练：等差数列{}

n

a的前n项和为

n

S，

（1）

23

3,10,

mmm

SSS

（2）若

1040110

8,12,SSS，

2．前n项和的其他形式表示

21n

S



？

2n

S？

21

21

(21)

21

n

nnn

S

Snaa

n









；

1

22

nn

n

aa

Sn





；

结论：{},{}

nn

ab是等差数列，,

nn

ST分别是它们的前n项和，则21

21

nn

nn

aS

bT







训练（1）{},{}

nn

ab是等差数列，,

nn

ST分别是它们的前n项和，若9

9

31

,

25

n

n

Sa

n

Tnb







（2）{}

n

a是各项不为零的等差数列，若1m且2

1121

0,38

mmmm

aaaS



，则

m。

（3）若一个等差数列{}

n

a前三项的和为34，后三项的和为146，所有各项的和

为390，求n

3．关于等差数列的前n项和

n

S的最大值、最小值

分四种情况讨论

（1）

1

0,0,

n

adS有最小值

1

S

（2）

1

0,0,

n

adS有最大值

1

S

（3）

1

0,0,

n

adS有最小值：可由

1

0

0

n

n

a

a













（变号）

或求和公式——二次函数的性质

（4）

1

0,0,

n

adS有最大值——可由

1

0

0

n

n

a

a













（变号）

或求和公式——二次函数的性质

巩固训练：

（1）已知等差数列

24

543...

77

，，，

的前n项和为

n

S，求使得

n

S最大的序号n

（2）在等差数列{}

n

a中，

4

a＝－15,公差d＝3,求数列{}

n

a的前n项和

n

S的最小

值.

（3）等差数列{}

n

a中，a

1

=25,S

17

=S

9

,问数列前多少项之和最大，并求最大值。

（4）等差数列的前n项和为S

n

,已知a

3

=12,S

12

>0,S

13

<0，求公差d的取值范围，

并指出S

1

，S

2

，…,S

12

中，那一个值最大，并说明理由。

（5）等差数列{}

n

a中，首项

12006

0,0,0aaaaa，

n

S是前n项和，

则使得0

n

S的最大的正整数n＝，使得

n

S的最大的正整数n＝

四、小结

（一）数列的前n项和；

（二）等差数列的前n项和；

（三）关于等差数列的前n项和

n

S

1．公差为

d

的等差数列{}

n

a的前n项和

n

S，数列

232

,,,

nnnnn

SSSSS的特征

2．前n项和的其他形式表示

21n

S



？

2n

S？

3．关于等差数列的前n项和

n

S的最大值、最小值问题

四、训练巩固

课本17页练习1

五、作业

（一）P20A组13，14，B组1

（二）P20B组3，4，5

思考：B组2

某工厂花费50万元买回一台机器，这台机器投入生产后每天要付维修费，已

知第x天应付的维修费为

1

[(x-1)+500]

4

元。机器从投产到报废总共付出的维修费

与购买机器费用的和均摊到每一天，叫作每天的平均损耗，当平均损耗达到最小

值时，机器应当报废

（1）将每天的平均损耗y(元)表示为投产天数x的函数。

（2）求机器使用多少天应当报废？