上三角行列式

1.3行列式的计算

用定义计算行列式的值有时是比较麻烦的，利用行列式的性质能够使计算变的比较容易些，通常我们

利用行列式的性质把行列式化为三角行列式、或者将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素，再按

此行(列)展开，以降低行列式的阶数.即综合运用行列式的性质可以达到简化计算行列式的目的.

例13计算行列式

.

解：观察行列式，发现中各列的4个数相加都等于7，故把第2，3，4行都加到第1行的对应

元素上，并把公因子7提到行列式外，有

,

再用第1列乘以分别加到第2，3，4列上，则有

.

在例13中，我们设法把主对角线以上的元素都化为零，则称该行列式为下三角行列式．从例13的计

算可得到这样的规律：下三角行列式等于其主对角线元素的乘积．同理，主对角线以下的元素全为零的行

列式，则称为上三角行列式，且上三角行列式也等于主对角线元素的乘积．上、下三角行列式统称为三角

行列式．

例14计算行列式

.

解：用第1列乘以和，分别加到第3和第4列，该行列式的第2行中就只有，于是按

第2行第1列展开，再提取第1行的公因子2，有

?

对于上式右端的三阶行列式，用第1列乘以，分别加到第2和第3列，该行列式的第1行中就只

有，于是按第1行第1列展开，有

符号说明：通常，我们用表示行列式的第行，用表示行列式的第列.

该例也可以用第3行乘以2分别加到第1行和第4行，再按展开行列式，即

在例14的计算中，先利用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素，再按此行

(列)展开，该行列式就降低了一阶，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式.即综合运用行列式的性质

可以达到简化行列式的计算的目的.

例15计算.

解：所给行列式有