矩阵I

矩阵

定义由mn个数1,2,,;1,2,,

ij

aimjnLL排成的m行n列的数表

11121

21222

12

n

n

mmmn

aaa

aaa

aaa

L

L

MMM

L

称为

m行n列矩阵。简称mn矩阵，记作

11121

21222

11

n

n

mmmn

aaa

aaa

A

aaa















L

L

LLLL

L

，简记为

mnijij

mn

AAaa





，

,mnA这个数称为的元素简称为元。

几种特殊的矩阵：

方阵：行数与列数都等于n的矩阵A。记作：A

n。

行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。

同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。

相等矩阵：AB同型,且对应元素相等。记作：A＝B

零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）

对角阵：不在主对角线上的元素都是零。

单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E

n

(不引起混淆时，也可表示为E)

3．正交矩阵

定义6：A是一个n阶实矩阵，若，则称为正交矩阵。

定理：设A、B都是n阶正交矩阵，则

(1)或

(2)

(3)也是正交矩阵

(4)也是正交矩阵。

定理：n阶实矩阵A是正交矩阵A的列（行）向量组为单位正交向量组。

注：n个n维向量，若长度为1，且两两正交，责备以它们为列（行）向量构成的矩阵一定

是正交矩阵。

注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵

仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。

1、上述形如

1

3







、

512128

363836

232128











、

23

324

41

m

n















、

231

3242

414

m

n















这样的矩形数表叫做矩阵。

EAAT

A

1A1A

TAA1

)(1TAA即

AB



2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量12

,,

n

aaa称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量

1

2

n

b

b

b















称为列向量；由m个行向量与n个列向量组成的矩阵称为mn阶矩阵，mn阶矩阵可记做

mn

A



，如

矩阵

1

3







为21阶矩阵，可记做

21

A



；矩阵

512128

363836

232128











为33阶矩阵，可记做

33

A



。有时矩阵也

可用A、B等字母表示。

3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个mn阶矩阵

mn

A



中的第i（im）行第j（jn）列

数可用字母

ij

a表示，如矩阵

512128

363836

232128











第3行第2个数为

32

21a。

4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如

000

000







为一个23阶零矩阵。

5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n行（列），可称此方

阵为n阶方阵，如矩阵

512128

363836

232128











、

23

324

41

m

n















均为三阶方阵。在一个n阶方阵中，从左上角

到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。

如矩阵

10

01







为2阶单位矩阵，矩阵

100

010

001











为3阶单位矩阵。

6、如果矩阵A与矩阵B的行数和列数分别相等，那么A与B叫做同阶矩阵；如果矩阵A与矩阵B是同阶

矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A与矩阵B叫做相等的矩阵，记为AB。

矩阵的运算

矩阵的加法设有两个

mn

矩阵

ijij

AaBb和，那么矩阵A与B的和记作AB，规定为

1111121211

2121222222

1122

nn

nn

mmmmmnmn

ababab

ababab

AB

ababab





















L

L

LLLL

L

说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33）

矩阵加法的运算规律

1ABBA；

2ABCABC



11121

21222

11

3,()

n

n

ijijmn

mn

mmmn

aaa

aaa

AaAa

aaa

























L

L

LLLL

L

设矩阵记，A称为矩阵A的负矩阵

40,AAABAB。

数与矩阵相乘（矩阵的数量乘法）,AAA数与矩阵的乘积记作或规定为

11121

21222

11

,

n

n

mmmn

aaa

aaa

AAAAA

aaa























L

L

LLLL

L

数与矩阵的乘积记作或规定为

数乘矩阵的运算规律（设AB、为

mn

矩阵，,为数）

1AA；

2AAA；

3ABAB。

矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。

矩阵与矩阵相乘设

(b)

ij

B

是一个

ms

矩阵，

(b)

ij

B

是一个

sn

矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的

乘积是一个

mn

矩阵

(c)

ij

C，其中

1

2

121122

j

j

iiisijijissj

sj

b

b

aaaababab

b

















LL

M1

s

ikkj

k

ab



，

1,2,;1,2,,imjnLL，并把此乘积记作CAB

行矩阵[a

11

a

12

]与列矩阵













b

11

b

21

的乘法规则为[a

11

a

12

]













b

11

b

21

＝[a

11

b

11

＋a

12

b

21

]，二阶矩阵













ab

cd

与列矩阵













x

y

的乘法规则为













ab

cd













x

y

＝













ax＋by

cx＋dy

.矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律．

规则：A

m*s

*B

i*n

=c

m*n

行1*列1行2*列2＝行1*列2

第1行乘以第1列、第1行乘以第2列，如此类推

矩阵乘法的运算规律

1ABCABC；

2ABABAB

3ABCABAC，BCABACA

4

mnnnmmmnmn

AEEAA





矩阵的幂乘：

若A是n阶方阵，则称Ak为A的k次幂，即k

k

AAAAL

14243

个

，

并且mkmkAAA，k

mmkAA,mk为正整数。规定：A0＝E

注意矩阵不满足交换律，即ABBA，k

kkABAB（但也有例外）

转置矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作A，如

122

458

A









，

14

25

28

TA













。

转置矩阵的运算性质

1T

TAA；

2T

TTABAB；

3T

TAA；

4T

TTABBA。

方阵的行列式由

n

阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作A或detA（记住这

个符号）

注意

方阵：行数与列数都等于n的矩阵A。记作：A

n。

矩阵与行列式是两个不同的概念，n阶矩阵是n2个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数按

一定的运算法则所确定的一个数。

运算性质

1TAA；

2nAA；

(3)ABABBABA

单位矩阵

在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1,我们称这种矩阵为单位矩阵．它

是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1以外全都为0。记为：I

n

或E

n

，

也可以标记为I或者E

对于单位矩阵，有AE=EA=A

对角矩阵

对角矩阵(diagonalmatrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0

或其他值。

三角矩阵

以主对角线划分，三角矩阵有上三角矩阵和下三角矩阵两种。

①上三角矩阵

它的下三角(不包括主对角线)的元素均为常数0。

②下三角矩阵

与上三角矩阵相反，它的主对角线上方均为常数0，如图所示。

实对称矩阵

如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，矩阵A的转置等于其本身(AT=A)，则称A为实对称矩

阵。

如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，且a

ij

=a

ji

i,j=1,2,...,n（即

这里T表示转置），则称A为实对称矩阵。

反对称矩阵

，对称矩阵的元素A(i,j)=A(j,i).

反对称矩阵定义是：A=-AT（A的转置前加负号）它的第Ⅰ行和第Ⅰ列各数绝对值相等，符号相

反。于是，对于对角线元素，A(i,i)=-A(i,i),有2A（i,i)=0，在非偶数域中，有A（i,i)=0，

即反对称矩阵对角线元素为零(此性质只在非偶数域中成立。在偶数域中，由于1+1=0，反对称矩阵

的对角线元素不一定为0）。

对称矩阵设A为n阶方阵，如果满足A=AT，即,1,2,,

ijji

aaijnL那么A称为对称阵。

说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，如果TAA则称矩阵A为反对称的。即反对称

矩阵A=（a

ij

）中的元素满足a

ij

＝－a

ji

，i，j=1，2，…n

逆矩阵

定义对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B,使得AB＝BA＝E则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为

A的逆矩阵。1AA的逆矩阵记作

，1AB即。

说明

1A，B互为逆阵，A=B-1

2只对方阵定义逆阵。

3.若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。

伴随矩阵行列式A的各个元素的代数余子式

ij

A

所构成的如下矩阵

11211

12222

12

n

n

nnnn

AAA

AAA

A

AAA

















L

L

LLLL

L

称为

矩阵A的伴随矩阵。

性质AAAAAE（易忘知识点）

定理1矩阵A可逆的充分必要条件是0A，并且当A可逆时，有1*

1

AA

A

（重要）

(2)设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BA＝AB＝E，则称矩阵A可逆，或称矩阵A是

可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵．

(3)(性质1)设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的．A的逆矩阵记为A－1．

(4)(性质2)设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1.

奇异矩阵与非奇异矩阵当0A时，A称为奇异矩阵，当0A时，A称为非奇异矩阵。即

0AAA可逆为非奇异矩阵。

推论若(A=E)ABE或B，则1BA

求逆矩阵方法*

*1

(1)||||0

2

1

(3)

||

AA

A

AA

A







先求并判断当时逆阵存在；

（）求；

求。

逆矩阵的运算性质

1

111,,AAAA

若可逆则亦可逆且

1

1

1

2,0,,AAAA





若可逆数则可逆且。

1113,,,ABABABBA若为同阶方阵且均可逆则亦可逆且()。

1

14,,T

TTAAAA

若可逆则亦可逆且。

1

15,AAA

若可逆则有。

1.对于n阶矩阵A：**AAAAAE

无条件恒成立；

2.1**111**()()()()()()TTTTAAAAAA

***111()()()TTTABBAABBAABBA

矩阵的初等变换

（1）互换矩阵的两行；

（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；

（3）某一行乘以一个数加到另一行。

以上任意矩阵可经过有限次初等行变换化为阶梯型矩阵

初等行变换

1()

ij

rr对调两行，记作。

20()

i

krk以数乘以某一行的所有元素，记作。

3()

ij

krkr把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。

一个矩阵成为阶梯型矩阵,需满足两个条件：

（1）如果它既有零行,又有非零行,则零行在下,非零行在上.

（2）如果它有非零行,则每个非零行的第一个非零元素所在列号自上而下严格单调上升.

阶梯型矩阵的基本特征：

如果所给矩阵为阶梯型矩阵则矩阵中每一行的第一个不为零的元素的左边及其所在列以下全为零.特点（每

个阶梯只有一行；元素不为0的行（非零行）的第一个非零元素的列标随着行标增大而严格增大（列标一

定不小于行标）；元素全为0的行（如果有的话）必在矩阵的最下面几行）

任意矩阵可经过有限次初等行变换化为阶梯型矩阵

若矩阵A满足两条件：

（1）零行（元素全为0的行）在最下方；

（2）非零首元（即非零行的第一个不为零的元素）的列标号随行标号的增加而严格递增，则称此矩阵A

为阶梯形矩阵。

初等变换求逆矩阵：

（1）求逆矩阵：1(|)|AEEA初等行变换或

1

AE

EA









初等列变换。

（2）求A-1B：A(,)~(,),

r

ABEP即1(|)|ABEAB行，则P=A-1B。或

1

E

A

B

BA















初等列变换.

矩阵的秩

矩阵的秩任何矩阵

mn

A



，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行

数是唯一确定的。（非零行的行数即为矩阵的秩）

矩阵的秩在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0，那

么D称为矩阵A的最高阶非零子式。数r称为矩阵A的秩，记作R(A).规定零矩阵的秩，R(0)=0.

说明

1.矩阵A

m×n

，则R(A)≤min{m,n};

2.R(A)=R(AT);

3.R(A)≥r的充分必要条件是至少有一个r阶子式不为零;

4.R(A)≤r的充分必要条件是所有r+1阶子式都为零.

满秩和满秩矩阵矩阵

ij

mn

Aa



，若()RAm，称A为行满秩矩阵；若()RAn，称A为列满秩矩

阵；,(),AnRAnA若为阶方阵且则称为满秩矩阵。

()nARAn若阶方阵满秩，即

0A；

1A必存在；

A为非奇异阵；

,~.

nn

AEAE必能化为单位阵即

矩阵秩的求法

定理1矩阵A经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。即若A～B，则R(A)=R(B)。

矩阵A

m×n

，经过有限次初等行变换可变为行阶梯形，则非零行的行数就是A的秩。

A―――初等行变换―――阶梯形矩阵形B

那么R(A)＝阶梯形矩阵形B的主元的个数。

矩阵秩的性质总结

(1)0()min{,}

mn

RAmn





(2)()()TRARA

(3)~,ABRARB若则

()()PQRPAQRA(4)若、可逆，则

(5)max{(),()}(,)()()

()(,)()1.

RARBRABRARB

BbRARARA



b特别当为非零列向量时，有

(6)()()()RABRARB

(7)()min{(),()}.RABRARB

(8),()().

mnnl

ABORARBn



若则

(9)AB=OAB=O设，若为列满秩矩阵，则（矩阵乘法的消去率）。