波尔半径

杨福家原子物理第2章习题及答案

2.1铯的逸出功为1.9eV，试求：（1）铯的光电效应阈频率及阈值

波长；

（2）如果要得到能量为1.5eV的光电子，必须使用多少波长的光照

射？

2.2对于氢原子、一次电离的氢离子He＋和两次电离的锂离子Li＋

＋，分别计算它们的：

（1）第一、第二玻尔轨道半径及电子在这些轨道上的速度；（2）电

子在基态的结合能；

（3）由基态带第一激发态所需的激发能量及由第一激发态退激到基

态所放光子的波长。

2.3欲使电子与处于基态的锂离子Li＋＋发生非弹性散射，试问电子

至少具有多大的动能？

2.4运动质子与一个处于静止的基态氢原子作完全非弹性的对心碰

撞，欲使锂原子发射出光子，质子至少应多大的速度运动？2.5（1）原

子在热平衡条件下处于不同能量状态的数目是按波尔兹曼分布的，即处于

能量为En的激发态的原子数为：

gn(EnE1)kT

NnN1eg1

式中N1是能量为E1状态的原子数，k为玻尔兹曼常量，gn和g1为

相应能量状态的统计权重。试问：原子态的氢在一个大气压、20℃温度的

条件下，容器必须多大才能有一个原子处在第一激发态？已知氢原子处于

基态和第一激发态的统计权重分别为g1=2和g2=8。

（2）电子与室温下的氢原子气体相碰撞，要观察到Hα线，试问电

子的最小动能为多大？

2.6在波长从95nm到125nm的光带范围内，氢原子的吸收光谱中

包含哪些谱线？

2.7试问哪种类氢离子的巴耳末系和赖曼系主线的波长差等于

133.7nm？

2.8一次电离的氢原子He+从第一激发态向基态跃迁时所辐射的光

子，能量处于基态的氢原子电离，从而放出电子，试求该电子的速度。

2.9电子偶素是由一个正电子和一个电子所组成的一种束缚系统，试求

出：（1）基态时两电子之间的距离；（2）基态电子的电离能和由基态到第

一激发态的激发能；（3）由第一激发态退激到基态所放光子的波长。

2.10μ-子是一种基本粒子，除静止质量为电子质量为电子质量的207

倍外，其余性质与电子都一样。当它运动速度较慢时，被质子俘获形成μ

子原子，试计算：（1）μ子原子的第一波尔轨道半径；（2）μ子原子的最

低能量；（3）μ子原子赖曼线系中的最短波长。2.11已知氢和重氢的里

德伯常量之比为0.999728，而它们的核质量之比为mH/mD=0.50020，

试计算质子质量与电子质量之比。2.12当静止的氢原子从第一激发态向

基态跃迁放出一个光子时，（1）试求这个氢原子所获得的反冲速率为多

大？（2）试估计氢原子的反冲能量与所发光子的能量之比。

2.13钠原子的基态为3s，试问钠原子从4P激发态向低能级跃迁时，

可产生几条谱线（不考虑精细结构）？

2.14钠原子光谱的共振线（主线系第一条）的波长等于

λ=589.3nm，辅线系线限的波长等于λ

∞

=408.6nm，试求（1）3S、3P

对应的光谱项和能量；（2）钠原子基态电子的电离能和由基态到第一

激发态的激发能。2―1

解：光电效应方程

12

mvmh2

（1）由题意知vm0即h0

1.9ev

4.591014Hz15

h4.13610evschc1.24nmKev652.6nm1.9ev

12

1.5ev（2）∵mvm

2

c

∴1.5evhh

hc1.24nmKev

364.7nm

1.5ev1.5ev1.9ev

2―2

解：（1）由波尔理论及电子的轨道半径公式r1为氢原子第一波尔半

径

402(c)2(197.3)2

r1a1nm0.053nm222

meemece00.511

n2

rnr1

z

氢原子第二波尔半径可知：He+(Z=2)

Li++(Z=3)

r2n2r14r10.212nm

a1

0.0265nm222

r2a10.106nm

2a

r110.0176nm

322

r2a10.0705nm

3r1

电子在波尔轨道上的速率为vnc

v1c

z

n

于是有H:

1

ms2.19106ms1137

cv21.1106ms1

2

He+:

v12c4.38106ms1

c61

v210ms

2

v13c6.57106ms1

Li++:

c61

v210ms

2

(2)电子在基态的结合能Ek在数值上等于原子的基态能量

2

由波尔理论的能量公式Enme(c)

12zn

可得Ek

1

me(cz)213.6z2ev2

故有H:Ek13.6ev

He+:Ek13.62254.4evLi++:Ek13.642312e2.v

（3）以电压加速电子，使之于原子碰撞，把原子从基态激发到较高

能态，用来加速电子的电势差称为激发电势，从基态激发到第一激发态得

相应的电势差称为第一激发电势。

V12

E121

13.6z2(12)e2

1

4

对H:V1213.6(1)10.2v

141

Li++:V1213.632(1)91.8v

4

He+:V1213.622(1)40.8v

共振线（即赖曼系第一条）的波长：12

1.24nmkev

121.6nm

10.2ev1.24nmkev

30.4nmHe+:12

40.8ev1.24nmkev

13.5nmLi++:12

91.8ev

hchc

E12E2E1

H:12

2―3

12

2

z122.e4v解：Li++基态能量为E1me(c)

从基态到第一激发态所需能量为

E1213.6Z2(1

13

)122.491.8v2

42

故电子必须具有91.8ev的动能.2―4

解：欲使基态氢原子发射光子，至少应使氢原子从基态激发到第一激

发态，因此有：

Ek

mp1

mpv2(1)E122E1220.4ev2MH

c3108ms6.26104msv

（质子静止能量mpc2938Mev）

2―6

解：对于min95nm，有

1

min

11R(2

2)

1n1

n14.8

∵min95nm的波长的光子不足以将氢原子激发到n=5的激发态，则

在min95nm以内有一光子可将氢原子激发到n=4的激发态∴n1=4

1.9同理有：n2

∵对应于n=1的辐射光子的波长应比125nm更长，在波段以外∴

n2=2

又∵氢原子的吸收谱对应于赖曼系∴在（95∽125nm）波段内只

能观察到3条即

1(m1,n2)

2(m1,n3)

3(m1,n4)

2―7

13)RZ2224

115

巴RZ2(22)RZ2巴耳末主线：

2336赖RZ2(1解：赖曼系主线：

二主线波长差：

__(10820)133.7nm5__15__2

8888

Z247

15R133.7nm15__.3110133.7Z2巴赖

2―8

解：He+从E2→E1跃迁辐射的光子的能量为

hE2E1RcZ2(

1

1)3Rhc22

氢原子的电离能为EEE10(Rhc)Rhc∴电离的电子的能量为Ek

3RhcRhc2Rhc该电子的速度为

v

6

3.0910ms2―9

解：电子偶素可看作类氢体系，波尔理论同样适用，但有关公式中的

电子质量必须采用体系的折合质量代替，对电子偶素，其折合质量为：

meMm

emeM2

402402

（1）r122a120.053nm0.106nm22

emee

（2）电离能为EiEE1RAhc

11

Rm

1e2M

11

于是EiRhc1.__-__1071.24106ev6.80ev

22

E

则电离电势为Vii6.80v

e

式中RAR

第一激发电势为

11

RAhcZ2(22)

E3Rhc5.10vV1212ee2e

（3）共振线波长为

hc1.24103nmev

12243.1nm

E125.10ev

2―10

解：（1）μ子原子可看作类氢体系，应用波尔理论，其轨道半径为

207meM402n22071836式中me186.0mern2

207meM2071836eZ

其第一波尔半径为

402a10.053nm

r12.85104nm2

186.0mee186.0186.0

（2）μ子原子的能量公式为

1z1z

En(c)2186.0me(c)2

2n2n

最低能量n1

1

E1186.0me(c)2186.013.6ev2.53103ev

2

hc

（3）由波长公式

E

min

hchc1.24103nmev0.49nm3

EmaxEE10(2.5310ev)

2―11解：由RA

R

me1MA

me

RMD

0.__可知H

mRD1eMH

1

又∵MD

1

MH

0.__

∴

0.__me

MH

0.__me1MH

则2―12

MH0.__

1836.51.8103me0.000272

解：（1）所发光子的能量

113

hE2E1Rhc(22)13.6ev10.2ev

412

hh10.2ev

光子的动量Pcc

氢原子的反冲动量等于光子动量的大小，即MHv反P

h10.21.6021019v反mHc1.6710273108s3.26

hc

（3）氢原子的反冲能量为

Ek

112

mHv反1.671027(3.26)2J8.871027J22

Ek8.87102795.41019h10.21.60210

2―13

解：不考虑能级的精细结构，钠原子的能级图如下：

根据辐射的选择定则l1

可知，当钠原子从4P态向低能级跃迁时可产生6条光谱。2―14

解：（1）由Na的能级图可知，3P能级的光谱项和能级分别为：

~1T22

1

2.447106m1

408.6nm

1.24nmKev

3.03ev

408.6nm

E2hcT2

3S能级的光谱项和能级可通过下式求出：

~1T1T21

1

T1T2

1

1

2.447106

161

4.14410m

589.3109

E1hcT11.24103nmev4.144106m15.14ev