设集合a

1.1集合的概念

一、单选题

1．如果集合{|2,}PxxkkN，21{|2,}kMxxkN，那么集合P、M之间的关系是

（）

A．MPB．PMC．PMD．PM、互不包含

答案：A

解析：分别求出集合P和集合M中的元素，即可判断集合P和集合M的关系.

详解：

由{|2,}PxxkkN可得集合P是由全体非负偶数构成的即{0,2,4,6,}P

21{|2,}{|24,}kkMxxkNxxkN集合M是由

4kkN的2倍构成的，

即{2,8,32,128,}M，

所以MP，

故选：A

2．下列表述正确的是（）

A．

,,abbaB．

,aabC．

aaD．0

答案：A

解析：根据子集的定义、属于关系的含义、空集的定义进行判断即可.

详解：

A：根据子集的定义，

,,abba显然成立，故本选项表述正确；

B：根据子集的定义，显然有

,aab成立，故本选项表述不正确；

C：根据属于的含义，显然有

aa成立，故本选项表述不正确；

D：根据空集的定义，显然0不成立，故本选项表述不正确.

故选：A

3．设25Axx，23Bxaxa，若AB，则实数a的取值范围是（）

A．

1,22,3B．

,1C．

23，D．



答案：D

解析：利用集合间的包含关系列出不等式组，求解即可.

详解：

解：25Axx，23Bxaxa且AB，

23

22

35

aa

a

a

















，

此不等式组无解.

故选：D.

4．下列四个集合中，是空集的是（）

A．

0B．8xx∣，且

5x

C．210xxN∣

D．4xx

答案：B

解析：根据空集的定义判断．

详解：

A中有元素0，B中集合没有任何元素，为空集，C中有元素1，D中集合，大于4的实数都是

其中的元素．

故选：B．

5．已知集合2{|210}MxRaxx，若M中只有一个元素，则a的值是（）

A．1B．0或1C．1D．0或1

答案：B

解析：集合M只含有一个元素，说明方程2210axx只有一个解.0a时，方程为一元一次

方程，只有一个解，符合条件；0a时，方程为一元二次方程，若方程只有一个解，需判别

式440a，所以解出a即可，这样a的值就都求出来了.

详解：

集合M中只含有一个元素，也就意味着方程2210axx只有一个解；

（1）当0a时，方程化为210x，只有一个解

1

2

x；

（2）当0a时，若2210axx只有一个解，只需440a，即1a；

综上所述，可知a的值为0a或1a.

故选：B

点睛：

本题主要考查了描述法表示集合，一元二次方程只有一个解的充要条件，属于中档题.

6．下列各组对象中不能构成集合的是

A．大名三中高一（2）班的全体男生B．大名三中全校学生家长的全体

C．李明的所有家人D．王明的所有好朋友

答案：D

详解：

由集合中元素的特性，可知D中的元素具有不确定性，故不能构成集合

选D

7．对于复数abcd,,,，若集合

,,,Sabcd

具有性质“对任意,xyS，必有xyS”，则当

2

2

1

{1

a

b

cb







时，bcd等于()

A．1B．－1C．0D．i

答案：B

解析：试题分析：集合

,,,Sabcd中abcd,,,各不相同21,11abb21cci，由已

知“对任意,xyS，必有xyS”可知ci时di，ci时di1bcd

考点：复数运算

点评：在计算,,bcd的值时要注意验证已知中的对任意,xyS，必有xyS是否成立和集合元

素的互异性

8．对于集合22,,MaaxyxyZZ，给出如下三个结论：①如果21,PbbnnZ，

那么PM；②如果42,cnnZ，那么cM；③如果1

aM，2

aM，那么12

aaM.其中正确

结论的个数是

A．0B．1C．2D．3

答案：D

解析：①根据2221(1)nnn，得出21nM，即PM；

②根据42cn，证明42nM，即cM；

③根据1

aM，2

aM，证明12

aaM．

详解：

解：集合22{|Maaxy，xZ，}yZ，

对于①，21bn，nZ，

则恒有2221(1)nnn，

21nM，即{|21Pbbn，}nZ，则PM，①正确；

对于②，42cn，nZ，

若42nM，则存在

x

，yZ使得2242xyn，

42()()nxyxy，

又

xy

和

xy

同奇或同偶，

若

xy

和

xy

都是奇数，则()()xyxy为奇数，而42n是偶数；

若

xy

和

xy

都是偶数，则()()xyxy能被4整除，而42n不能被4整除，

42nM，即cM，②正确；

对于③，1

aM，2

aM，

可设22

111

axy，22

222

axy，

i

x

、

i

yZ；

则2222

121122

()()aaxyxy

2222

12121221

()()()()xxyyxyxy

22

12121221

()()xxyyxyxyM

那么12

aaM，③正确．

综上，正确的命题是①②③．

故选D．

点睛：

本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题．

9．下列四组对象，能构成集合的是

A．某班所有高个子的学生B．著名的艺术家

C．一切很大的书D．倒数等于它自身的实数

答案：D

解析：根据集合的含义分别分析四个选项，A，B，C都不满足函数的确定性故排除，D确定.

详解：

A：某班所有高个子的学生，因为高个子学生不确定，所以不满足集合的确定性，排除；

B：著名的艺术家，因为著名的艺术家不确定，所以不满足集合的确定性，排除；

C：一切很大的书，因为很大的书不确定，所以不满足集合的确定性，排除；

D：倒数等于它自身的实数为1与1，∴满足集合的定义，故正确．

故选D．

点睛：

本题考查集合的含义．通过对集合元素三个性质：确定性，无序性，互异性进行考查，属于

基础题．

10．设集合

1,2,3A，

,,,BxyxAyAxyA，则集合B的元素个数为

A．4B．3C．2D．1

答案：B

解析：根据已知列举出集合B,即得集合B的元素个数.

详解：

由集合B中元素的属性xA，

yA

，

xyA

，

可得集合B中的元素有

2,1，

3,1，3,2（），共3个.

故选B.

点睛：

本题主要考查集合的表示方法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

二、填空题

1．已知aR，则构成集合

1,1a中的a应满足的条件是______．

答案：2a

解析：根据集合中元素的互异性可构造不等式求得结果.

详解：

根据集合中元素的互异性可知：11a，即2a

本题正确结果：2a

点睛：

本题考查集合中元素的互异性，属于基础题.

2．设集合

4

,

4

AxZxN

x











，用列举法表示为A______．

答案：

0,2,3,5,6,8

解析：N是自然数集，Z是整数集，所以对

4x

分类取值、逐一计算即可.

详解：

因为

4

,

4

ZxN

x





，所以

41x时，

4

=4,3

4

ZxN

x





；

44x时，

4

=1,0

4

ZxN

x





；

42x时，

4

=2,2

4

ZxN

x





；

41x时，

4

=4,5

4

ZxN

x





；

44x时，

4

=1,8

4

ZxN

x





；

42x时，

4

=2,6

4

ZxN

x





.

综上，

0,2,3,5,6,8A.

点睛：

本题考查对常用数集符号的认识，同时考查学生的推理和计算、分类讨论的能力.

3．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为________．

答案：x|x＝2n，n∈N*}

详解：

∵能被2整除的数都可写成2的整数倍，

∴所有能被2整除的正整数的集合可表示为：|2,xxnnN

故答案为|2,xxnnN

4．如果集合A＝x|ax2－2x－1＝0}只有一个元素则a的值是_____________

答案：0或－1

解析：当0a时，

1

2

A









符合题意；当0a时，一元二次方程判别式440,1aa.

5．已知集合2{|210,R,R}Axaxxxa，只有一个元素，则a的值为_________.

答案：0或1

解析：讨论当0a与0a两种情况进行讨论即可.

详解：

当0a时,有210x,

1

2

x满足条件.

当0a时,2210axx仅有一根,故224(1)440aa,即1a

故0a或1a

故答案为：0或1

点睛：

本题主要考查了含参数的二次函数根的个数问题,需要讨论二次项系数是否为0.属于基础题

型.

三、解答题

1．设[]x表示不超过

x

的最大整数，用21

100







，22

100







，23

100







，…，2100

100







组成集合A的元素，求集合

A中的元素的个数．

答案：76

解析：取1,2,3,,49x，分别计算

2

100







x

的值，再考虑当50x时

2

100







x

的取值情况，从而可得

集合A中的元素的个数.

详解：

设*xN，

当19x时，

2

01

100



x

，此时

2

0

100









x

，

当1014x时，

2

12

100



x

，此时

2

1

100









x

，

当1517x时，

2

23

100



x

，此时

2

2

100









x

，

当1819x时，

2

34

100



x

，此时

2

3

100









x

，

当2022x时，

2

45

100



x

，此时

2

4

100









x

，

当2324x时，

2

55.76

100



x

，此时

2

5

100









x

，

当2526x时，

2

6.256.76

100



x

，此时

2

6

100









x

，

当2728x时，

2

7.297.84

100



x

，此时

2

7

100









x

，

当29x时，

2

8.41

100



x

，此时

2

8

100









x

，

当3031x时，

2

99.61

100



x

，此时

2

9

100









x

，

当3233x时，

2

1010.89

100



x

，此时

2

10

100









x

，

当34x时，

2

11.56

100



x

，此时

2

11

100









x

，

当3536x时，

2

12.2512.96

100



x

，此时

2

12

100









x

，

当37x时，

2

13.96

100



x

，此时

2

13

100









x

，

当38x时，

2

14.44

100



x

，此时

2

14

100









x

，

当39x时，

2

15.21

100



x

，此时

2

15

100









x

，

当4041x时，

2

1616.81

100



x

，此时

2

16

100









x

，

当42x时，

2

17.64

100



x

，此时

2

17

100









x

，

当43x时，

2

18.49

100



x

，此时

2

18

100









x

，

当44x时，

2

19.36

100



x

，此时

2

19

100









x

，

当45x时，

2

20.25

100



x

，此时

2

20

100









x

，

当46x时，

2

21.16

100



x

，此时

2

21

100









x

，

当47x时，

2

22.09

100



x

，此时

2

22

100









x

，

当48x时，

2

23.04

100



x

，此时

2

23

100









x

，

当49x时，

2

24.01

100



x

，此时

2

24

100









x

，

当50x时，

2

25

100



x

，且

2

21

21

1

100100100







x

xx

，

故当50x时，

2

100







x

均大于或等于25，且两两相异，

故集合A中的元素的个数为2510050176.

点睛：

本题考查集合中元素的个数，注意根据前后项差的关系来合理分类讨论，本题计算较为繁

琐，为较难题.

2．用描述法表示下列集合：

（1）比1大又比10小的实数组成的集合；

（2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；

（3）被3除余数等于1的正整数组成的集合．

答案：（1）xR|10}；（3）x|x＝3n＋1，nN}.

解析：根据描述法的表示形式，（1）（3）都用x表示元素，再根据条件写出x满足的条

件，从而表示出这两个集合，而（2）中的元素用（x，y）表示，表示点，然后写出x，y满

足的条件，即可表示出该集合．

详解：

解：（1）xR|1

（2）集合的代表元素是点，用描述法可表示为(x，y)|x<0，且y>0}；

（3）x|x＝3n＋1，nN}．

3．已知*,abN，现规定：





,

*

,

abab

ab

abab

















与同为奇数或同为偶数

与一个为奇数，一个为偶数

，集合

*(,),{|*36,}ababaMbN.

（1）用列举法表示a与b一个为奇数，一个为偶数时的集合M；

（2）当a与b同为奇数或同为偶数时，集合M中共有多少个元素？

答案：（1）

{(1,36),(3,12),(4,9),(9,4),(12,3),(36,1)}M

（2）35个元素

解析：(1)由题意得出36ab，然后一一列举出一个奇数和一个偶数的组合

,ab，即可得出

集合M；

(2)由题意得出36ab，然后一一列出同为奇数或同为偶数的组合

,ab，进而得出集合M中

元素的个数.

详解：

解析（1）当a与b一个为奇数，一个为偶数时，集合M中的元素(,)ab满足36ab，*,abN.

∵13636，31236，3694，9436，12336，36136，

∴当a与b一个为奇数，一个为偶数时，

{(1,36),(3,12),(4,9),(9,4),(12,3),(36,1)}M

.

（2）当a与b同为奇数或同为偶数时，集合M中的元素(,)ab满足36ab，*,abN.

∵13536，23436，33336，……，34236，35136，

∴当a与b同为奇数或同为偶数时，集合M中共有35个元素.

点睛：

本题考查了新概念的应用，借助于新概念考查了集合列举法的应用，属于一般难度的题.

4．已知等差数列



n

a

的公差

0,d，数列



n

b满足

sin

nn

ba，集合|,

n

SxxbnN.

（1）若

1

2

0,

3

ad



，求集合S；

（2）若

12

a



，求d使得集合S恰好有两个元素；

（3）若集合S恰好有三个元素：nTn

bb



，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值.

答案：（1）

33

,0,

22

S













；（2）

2

3

d



或d；（3）3,4,5,6T

解析：（1）根据正弦函数周期性的特点，可知数列



n

b周期为3，从而得到S；（2）S恰好

有两个元素，可知

13

bb或者

23

bb，求解得到d的取值；（3）依次讨论

3,4,5,6,7T

的情况，

当3,4,5,6T时，均可得到符合题意的集合S；当7T时，对于1,2,3k，均无法得到符合题意

的集合S，从而通过讨论可知3,4,5,6T.

详解：

（1）

1

0a

，

2

3

d





2

2

3

a



，

3

4

3

a



，4

2a

1

sin00b

，

2

23

sin

32

b



，

3

43

sin

32

b



，4

0b

由周期性可知，

n

b

以3为周期进行循环

33

,0,

22

S













（2）

1

sin1

2

b



，2

sin

2

bd











，

3

sin2

2

bd











S恰好有两个元素

sinsin2

22

d











或sinsin2

22

dd











即22d或22

22

dd





d或

2

3

d





（3）由S恰好有3个元素可知：3T

当3T时，

3nn

bb



，集合



123

,,Sbbb，符合题意；

当

4T

时，4nn

bb



，

sin4sin

nn

ada

42

nn

adak或42

nn

adka

因为



n

a

为公差0d的等差数列，故42

nn

adak

2

k

d





又d，故

1,2k

当1k时，如图取

1

0a

，

0,1,1S，符合条件

当5T时，

5nn

bb





，

sin5sin

nn

ada

52

nn

adak或52

nn

adka

因为



n

a

为公差0d的等差数列，故52

nn

adak

2

5

k

d





又d，故

1,2k

当1k时，如图取

110

a



，

3

sin,1,sin

1010

S











，符合条件

当6T时，

6nn

bb





，

sin6sin

nn

ada

62

nn

adak或62

nn

adka

因为



n

a

为公差0d的等差数列，故62

nn

adak

3

k

d





又d，故1,2,3k

当1k时，如图取

1

0a

时，

33

,0,

22

S













，符合条件

当7T时，

7nn

bb





，

sin7sin

nn

ada

72

nn

adak或72

nn

adka

因为



n

a

为公差0d的等差数列，故72

nn

adak

2

7

k

d





又d，故1,2,3k

当1k时，因为127

,,,bbb对应3个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有2

mn

aa，

即



2

2,mndd

mn







，即

22

=

7mn





，7,7mnm,不符合条件；

当2k时，因为127

,,,bbb对应3个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有2

mn

aa，

即



2

2,mndd

mn







，即

24

=

7mn





，mn不是整数，故不符合条件；

当3k时，因为127

,,,bbb对应3个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有2

mn

aa或

4

若



2

2,mndd

mn







，即

26

=

7mn





，mn不是整数，

若



4

4,mndd

mn







，即

46

=

7mn





，mn不是整数，

故3k不符合条件；

综上：3,4,5,6T

点睛：

本题考查三角函数、数列、函数周期性的综合应用问题.解题的难点在于能够周期，确定等量

关系，从而得到d的取值，再根据集合S的元素个数，讨论可能的取值情况，通过特殊值确

定满足条件的T；对于无法取得特殊值的情况，找到不满足条件的具体原因.本题对于学生的

综合应用能力要求较高，属于难题.

5．设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若xS，则10xS．

（1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个；

（2）是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理

由；

（3）满足条件的集合S总共有多少个？

答案：（1）答案见详解；（2）存在，且共有4个，答案见详解；（3）31个.

解析：（1）当集合S中只有一个元素，则10xx，得出集合S即可；有两个元素时，只需

两个元素之和为10即可；当有三个元素时，只需其中两个元素之和为10，另外一个元素为

5；

（2）只需选3对和为10的正整数即可；

（3）集合S中元素的个数可以为1，2，3，4，5，

6

，7，8，9个，先计算出当集合S的

元素个数为偶数时S的个数，同理可得S中元素个数为奇数的个数，然后则可得出符合条件的

S的总个数.

详解：

解：（1）若集合S中只有一个元素，则只需满足10xx，故

5x

，则5S

；

若集合S中有两个元素，则1,9S

符合条件；

若集合S中有三个元素，则1,5,9S

符合条件.

（2）存在，一共有四个：

1,2,3,7,8,9S

或1,2,4,6,8,9S

或1,3,4,6,7,9S

或2,3,4,6,7,8S

.

（3）由题意可知，集合S中元素的个数可以为1，2，3，4，5，

6

，7，8，9个，

当集合S中元素的个数为偶数时：

S含有2个元素时，只需在

1,9

，

2,8

，

3,7

，

4,6

这四对中任选一对，则S共有4个；

S含有4个元素时，只需

1,9

，

2,8

，

3,7

，

4,6

这四对中任选两对，则S共有6个；

S含有

6

个元素时，只需

1,9

，

2,8

，

3,7

，

4,6

这四对中任选三对，则S共有4个；

S含有8个元素时，则S共有1个，

所以当集合S中元素的个数为偶数时，满足条件的集合S共有15个，

同理可知，当S中元素个数分别为

3,5,7,9

时，符合条件的集合S也为15个；

由（1）可知，当S中只有一个元素时，S只有一个，

综上所述，符合条件的S共有31个.

点睛：

本题考查集合的新定义问题，考查学生获取新知识、应用新知识的能力，理解题意是关键.