sin10度

第二讲三角恒等变换与解三角形

考点一三角恒等变换与求值

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.

(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.

(3)tan(α±β)＝

tanα±tanβ

1∓tanαtanβ

.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin2α＝2sinαcosα.

(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

(3)tan2α＝

2tanα

1－tan2α

.

3．辅助角公式

asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)













其中tanφ＝

b

a

.

[对点训练]

1．(2018·山西长治二模)已知sinα＝

10

10

，α∈













0，

π

2

，那

么cos













2α＋

π

6

的值为()

A.

43－3

10

B.

43＋3

10

C.

4－33

10

D.

33－4

10

[解析]∵sinα＝

10

10

，α∈













0，

π

2

，∴cosα＝

310

10

，sin2α

＝2sinαcosα＝2×

10

10

×

310

10

＝

6

10

＝

3

5

，cos2α＝1－2sin2α＝1－

2×

















10

10

2＝1－

1

5

＝

4

5

，∴cos













2α＋

π

6

＝

4

5

×

3

2

－

3

5

×

1

2

＝

43－3

10

，应

选A.

[答案]A

2．(2018·河南濮阳一模)设0°<α<90°，假设sin(75°＋2α)

＝－

3

5

，那么sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝()

A.

1

10

B.

2

20

C．－

1

10

D．－

2

20

[解析]因为0°<α<90°，因此75°<75°＋2α<255°.

又因为sin(75°＋2α)＝－

3

5

<0，因此180°<75°＋2α<255°，

角75°＋2α为第三象限角，因此cos(75°＋2α)＝－

4

5

.因此sin(15°

＋α)·sin(75°－α)＝sin(15°＋α)·cos(15°＋α)＝

1

2

sin(30°

＋2α)＝

1

2

sin[(75°＋2α)－45°]＝

1

2

[sin(75°＋2α)·cos45°

－cos(75°＋2α)·sin45°]＝

1

2

×

















－

3

5

×

2

2

＋

4

5

×

2

2

＝

2

20

，应选

B.

[答案]B

3．(2018·豫北名校联考)计算：

cos10°－3cos－100°

1－sin10°

＝

________.(用数字作答)

[解析]

cos10°－3cos－100°

1－sin10°

＝

cos10°＋3cos80°

1－cos80°

＝

cos10°＋3sin10°

2·sin40°

＝

2sin10°＋30°

2·sin40°

＝2.

[答案]2

4．(2018·河南六市联考)已知cosα＝

1

7

，cos(α－β)＝

13

14

，假设

0<β<α<

π

2

，那么β＝________.

[解析]由cosα＝

1

7

，0<α<

π

2

，得sinα＝1－cos2α＝1－











1

7

2＝

43

7

，由0<β<α<

π

2

，得0<α－β<

π

2

.

又cos(α－β)＝

13

14

，

∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－











13

14

2＝

33

14

.

由β＝α－(α－β)得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋

sinαsin(α－β)＝

1

7

×

13

14

＋

43

7

×

33

14

＝

1

2

.

∵β∈













0，

π

2

，∴β＝

π

3

.

[答案]

π

3

[快速审题](1)看到三角函数求值，想到已知角与未知角间的和、

差、倍的关系，想到公式求解．

(2)看到三角函数的平方，想到用二倍角公式降幂．

(1)三角恒等变换的三原那么

①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的不同与联系，

把角进行合理拆分，从而正确利用公式，如2题．

②二看“函数名称”，看函数名称之间的不同，从而确信利用的

公式，常见的有“切化弦”．

③三看“结构特点”，分析结构特点，能够帮忙咱们找到变形的

方向，常见的有“碰到分式要通分”等．

(2)解决条件求值应关注的三点

①分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知

角．

②正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角

函数值来表示．

③求解三角函数中给值求角的问题时，要依照已知求那个角的某

种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小，如4题．

考点二解三角形

1．正弦定理

a

sinA

＝

b

sinB

＝

c

sinC

＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．

变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.

sinA＝

a

2R

，sinB＝

b

2R

，sinC＝

c

2R

.

a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.

2．余弦定理

a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，

c2＝a2＋b2－2abcosC.

推论：cosA＝

b2＋c2－a2

2bc

，cosB＝

a2＋c2－b2

2ac

，

cosC＝

a2＋b2－c2

2ab

.

变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2

＝2abcosC.

3．面积公式

S△ABC

＝

1

2

bcsinA＝

1

2

acsinB＝

1

2

absinC.

角度1：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状

[解析]由cosB＝1－2sin2

B

2

得sin2

B

2

＝

1－cosB

2

，∴

c－a

2c

＝

1－cosB

2

，

即cosB＝

a

c

.

解法一：由余弦定理得

a2＋c2－b2

2ac

＝

a

c

，即a2＋c2－b2＝2a2，∴a2

＋b2＝c2.

∴△ABC为直角三角形，又无法判定两直角边是不是相等，应选

A.

解法二：由正弦定理得cosB＝

sinA

sinC

，又sinA＝sin(B＋C)＝

sinBcosC＋cosBsinC，∴cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC

＝0，又sinB≠0，∴cosC＝0，又角C为三角形的内角，∴C＝

π

2

，∴

△ABC为直角三角形，又无法判定两直角边是不是相等，应选A.

[答案]A

角度2：利用正弦、余弦定理进行边角计算

[解](1)由2cosAcosC(tanAtanC－1)＝1，

得2(sinAsinC－cosAcosC)＝1，

即cos(A＋C)＝－

1

2

，

∴cosB＝－cos(A＋C)＝

1

2

，

又0

π

3

.

(2)由余弦定理得cosB＝

a2＋c2－b2

2ac

＝

1

2

，

∴

a＋c2－2ac－b2

2ac

＝

1

2

，又a＋c＝

33

2

，b＝3，

∴

27

4

－2ac－3＝ac，即ac＝

5

4

，

∴S△ABC

＝

1

2

acsinB＝

1

2

×

5

4

×

3

2

＝

53

16

.

[探讨追问1]假设本例第(2)问条件变成“若b＝3，S△ABC

＝

33

2

”，试求a＋c的值．

[解]由已知S△ABC

＝

1

2

acsinB＝

33

2

，

∴

1

2

ac×

3

2

＝

33

2

，那么ac＝6.

由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac，

因此(a＋c)2＝b2＋3ac＝21，因此a＋c＝21.

[探讨追问2]在本例条件下，假设b＝3，求△ABC面积的最

大值．

[解]由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，

则3＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，因此ac≤3(当且仅当a＝c＝3时取

等号)．

因此S△ABC

＝

1

2

acsinB≤

1

2

×3×sin

π

3

＝

33

4

.

故△ABC面积的最大值为

33

4

.

利用正、余弦定明白得三角形应注意的3点

(1)利用正、余弦定明白得三角形时，涉及边与角的余弦的积时，

经常使用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一样用余弦定理．

(2)涉及边a，b，c的齐次式时，经常使用正弦定理转化为角的正

弦值，再利用三角公式进行变形．

(3)涉及正、余弦定理与三角形面积综合问题，求三角形面积时

用S＝

1

2

absinC形式的面积公式．

[对点训练]

1．[角度1]在△ABC中，假设(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A

＋B)，那么△ABC的形状为()

A．直角三角形

B．等边三角形

C．等腰三角形或直角三角形

D．等腰直角三角形

[解析]因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，

因此b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－

sin(A－B)]．

因此a2cosAsinB＝b2sinAcosB.

解法一：由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，

因此sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB.

又sinA·sinB≠0，因此sinAcosA＝sinBcosB，

因此sin2A＝sin2B.

在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，

因此2A＝2B或2A＝π－2B，

因此A＝B或A＋B＝

π

2

.

因此△ABC为等腰或直角三角形，应选C.

解法二：由正弦定理、余弦定理得：

a2b

b2＋c2－a2

2bc

＝b2a

a2＋c2－b2

2ac

，

因此a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，

因此(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，

因此a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0，

即a＝b或a2＋b2＝c2.

因此△ABC为等腰或直角三角形，应选C.

[答案]C

2．[角度2](2018·河南、河北重点中学第三次联考)如图，在△ABC

中，内角A，B，C的对边别离为a，b，c，已知c＝4，b＝2,2ccosC

＝b，D，E别离为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE.

(1)求线段AD的长；

(2)求△ADE的面积．

[解](1)因为c＝4，b＝2,2ccosC＝b，因此cosC＝

b

2c

＝

1

4

.

由余弦定理得cosC＝

a2＋b2－c2

2ab

＝

a2＋4－16

4a

＝

1

4

，

因此a＝4，即BC＝4.

在△ACD中，CD＝2，AC＝2，

因此AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD＝6，因此AD＝6.

(2)因为AE是∠BAC的平分线，

因此

S△ABE

S△ACE

＝

1

2

AB·AE·sin∠BAE

1

2

AC·AE·sin∠CAE

＝

AB

AC

＝2，

又

S△ABE

S△ACE

＝

BE

EC

，因此

BE

EC

＝2，

因此CE＝

1

3

BC＝

4

3

，DE＝2－

4

3

＝

2

3

.

又因为cosC＝

1

4

，因此sinC＝1－cos2C＝

15

4

.

因此S△ADE

＝

1

2

×DE×AC×sinC＝

15

6

.

考点三正、余弦定理的实际应用

1．实际问题经抽象归纳后，已知量与未知量全数集中在一个三

角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．

2．实际问题经抽象归纳后，已知量与未知量涉及到两个或两个

以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后

慢慢求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程

(组)，解方程(组)得出所要求的解．

[对点训练]

1．(2018·广东省五校协作体高三一诊)如下图，在一个坡度必然

的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相

关于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前

进50m抵达B处，又测得∠DBC＝45°，依照以上数据可得cosθ＝

________.

[解析]由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，由三角

形外角定理可得∠DCB＝90°＋θ，依照正弦定理，在△BAD中，可得

50

sin30°

＝

DB

sin15°

，即DB＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－

1)，在△BCD中，又

25

sin45°

＝

2523－1

sin90°＋θ

，即

25

sin45°

＝

2523－1

cosθ

，

取得cosθ＝3－1.

[答案]3－1

2．(2018·福州综合质量检测)如图，小明同窗在山顶A处观测到

一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路

上B，C两点的俯角别离为30°，45°，且∠BAC＝135°.假设山高AD

＝100m，汽车从B点到C点历时14s，那么这辆汽车的速度约为

________m/s.(精准到0.1)

参考数据：2≈，5≈2.236.

[解析]因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角别离为30°，

45°，因此∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.

设这辆汽车的速度为vm/s，那么BC＝14vm，

在Rt△ADB中，AB＝

AD

cos∠BAD

＝

AD

cos60°

＝200m.

在Rt△ADC中，AC＝

AD

cos∠CAD

＝

100

cos45°

＝1002m.

在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠

BAC，

因此(14v)2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos135°，解得v

＝

5010

7

≈，因此这辆汽车的速度约为22.6m/s.

[答案]

[快速审题]看到三角函数的实际应用问题，想到各类角的概念，

想到确信一个解斜三角形的数学模型．

解三角形实际问题的4步骤

1．(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝

1

3

，那么cos2α＝()

A.

8

9

B.

7

9

C．－

7

9

D．－

8

9

[解析]由sinα＝

1

3

，得cos2α＝1－2sin2α＝1－2×











1

3

2＝1－

2

9

＝

7

9

，

应选B.

[答案]B

2．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边别离为a，b，

c.若△ABC的面积为

a2＋b2－c2

4

，那么C＝()

A.

π

2

B.

π

3

C.

π

4

D.

π

6

[解析]依照余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，因为S△ABC

＝

a2＋b2－c2

4

，因此S△ABC

＝

2abcosC

4

，又S△ABC

＝

1

2

absinC，因此tanC＝1，

因为C∈(0，π)，因此C＝

π

4

，应选C.

[答案]C

3．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，那么sin(α

＋β)＝________.

[解析]由sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，

两式平方相加，得2＋2sinαcosβ＋2cosαsinβ＝1，整理得

sin(α＋β)＝－

1

2

.

[答案]－

1

2

4．(2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边别离为a，

b，c.已知bsinA＝acos













B－

π

6

.

(1)求角B的大小；

(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．

[解](1)在△ABC中，

由正弦定理

a

sinA

＝

b

sinB

，可得bsinA＝asinB，

又由bsinA＝acos













B－

π

6

，得asinB＝acos













B－

π

6

，即sinB＝

cos













B－

π

6

，可得tanB＝3.

又因为B∈(0，π)，可得B＝

π

3

.

(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝

π

3

，有b2＝a2＋

c2－2accosB＝7，故b＝7.

由bsinA＝acos













B－

π

6

，可得sinA＝

3

7

.

因为a

2

7

.

因此sin2A＝2sinAcosA＝

43

7

，cos2A＝2cos2A－1＝

1

7

.因此，sin(2A

－B)＝sin2A·cosB－cos2AsinB＝

43

7

×

1

2

－

1

7

×

3

2

＝

33

14

.

1.高考对此部份的考查一样以“二小”或“一大”的命题形式

显现．

2．假设无解答题，一样在选择题或填空题各有一题，要紧考查

三角恒等变换、解三角形，难度一样，一样出此刻第4～9或第13～

15题位置上．

3．假设以解答题命题形式显现，要紧考查三角函数与解三角形

的综合问题，一样出此刻解答题第17题位置上，难度中等．

热点课题8解三角形中的范围问题

[感悟体验]

(2018·河南豫北联考)在△ABC中，角A，B，C的对边别离是a，

b，c，且3acosC＝(2b－3c)cosA.

(1)求角A的大小；

(2)求cos











5π

2

－B

－2sin2

C

2

的取值范围．

[解](1)由正弦定理将原等式化为3sinAcosC＝2sinBcosA－3

sinCcosA，

从而可得，3sin(A＋C)＝2sinBcosA，

即3sinB＝2sinBcosA.

又B为三角形的内角，因此sinB≠0，

于是cosA＝

3

2

.

又A为三角形的内角，因此A＝

π

6

.

(2)cos











5π

2

－B

－2sin2

C

2

＝sinB＋cosC－1

＝sinB＋cos











5π

6

－B

－1

＝sinB＋cos

5π

6

cosB＋sin

5π

6

sinB－1

＝

3

2

sinB－

3

2

cosB－1

＝3sin













B－

π

6

－1，

由A＝

π

6

可知，B∈













0，

5π

6

，因此B－

π

6

∈













－

π

6

，

2π

3

，

从而sin













B－

π

6

∈













－

1

2

，1

，

因此，3sin













B－

π

6

－1∈













－

3＋2

2

，3－1

，

故cos











5π

2

－B

－2sin2

C

2

的取值范围为













－

3＋2

2

，3－1

.

专题跟踪训练(十五)

一、选择题

1．(2018·广东七校联考)已知sin













α＋

π

6

＋cosα＝－

3

3

，那么

cos











π

6

－α

＝()

A．－

22

3

B.

22

3

C．－

1

3

D.

1

3

[解析]由sin













α＋

π

6

＋cosα＝－

3

3

，得

3

2

sinα＋

1

2

cosα＋cosα＝－

3

3

，即

3

2

sinα＋

3

2

cosα＝－

3

3

，

亦即3sin













α＋

π

3

＝－

3

3

，

∴sin













α＋

π

3

＝－

1

3

，

∴cos











π

6

－α

＝sin











π

2

－











π

6

－α

＝sin













α＋

π

3

＝－

1

3

，应选C.

[答案]C

2．(2018·贵阳监测)已知sin











π

6

－α

＝

1

3

，那么cos













2











π

3

＋α

的值是

()

A.

7

9

B.

1

3

C．－

1

3

D．－

7

9

[解析]∵sin











π

6

－α

＝

1

3

，∴cos











π

3

－2α

＝cos













2











π

6

－α

＝1－

2sin2











π

6

－α

＝

7

9

，∴cos













2











π

3

＋α

＝cos











2π

3

＋2α

＝cos













π－











π

3

－2α

＝－

cos











π

3

－2α

＝－

7

9

，应选D.

[答案]D

3．(2018·湖北武汉模拟)在△ABC中，a＝2，b＝3，B＝

π

3

，那

么A等于()

A.

π

6

B.

π

4

C.

3π

4

D.

π

4

或

3π

4

[解析]由正弦定理得

a

sinA

＝

b

sinB

，因此sinA＝

asinB

b

＝

2×sin

π

3

3

＝

2

2

，因此A＝

π

4

或

3π

4

.又a

π

4

，应选B.

[答案]B

4．在△ABC中，内角A，B，C的对边别离为a，b，c，且B＝

2C,2bcosC－2ccosB＝a，那么角A的大小为()

A.

π

2

B.

π

3

C.

π

4

D.

π

6

[解析]由正弦定理得2sinBcosC－2sinCcosB＝sinA＝sin(B＋C)

＝sinBcosC＋cosBsinC，sinBcosC＝3sinCcosB，sin2CcosC＝

3sinCcos2C,2cos2C＝3(cos2C－sin2C)，tan2C＝

1

3

，∵B＝2C，∴C为锐

角，∴tanC＝

3

3

，C＝

π

6

，B＝

π

3

，A＝

π

2

，应选A.

[答案]A

5．在△ABC中，a、b、c别离是内角A、B、C的对边．假设bsinA

＝3csinB，a＝3，cosB＝

2

3

，那么b＝()

A．14B．6C.14D.6

[解析]bsinA＝3csinB⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，∴b2＝a2＋c2

－2accosB＝9＋1－2×3×1×

2

3

＝6，b＝6，应选D.

[答案]D

6．(2018·山东日照二模)如下图，在平面四边形ABCD中，AB＝

1，BC＝2，△ACD为正三角形，那么△BCD面积的最大值为()

A．23＋2B.

3＋1

2

C.

3

2

＋2D.3＋1

[解析]在△ABC中，设∠ABC＝α，∠ACB＝β，由余弦定理得：

AC2＝12＋22－2×1×2cosα，∵△ACD为正三角形，∴CD2＝AC2＝5

－4cosα，S△BCD

＝

1

2

·2·CD·sin











π

3

＋β

＝CD·sin











π

3

＋β

＝

3

2

CD·cosβ＋

1

2

CD·sinβ，在△ABC中，由正弦定理得：

1

sinβ

＝

AC

sinα

，∴AC·sinβ＝sinα，

∴CD·sinβ＝sinα，∴(CD·cosβ)2＝CD2(1－sin2β)＝CD2－sin2α＝5－

4cosα－sin2α＝(2－cosα)2，∵β<∠BAC，∴β为锐角，CD·cosβ＝2－

cosα，∴S△BCD

＝

3

2

CD·cosβ＋

1

2

CD·sinβ＝

3

2

·(2－cosα)＋

1

2

sinα＝3＋

sin













α－

π

3

，当α＝

5π

6

时，(S△BCD)

max

＝3＋1，应选D.

[答案]D

二、填空题

7．(2018·长春二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边别离为a，

b，c，且2asinA＝(2sinB＋sinC)b＋(2c＋b)sinC，那么A＝________.

[解析]由已知，依照正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即

a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－

1

2

，

又A为三角形的内角，故A＝120°.

[答案]120°

8．计算：4cos50°－tan40°＝________.

[解析]4cos50°－tan40°＝4sin40°－

sin40°

cos40°

＝

4cos40°sin40°－sin40°

cos40°

＝

2sin80°－sin40°

cos40°

＝

2sin120°－40°－sin40°

cos40°

＝

3cos40°＋sin40°－sin40°

cos40°

＝

3cos40°

cos40°

＝3.

[答案]3

9．(2018·安徽合肥一模)△ABC的内角A，B，C的对边别离为a，

b，c，假设cosC＝

22

3

，bcosA＋acosB＝2，那么△ABC的外接圆面

积为________．

[解析]已知bcosA＋acosB＝2，由正弦定理可得2RsinBcosA＋

2RsinAcosB＝2(R为△ABC的外接圆半径)．利用两角和的正弦公式得

2Rsin(A＋B)＝2，那么2RsinC＝2，因为cosC＝

22

3

，因此sinC＝

1

3

，

所以R＝3.故△ABC的外接圆面积为9π.

[答案]9π

三、解答题

10．(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝

4

3

，cos(α＋β)＝－

5

5

.

(1)求cos2α的值；

(2)求tan(α－β)的值．

[解](1)因为tanα＝

4

3

，tanα＝

sinα

cosα

，因此sinα＝

4

3

cosα.

因为sin2α＋cos2α＝1，因此cos2α＝

9

25

，

因此cos2α＝2cos2α－1＝－

7

25

.

(2)因为α，β为锐角，因此α＋β∈(0，π)，

又因为cos(α＋β)＝－

5

5

，

因此sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝

25

5

，

因此tan(α＋β)＝－2.

因为tanα＝

4

3

，因此tan2α＝

2tanα

1－tan2α

＝－

24

7

.

因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝

tan2α－tanα＋β

1＋tan2αtanα＋β

＝－

2

11

.

11．(2018·河北保定三模)在△ABC中，a，b，c别离为内角A，

B，C的对边，且知足











5

4

c－a

cosB＝bcosA.

(1)若sinA＝

2

5

，a＋b＝10，求a；

(2)若b＝35，a＝5，求△ABC的面积S.

[解]∵











5

4

c－a

cosB＝bcosA，

∴由正弦定理得











5

4

sinC－sinA

·cosB＝sinBcosA，即有

5

4

sinCcosB

＝sinAcosB＋cosAsinB，那么

5

4

sinC·cosB＝sinC.∵sinC>0，∴cosB＝

4

5

.

(1)由cosB＝

4

5

，得sinB＝

3

5

，

∵sinA＝

2

5

，∴

a

b

＝

sinA

sinB

＝

2

3

.

又∵a＋b＝10，∴a＝4.

(2)∵b2＝a2＋c2－2accosB，b＝35，a＝5，∴45＝25＋c2－8c，

即c2－8c－20＝0，解得c＝10或c＝－2(舍去)，

∴S＝

1

2

acsinB＝15.

12．在△ABC中，角A，B，C的对边别离为a，b，c.已知2(tanA

＋tanB)＝

tanA

cosB

＋

tanB

cosA

.

(1)证明：a＋b＝2c；

(2)求cosC的最小值．

[解](1)证明：由题意知2











sinA

cosA

＋

sinB

cosB

＝

sinA

cosAcosB

＋

sinB

cosAcosB

，

化简得2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋sinB，即2sin(A＋B)＝sinA

＋sinB.

因为A＋B＋C＝π，

因此sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.

从而sinA＋sinB＝2sinC.

由正弦定理得a＋b＝2c.

(2)由(1)知c＝

a＋b

2

，

因此cosC＝

a2＋b2－c2

2ab

＝

a2＋b2－











a＋b

2

2

2ab

＝

3

8











a

b

＋

b

a

－

1

4

≥

1

2

，

当且仅当a＝b时，等号成立．

故cosC的最小值为

1

2

.