质数是什么意思

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质数Primenumbers

定义Definition

只能被1和它自己整除，且大于1的自然数是质数（也叫素数）。(也可定义

为包含1和它本身的因子数等于2)

衍生合数的定义：比1大但不是素数的自然数就是合数。

这里我们可以进行自然数集的另外一种划分，{自然数}={1}∪{素数}∪{合

数}（符号∪表示并集的意思，{}表示集合Set）

1和0既非素数也非合数。素数在数论中有着很重要的地位。

注意：

从定义可以看出，1既不是质数，也不是合数。0也不是质数或合数。

2是最小的质数，也是唯一的偶数质数（双数），其他素数都是奇数（单数），

也称为最奇怪的质数（theoddestprime）。

素数有无限多个，所以不存在最大的素数。

除2以外的所有偶数是合数，除2以外的所有质数是奇数。

每个合数可以分解成几个质数的乘积，这个过程叫做分解质因数。这些质数

叫做这个合数的质因数。如：12=2x2x32008=2x2x2x251

质数表（可以用电脑编程得出，筛选法可以求出1000以内的素数）：

23579

359616771

7379838997113

93167173

33227229

2332392469271277281

283293331337347349

353359367373379383389397401409

4439443449457461463

467479487491499541

5475575635695799601

6353659

6691733

7397437573787797809

8829839853857859863

8778841

9479539679797

扩展

1.目前已知最大的素数是梅森素数2^43112609-1（位数为12978189）

2.如何检验正整数N是否为素数，方法：试除法，用所有小于等于根号N的素

数去试除，若都无法整除，则可以检验出N为素数。

3.[k,2k]之间必定存在一个素数（K为大于2的自然数）

4.一个偶数=一个素数+由5个因子组成的合数（简称1+5，1968年中国潘承洞）

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2

5.一个充分大的偶数=一个素数+一个最大由2个质因子所组成的合数，简称1+2，

中国陈景润，1966年

6.哥德巴赫猜想：是否每个大于2的偶数都可以写成2个素数之和？（未证明）

a)还有一种描述：凡大于4的偶数，都是两个奇（ji）素数之和。

b)举例20=1+19=3+17=5+15=7+13=9+11(共5个奇数对)，满足猜想的有2

对，3+17和7+13

7.现在已成功用电脑计算出在10^23之下有1,925,320,391,606,803,968,923个

质数。

8.回文质数：2,3,5,7,11,101，131,151,181,191,313,353,373,383,727,757,

787,797,919,929,10301,10501,10601,11311,11411,12421,12721,12821,

13331,13831,13931,14341,14741

素数的应用

在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数最好设计成素数，以增加两齿轮

内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。

在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上，杀虫剂的素数次数的使用也得到了

证明。实验表明，素数次数地使用杀虫剂是最合理的：都是使用在害虫繁殖的高潮期，而且

害虫很难产生抗药性。

习题

1.全体非零的自然数按约数的个数分()

A质数和合数B奇数和偶数C质数,合数和1D上面三种分法都不对

2判断题

1).一个非零的自然数不是质数，就是合数（）

2).一个数的倍数一定大于它的约数（）

3).两个质数的积一定是合数（）

4).一个长方体（不含正方体）最多有8条棱相等（）

5).大于2的偶数都是合数（）

3.填空题：已知a，b，c都是正整数，且abc=2008，则a+b+c的最小值是

2008=2x2x2x251

4.有四个自然数相加为1287，要使它们的公约数最大，求这四个数中最大的那个数是几？

由于1287＝3×3×11×13＝（0＋1＋2＋6）×11×13所以所求的数是6×11×13

注意：最新初中一年级教材中明确了0也是自然数。

5.乘积为-240的不同的5个整数的平均值最大是（）

（A）17/5（B）18/5（C）7（D）9

【解答】-240=-1x2x2x2x2x3x5,五个整数的平均值最大，必须负数尽量大，且有一个负

数，4个正数。可以知道这5个数是-1,1，2,3,40.平均值为（D）

特别要注意1和-1也是不同的整数。

6.所有以质数p为分母的最简真分数的和记为m，所有以质数q为分母的最简真分数的和

记为n，若mn=48，求m+n的可能值。

【解答】由题意知：m=1/p+2/p+…+(p-1)/p=[1+2+3+…+(p-1)]/p=[(p-1)p/2]/p=(p-1)/2,

同理可得n=(q-1)/2,又mn=48，所以(p-1)(q-1)=48*2*2=2^6*3,

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3

如果p=q，则左边为一个整数的平方，右边因为有3这个约数，不可能是某个整数的平方，

所以得知p、q不相等。假定p>q,而右边2^6*3有如下几种可能：(由对称性，我们只列出

前面的数大于后面的数的情况)

192*1,96*2,64*3,48*4,32*6,24*8,16*12

(p,q)可能的组合（193,2）（97,3）（65,4）（33,7），（25,9），（17,13）。但是p，q都是质

数。所以只能是（193,2）（97,3）（17,13）

m+n=(p-1)/2+(q-1)/2,可能值为3三个：96又1/2，49,14