三角函数求导

一、两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=

tanAtanB-1

tanBtanA

tan(A-B)=

tanAtanB1

tanBtanA





cot(A+B)=

cotAcotB

1-cotAcotB



cot(A-B)=

cotAcotB

1cotAcotB





二、倍角公式

tan2A=

Atan1

2tanA

2

Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A=Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A

3、半角公式

sin(

2

A

)=

2

cos1A

cos(

2

A

)=

2

cos1A

tan(

2

A

)=

A

A

cos1

cos1





cot(

2

A

)=

A

A

cos1

cos1





tan(

2

A

)=

A

A

sin

cos1

=

A

A

cos1

sin



4、诱导公式

sin(-a)=-sinacos(-a)=cosa

sin(

2



-a)=cosacos(

2



-a)=sinasin(

2



+a)=cosacos(

2



+a)=-sina

sin(π-a)=sinacos(π-a)=-cosasin(π+a)=-sinacos(π+a)=-cosa

tgA=tanA=

a

a

cos

sin

五、全能公式

sina=

2)

2

(tan1

2

tan2

a

a



cosa=

2

2

)

2

(tan1

)

2

(tan1

a

a





tana=

2)

2

(tan1

2

tan2

a

a



六、其他非重点三角函数

csc(a)=

asin

1

c(a)=

acos

1

7、（a＋b）的三次方,（a－b）的三次方公式

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

八、反三角函数公式

arcsin(-x)=-arcsinx

arccos(-x)=π－arccosx

arctan(-x)=-arctanx

arccot(-x)=π－arccotx

arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)

当x∈〔—π/2，π/2〕时，有arcsin(sinx)=x

当x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=x

x∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=x

x∈(0，π),arccot(cotx)=x

x〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似

若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)

九、三角函数求导：

(sinx)'=cosx

(cosx)'=-sinx

(tanx)'=(cx)^2

(cx)'=cxtanx

(cotx)'=-(cscx)^2

(cscx)'=-csxcotx

(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

(arccosx)'=-1/√(1-x^2)

(arctanx)'=1/(1+x^2)

(arccotx)'=-1/(1+x^2)

10、大体求导公式

⑴

0)(



C

（C为常数）⑵1)(

nnnxx；一样地，1)(

xx。

专门地：

1)(



x

，xx2)(2



，

2

1

)

1

(

x

x





，

x

x

2

1

)(



。

⑶xxee



)(；一样地，)1,0(ln)(



aaaaaxx。

⑷

x

x

1

)(ln



；一样地，

)1,0(

ln

1

)(log



aa

ax

x

a

。

1一、求导法则⑴四则运算法则

设f(x)，g(x)均在点x可导，则有：（Ⅰ）)()())()((xgxfxgxf











；

（Ⅱ）)()()()())()((xgxfxgxfxgxf











，专门)())((xfCxCf







（C为常数）；

（Ⅲ）)0)((,

)(

)()()()(

)

)(

)(

(

2













xg

xg

xgxfxgxf

xg

xf

，专门

2

1()

()

()

()

gx

gx

gx





。

1二、微分函数()yfx在点x处的微分：()dyydxfxdx





13、积分公式

经常使用的不定积分公式：

（1）













c

x

dxx

x

dxxc

x

xdxcxdxCxdxx

4

3

,

2

,),1(

1

1

4

3

3

2

2

1





；

（2）

Cxdx

x

||ln

1

；

Cedxexx；)1,0(

ln

aaC

a

a

dxa

x

x；

（3）dxxfkdxxkf)()(

（k为常数）

定积分：

()()|()()b

b

a

a

fxdxFxFbFa

⑴b

a

b

a

b

a

dxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()]()([

2121

分部积分法：

设u(x)，v(x)在[a，b]上具有持续导数

)(),(xvxu



，则

b

a

b

a

b

a

xduxvxvxuxdvxu)()()()()()(

14、重要的等价无穷小替换:

当x→0时，

sinx~x

tanx~x

arcsinx~x

arctanx~x

1-cosx~1/2*（x^2）

（a^x）-1~x*lna

（e^x）-1~x

ln(1+x)~x

(1+Bx)^a-1~aBx

[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x

loga(1+x)~x/lna