什么叫平行线

授课主题之

袁州冬雪创

作

平行线

讲授目标

1.懂得平行线的概念，掌握平行公理及其推论；

2.掌握平行线的断定方法及性质，并能停止简单的推理

3.掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命

题，能找出它的题设和结论；

讲授重点

平行线的断定及性质

讲授内容

【知识梳理】

要点一、平行线

1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．

要点诠释：

(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不成；

(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交其实不料味着它们

就平行．

(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属

于上述任何一种位置关系．

2．平行公理：颠末直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那末这两条直线也互相平行．

要点诠释：

(1)平行公理特别强调“颠末直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．

(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．

（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.

要点二、直线平行的断定

断定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵∠3＝∠2

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

断定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵∠1＝∠2

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

断定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：

∵∠4＋∠2＝180°

∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

要点诠释：平行线的断定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.

要点三、平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3：两直线平行，同旁内角互补.

要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切

不成忽视前提“两直线平行”．

(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的断定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．

要点四、两条平行线的间隔同时垂直于两条平行线，而且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条

平行线

的间隔．

要点诠释：

（1）求两条平行线的间隔的方法是在一条直线上任找一点，向另外一条直线作垂线，垂线段的长度就是

两条平行线的间隔．

(2)两条平行线的位置确定后，它们的间隔就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的

间隔处处相等．

要点五、命题、定理、证明

1.命题：断定一件事情的语句，叫做命题．要点诠释：

（1）命题的布局：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事

项.

（2）命题的表达形式：“如果……，那末…….”，也可写成：“若……，则…….”

（3）真命题与假命题：

真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.

假命题：题设成立而不克不及包管结论一定成立的命题，叫做假命题.

2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，颠末推理证实得到的另外一个真命题，定

理也可以作为继续推理的依据.

3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要颠末推理，才干作出断定，这个推理过程叫做证明.

要点诠释：

（1）证明中的每步推理都要有根据，不克不及“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基

本领实、定理等.

（2）断定一个命题是正确的，必须颠末严格的证明；断定一个命题是假命题，只需罗列一个反例即可．

要点六、平移

1.定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的间隔，图形的这种移动叫做平移．

要点诠释：

（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的间隔．

（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.

2.性质：

图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的间隔，平移不改变线段、角的大小，详细

来讲：

（1）平移后，对应线段平行且相等；

（2）平移后，对应角相等；

（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；

（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.

【典型例题】

类型一、平行线

例1．下列说法正确的是()

A．不相交的两条线段是平行线.

B．不相交的两条直线是平行线.

C．不相交的两条射线是平行线.

D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

【答案】D

例2．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；

（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行.其中正

确的个数为：()

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【解析】正确的是：（1）(3).

【变式1】下列说法正确的个数是()

（1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d.

（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.

（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.

（4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那末这两直线平行．

A．1个B.2个C．3个D．4个

【答案】B

类型二、两直线平行的断定

例3.如图，给出下列四个条件：（1）AC＝BD；（2）∠DAC＝∠BCA；

（3）∠ABD＝∠CDB；（4）∠ADB＝∠CBD,其中能使AD∥BC的条件有（）.

A．（1）（2）B．（3）（4）C．（2）（4）D．（1）（3）（4）

【答案】C

【变式2】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度

可以是()

A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°

B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°

C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°

D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°

例4.如图所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试说明AB∥EF的来由．

解法1：如图所示，在∠BCD的外部作∠BCM＝25°，

在∠CDE的外部作∠EDN＝10°．

∵∠B＝25°，∠E＝10°(已知)，

∴∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN(等量代换)．

∴AB∥CM，EF∥DN(内错角相等，两直线平行)．

又∵∠BCD＝45°，∠CDE＝30°(已知)，

∴∠DCM＝20°，∠CDN＝20°(等式性质)．

∴∠DCM＝∠CDN(等量代换)．

∴CM∥DN(内错角相等，两直线平行)．

∵AB∥CM，EF∥DN(已证)，

∴AB∥EF(平行线的传递性)．

解法2：如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．

∵∠BCD＝45°，∴∠NCB＝135°．

∵∠B＝25°，

∴∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°(三角形的内角和等于180°)．

又∵∠CDE＝30°，∴∠EDM＝150°．

又∵∠E＝10°，

∴∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°(三角形的内角和等于180°)．

∴∠CNB＝∠EMD(等量代换)．

所以AB∥EF(内错角相等，两直线平行)．

【变式3】已知，如图，BE平分ABD，DE平分CDB，且1与2互余，试断定直线AB、CD的位置关

系，请说明来由．

解：AB∥CD，来由如下：

∵BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，

∴∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2．

又∵∠1+∠2＝90°，

∴∠ABD+∠CDB＝180°．

∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．

【变式4】已知，如图，ABBD于B，CDBD于D，1+2=180°，求证：CD//EF．

【答案】

证明：∵ABBD于B，CDBD于D，

∴AB∥CD．

又∵1+2=180°，

∴AB∥EF．

∴CD//EF．

类型三、平行线的性质

例5．如图所示，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°．那末你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?为什

么．

解：∵DE∥BC，

∴∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)．

∠2+∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．

∴∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．

又∵DF∥AB(已知)，

∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．

∴∠3＝115°(等量代换)．

【变式5】如图，已知

1234

//,//llll，且∠1=48°，则∠2＝，∠3＝，∠4＝.

【答案】48°，132°，48°

【变式6】如图所示，直线l

1

∥l

2

，点A、B在直线l

2

上，点C、D在直线l

1

上，若△ABC的面积为S

1

，

△ABD的面积为S

2

，则()

A．S

1

＞S

2

B．S

1

＝S

2

C．S

1

＜S

2

D．不确定

【答案】B

类型四、命题

例6．断定下列语句是不是命题，如果是命题，是正确的?还是错误的?

①画直线AB；②两条直线相交，有几个交点；③若a∥b，b∥c，则a∥

c；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果两个角不相等，那末这两个角不是对顶角．

【答案】①②不是命题；③④⑤⑥是命题；③④⑥是正确的命题；⑤是错误的命题．

【变式8】把下列命题改写成“如果……，那末……”的形式．

（1）两直线平行，同位角相等；

（2）对顶角相等；

（3）同角的余角相等.

【答案】

解：（1）如果两直线平行，那末同位角相等.

（2）如果两个角是对顶角，那末这两个角相等.

（3）如果有两个角是同一个角的余角，那末它们相等.

类型四、平移

例7．(湖南益阳)如图所示，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的

位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠CBE的度数为________．

【答案】30°

【变式9】(上海静安区一模)如图所示，三角形FDE颠末怎样的平移可以得到三角形ABC()

A．沿EC的方向移动DB长

B．沿BD的方向移动BD长

C．沿EC的方向移动CD长

D．沿BD的方向移动DC长

【答案】A

类型五、平行的性质与断定综合应用

例8、如图所示，AB∥EF，那末∠BAC+∠ACE+∠CEF＝()

A．180°B．270°C．360°D．540°

【答案】C

【解析】过点C作CD∥AB，

∵CD∥AB，

∴∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补)

又∵EF∥AB

∴EF∥CD．

∴∠DCE+∠CEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)

又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE

∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°

【课后作业】

一、选择题

1.下列说法中正确的有()

①一条直线的平行线只有一条．

②过一点与已知直线平行的直线只有一条．

③因为a∥b，c∥d，所以a∥d．

④颠末直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．如果两个角的一边在同一直线上，另外一边互相平行，则这两个角()

A．相等B．互补C．互余D．相等或互补

3．如图，可以断定DE∥BC的条件是()

A．∠DCE+∠DEC＝180°B．∠EDC＝∠DCB

C．∠BGF＝∠DCBD．CD⊥AB，GF⊥AB

4．一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那末这两次拐弯的角度

可以是()．

A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°．

B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°．

C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°．

D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°．

5．如图所示，下列条件中，不克不及推出AB∥CE成立的条件是()

A．∠A＝∠ACEB．∠B＝∠ACEC．∠B＝∠ECDD．∠B+∠BCE＝180°

6.(绍兴)学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张

半透明的纸得到的（如图，(1)—(4)）:

从图中可知，小敏画平行线的依占有（）

①两直线平行，同位角相等．②两直线平行，内错角相等．③同位角相等，两直线平行．

④内错角相等，两直线平行．

A.①②B.②③C.③④D.④①

二、填空题

7.在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可以是________．

8．如图，DF平分∠CDE，∠CDF＝55°，∠C＝70°，则________∥________．

9．规律探究：同一平面内有直线a

1

，a

2

，a

3

…，a

100

，若a

1

⊥a

2

，a

2

∥a

3

，a

3

⊥a

4

…，按此规律，a

1

和a

100

的

位置是________．

10．已知两个角的双方分别平行，其中一个角为40°，则另外一个角的度数是

11．直线

l

同侧有三点A、B、C，如果A、B两点确定的直线

l

与B、C两点确定的直线

l

都与

l

平行，

则A、B、C三点，其依据是

12.如图，AB⊥EF于点G，CD⊥EF于点H，GP平分∠EGB，HQ平分∠CHF，则图中互相平行的直线

有．

三、解答题

13.如图，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB∥EF，∠4应为多少度?说明来由．

14．小敏有一块小画板(如图所示)，她想知道它的上下边沿是否平行，而小敏身边只有一个量角器，你能

帮忙她处理这一问题吗?

15．如图，把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝20°，那末∠BAF为多少度时，才干使

AB′∥BD?

16．如图所示，由∠1＝∠2，BD平分∠ABC，可推出哪两条线段平行，写出推理过程，如果推出另两条

线段平行，则应将以上两条件之一作如何改变?

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】A

【解析】只有④正确，其它均错．

2.【答案】D

3.【答案】B

【解析】内错角相等，两直线平行．

4.【答案】B

5.【答案】B

【解析】∠B和∠ACE不是两条直线被第三条直线所截所得到的角．

6.【答案】C

【解析】处理本题关键是懂得折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，过点P的折痕与虚线垂

直．

二、填空题

7.【答案】0或1或2或3个；

8.【答案】BC，DE；

【解析】∠CFD＝180°－70°－55°＝55°，而∠FDE＝∠CDF＝55°，所以∠CFD＝∠FDE．

9.【答案】a

1

∥a

100

；

【解析】为了方便，我们可以记为a

1

⊥a

2

∥a

3

⊥a

4

∥a

5

⊥a

6

∥a

7

⊥a

8

∥a

9

⊥a

10

…∥a

97

⊥a

98

∥a

99

⊥a

100

，因

为a

1

⊥a

2

∥a

3

，所以a

1

⊥a

3

，而a

3

⊥a

4

，所以a

1

∥a

4

∥a

5

．同理得a

5

∥a

8

∥a

9

，a

9

∥a

12

∥a

13

，…，接着这样

的规律可以得a

1

∥a

97

∥a

100

，所以a

1

∥a

100

．

10.【答案】40°或140°

11.【答案】共线，平行公理；

【解析】此题考察是平行公理，它是论证推理的基础，应熟练应用．

12.【答案】AB∥CD，GP∥HQ；

【解析】

来由：∵AB⊥EF，CD⊥EF．∴∠AGE＝∠CHG＝90°．∴AB∥CD．

∵AB⊥EF．∴∠EGB＝∠2＝90°．∴GP平分∠EGB．

∴∠1＝

1

2

EGB＝45°．

∴∠PGH＝∠1+∠2＝135°．

同理∠GHQ＝135°，∴∠PGH＝∠GHQ．

∴GP∥HQ．

三、解答题

13.【解析】

解：∠4＝100°．来由如下：

∵∠1＝60°，∠2＝60°，

∴∠1＝∠2，∴AB∥CD

又∵∠3＝∠4＝100°，

∴CD∥EF，∴AB∥EF．

14．【解析】

解：如图所示，用量角器在两个边沿之间画一条线段MN，用量角器测得∠1＝50°，

∠2＝50°，因为∠1＝∠2，所以由内错角相等，两直线平行，可知画板的上下边沿是平行的．

15.【解析】

解：要使AB′∥BD，只要∠B′AD＝∠ADB＝20°，

∠B′AB＝∠BAD+∠B′AD＝90°+20°＝110°．

∴∠BAF＝

1

2

∠B′AB＝

1

2

×110°＝55°．

16．【解析】

解：可推出AD∥BC．∵BD平分∠ABC(已知)．

∴∠1＝∠DBC(角平分线定义)．

又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠2＝∠DBC(等量代换)．

∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．

把∠1＝∠2改成∠DBC＝∠BDC．