代数余子式

第二讲行列式、矩阵

教学目的：

1.举例介绍行列式的一些常用算法；重点是常用算法的掌握；

2.介绍Cramer法则及其推论；

3.为“矩阵”开个头；

教学内容；

第一章行列式

§1.3行列式按行（列）展开；

§1.4Cramer法则

第二章矩阵

§1.1矩阵的概念

教材相关部分：

§1.3行列式按行（列）展开

一、余子式与代数余子式

定义1.4在

n

阶行列式

nnnn

n

n

n

aaa

aaa

aaa

D









21

22221

11211

中任取一个元素

ij

a，划去

ij

a所在的第i

行、第j列，剩下的那个1n阶行列式

nnnjnjn

nijijii

nijijii

njj

ij

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

M













111

1111111

1111111

1111111











),,2,1,(nji

，（1.12）

称为元素

ij

a

的余子式。记

ij

ji

ij

MA)1(，称为元素

ij

a

的代数余子式。

例1.8在

963

852

741

D中，元素

12

4a的余子式是6

93

82

12

M，而它的代数余子

式是

6)6()1(

12

21

12

MA。

引理如果

n

阶行列式D的第i行除

ij

a

外的其余元素都为零，则这个行列式等于

ij

a

与其代数

余子式

ij

A

的乘积，即

ijij

AaD

。

证先证最简单的情况：设

nnnn

n

aaa

aaa

a

B









21

22221

11

00

，

这是例1.6中1k时的情况，由例1.6的结论，即有

1111

MaB。又因

1111

11

11

)1(MMA，

故得

1111

AaB。

再证一般的情况：设D的第i行除

ij

a外的其余元素都为零：

nnnjn

ij

nj

aaa

a

aaa

D











1

1111

00



将D的第i行依次与上面的1i行逐行对换，再将第j列依次与左面的1j列逐列对调，共经

11ji次对调，将

ij

a调到了第1行第1列的位置上，所得的行列式记为D



，则

DDDjiji



)1()1(2，

而

ij

a在D



中的余子式仍然是

ij

a在D中的余子式

ij

M。利用已证的结果有

ijij

MaD



，因此

ijijijij

jijiAaMaDD



)1()1(。◆

定理1.3

n

阶行列式D的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，等于D

的值，即





n

k

ikikininiiii

AaAaAaAaD

1

2211



),,2,1(ni，

或





n

k

kjkjnjnjjjjj

AaAaAaAaD

1

2211



),,2,1(nj。(1.13)

证任选D的第i行，把该行元素都写作

n

个数之和：



nnnn

inii

n

aaa

aaa

aaa

D











21

21

11211





nnnn

inii

n

aaa

aaa

aaa











21

21

11211

000000

nnnn

i

n

aaa

a

aaa











21

1

11211

00

+

nnnn

i

n

aaa

a

aaa











21

2

11211

00+

nnnn

in

n

aaa

a

aaa













21

11211

00

，

由引理即得







n

k

ikikininiiii

AaAaAaAaD

1

2211



),,2,1(ni。

这称为“按第i行展开”，按第j列展开可类似证明，即







n

k

kjkjnjnjjjjj

AaAaAaAaD

1

2211



),,2,1(nj。◆

这个定理称为行列式按一行（列）展开法则。它为行列式计算提供了又一种思路：将

n

阶行列式的

计算化为1n阶行列式的计算，这称为降阶。

例1.9设

1111

1111

1111

1

)(

32

4









xxx

xD，求其展开式中2x项的系数。

解：将)(

4

xD按第一行展开：

14

3

13

2

12114

1)(AxAxAxAxD，

则可见2x项的系数为2x的代数余子式4

111

111

111

)1(31

13









A。

例1.10计算n阶行列式

a

a

a

a

aa

aa

D

n

2

1

2

0

0

0

0

0

0

00210

0021

0002

2

2

2















解法一：按第一列展开：

2

2

1

2

2

21

2

2

112

2100

200

0021

000

)1(

2100

200

0021

002

2)1(





nnn

DaaD

a

aa

a

a

a

aa

a

aa

aD





















便得到一个递推公式：

2

2

1

2





nnn

DaaDD。

但用此式较难递推，将其变形为：

)(

211



nnnn

aDDaaDD

。

用此公式递推可得：

)()(

12

2

32

2

1

aDDaaDDaaDDn

nnnn





＝＝

。

而2

2

3aD

，aD2

1

，故首先递推得：





nn

nn

aaaaaDD)23(222

1

1



n

n

n

aDaD。

由此再作递推：







2

2

2

12)(

n

n

n

nn

n

DaaaDaaaD

nnnnnanaaanDaan)1(2)1()1(1

1

1。

解法二：得到递推公式

2

2

1

2





nnn

DaaDD

后，用数学归纳法。易见

1

1

)11(2aaD；22

2

2

)12(3

21

2

aa

a

aa

D。

假设1

1

]1)1[(



n

n

anD，2

2

]1)2[(



n

n

anD，

则得

nnn

nnn

anananaaDaaDD)1(])1[()(22221

2

2

1





。

例1.11证明范得蒙)(MondeDeVan行列式：









nij

ji

n

n

nnn

n

n

n

xx

xxxx

xxxx

xxxx

V

1

11

3

1

2

1

1

22

3

2

2

2

1

321

)(

1111











其中)())(())()(()

121231312

1





nnnn

nij

ji

xxxxxxxxxxxxxx（。

证用数学归纳法：当2n时，)(

11

21

12

21

ji

ij

n

xxxx

xx

V



，等式成立。假设

等式对1n阶范得蒙行列式成立，即







11

1

)(

nij

jin

xxV。则对n阶范得蒙行列式：

)()()(0

)()()(0

0

1111

1

2

13

2

312

2

2

1133122

11312

2,,1,

11

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxx

V

n

n

n

nn

nn

n

rxr

nni

n

ii



























按第一列

1

c展开并提取公因子，得

22

3

2

2

32

11312

111

)())((





n

n

nn

n

nn

xxx

xxx

xxxxxxV









。

后面的行列式是一个1n阶范得蒙行列式

1n

V，由归纳假设可写作







nij

jin

xxV

2

1

)(，代入上

式便得





nij

ji

nij

ji

n

i

in

xxxxxxV

122

1

)()()(。

定理1.4行列式某一行元素与另一行对应元素的代数余子式之积的和等于零，即







n

j

kjijkninkiki

AaAaAaAa

1

2211

0

)(ki(1.14)

证





nnnn

inknikik

inii

n

ik

nnnn

knkk

inii

n

aaa

aaaaaa

aaa

aaa

rr

aaa

aaa

aaa

aaa

D

















21

2211

21

11211

21

21

21

11211











n

j

n

j

n

j

kjijkjkjkjij

knknkkkninkiki

knkninkkikki

DAaAaAa

AaAaAaAaAa

AaaAaaAaa

111

112211

222111

)()()(





故

0

1





n

j

kjij

Aa

)(ki。◆

结合定理1.3和定理1.4，可得拉普拉斯)(Laplace定理：















kiif

kiifD

DAa

ik

n

j

kjij,0

,

1

、(1.15)















kjif

kjifD

DAa

jk

n

i

ikij,0

,

1

，(1.16)

其中，













ki

ki

ik,0

,1

，称为克龙纳克尔（Kronecker）函数。

例1.12设

9734

5020

7314

1111









D，求



4

1

4

j

j

A。

解：本例可以按代数余子式的定义计算，但较繁。可以利用定理1.4：

28

020

314

111

202)1(111

4444434241

4

1

4









AAAAAA

j

j

。

§1.4克莱默（Cramer）法则

一、Cramer法则

考察二元线性方程组











2222121

1212111

bxaxa

bxaxa

（1.17）

用消去法来求解，若消去

2

x，便得

2211

)(ababxaaaa；

若消去

1

x，则得

2211

)(ababxaaaa；

当0

21122211

aaaa时，便有解

21122211

122221

1aaaa

abab

x





，

21122211

211112

2aaaa

abab

x





。（1.18）

用行列式记，上式可表为：

2221

1211

222

121

1

aa

aa

ab

ab

x，

2221

1211

221

111

2

aa

aa

ba

ba

x，记作：

D

D

x1

1

、

D

D

x2

2

，其中

2221

1211

aa

aa

D，其元素恰是各变元的系数，称为系数行列式；而

1

D、

2

D恰是以等号右端的常数

分别替换系数行列式的第一、二列所得的行列式。

学习了行列式计算之后，这种直接用方程组的有关行列式之比来解方程的方法，还可以推广到

一般的方形方程组：

定理1.5（Cramer法则）设线性方程组，





















nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa









2211

22222121

11212111

（1.19）

其系数行列式

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

D









21

22221

11211

，用常数向量































n

b

b

b



2

1

替换D的第j列所得的n阶行列式

记作

j

D，即

nnjnnjnn

njj

njj

j

aabaa

aabaa

aabaa

D









1,1,1

21,221,221

11,111,111







,（nj,,2,1）。（1.20）

若0D，则线性方程组存在唯一解：,,,,2

2

1

1D

D

x

D

D

x

D

D

xn

n

(1.21)

证先证n,1,2,j

D

D

xj

j

是方程组的解：将

j

D按第j列展开得





n

k

kjkj

AbD

1

，

然后将

D

Ab

x

n

k

kjk

j



1n,1,2,j代入方程组中第i个方程的左边得：

iiik

n

k

k

n

j

kjij

n

k

k

n

k

kjk

n

j

ij

n

j

j

ij

bDb

D

Db

D

Aab

D

Aba

DD

D

a



1111

111111

，

由i的任意性知，),,2,1(nj

D

D

xj

j

确是线性方程组的解。

再证唯一性：设

n

xxx,,,

21

是方程组的任一组解，取

1

x乘系数行列式D，由行列式的性质，

有

nnnnnnn

nnn

nnn

nnnn

n

n

aaxaxa

aaxaxa

aaxaxa

n

i

i

c

i

xc

aaxa

aaxa

aaxa

Dx

















211

2222121

1121111

211

222121

112111

1

2

1













＝

＝

1

2

2222

1121

D

aab

aab

aab

nnnn

n

n











同理可证

jj

DDx

，由0D，得),,2,1(,nj

D

D

xj

j

。◆

例1.13已知三次曲线3

3

2

210

)(xaxaxaaxfy在四个点1x，2x处的值

6)2()1()1(fff，6)2(f。试求系数

3210

,,,aaaa。

解将在四个点处的值代入)(xfy，即得关于

3210

,,,aaaa的线性方程组

6)2()2()2()1(

6222)2(

6)1()1()1()1(

6)1(

3

3

2

2

10

3

3

2

2

10

3

3

2

2

10

3210









aaaaf

aaaaf

aaaaf

aaaaf

其系数行列式是

32

32

32

)2()2(21

2221

)1()1(11

1111





V，转置得

333

222

)2(2)1(1

)2(2)1(1

2211

1111







V，

是一个四阶范得蒙行列式，得

072)22)(12)(12)(12)(12)(11(V。

于是由克莱默法则知，方程组有唯一解

)3,2,1,0(,j

D

D

aj

j

，此即三次曲线的系数。为求

出它们的数值，再分别计算：

576

8426

8426

1116

1116

0











D，72

8461

8461

1161

1161

1











D，

144

8621

8621

1611

1611

2











D72

6421

6421

6111

6111

3











D，

故

1,2,1,8

3210

aaaa，于是所求三次曲线为

3228)(xxxxfy

。

上述解题过程可推而广之：过1n个横坐标不同的点

),(

ii

yx（ni,,1,0），可以唯一地确

定一条

n

次曲线的方程n

n

xaxaay

10

，这在工程上称为代数插值法，是所谓“曲线拟

合方法”的一种，这个方程就称为插值方程。

定理1.5（Cramer法则）的逆否命题是：

定理1.6如果线性方程组（1.15）无解或解不唯一，则它的系数行列式一定为零。

二、齐次线性方程组

如果线性方程组（1.15）的常数项

n

bbb,,,

21

都等于零，即为零向量，则称线性方程

组





















0

0

0

2211

2222121

1212111

nnnnn

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa









（1.22）

称为齐次线性方程组。利用克莱默法则容易得到下面的定理：

定理1.7若齐次方程组（1.22）的系数行列式0D，则它只有唯一零解。

其逆否命题是：

定理1.8若齐次方程组（1.22）有非零解，则它的系数行列式一定为零。

例1.14设

















kxzyx

kyzyx

kzzyx

32

234有非零解，求k的值。

解将方程组改写为



















032)1(

02)3(4

01

zyxk

zykx

zkyx

，

因方程组有非零解，所以由定理1.8得：

061

321

234

111









kkk

k

k

k

所以，60,,1k.

Cramer法则只能应用于方形的方程组，且系数行列式不能为零。在计算时需要计算1n个

n

阶的行列式，当

n

较大时计算量通常很大。因此Cramer法则的主要意义是在理论上，它明确指出

了方程组的解与系数之间的关系，并给出了一种新颖的“块状处理”的模式。

第二章矩阵

§2.1矩阵的概念

前一章的Cramer法则适用范围很有限，若线性方程组不是方形的或其系数行列式等于零，

Cramer法则便不能用了，但它的那种集成化处理的思想方法还是可以借鉴的。由此可以引向线性

代数更重要的概念——矩阵。矩阵是许多学科使用频率很高的一个集成化的数学工具，凡涉及到多

个方面相互关联的多元数量关系，往往可用矩阵来进行整体描述和处理。

本章主要学习矩阵的基本代数运算——加法、数乘、乘法、转置、（方阵）取行列式、（可逆矩

阵）求逆，以及矩阵的分块及分块矩阵的基本代数运算。还要学习矩阵的初等变换及其初步应用。

一、矩阵的定义

定义2.1由

nm

个数

),,2,1;,,2,1(njmia

ij



排成

m

行、

n

列，并加上括号，这样

所形成的数表：





























mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa









21

22221

11211

（2.1）

称为一个

m

行

n

列矩阵，简称

m



n

矩阵，通常记为A或

nm

A



。有时也记作

)(

ij

aA或

nmij

aA



)(，其中

ij

a称为矩阵A的(第i行、第j列的)元素。

m



n

称为矩阵的规格。

例如，给出线性方程组























28

35423

24222

13

54321

54321

54321

5321

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxx

其系数可组成一个4×5矩阵







































81111

54123

42122

30111

A。

称为该方程组的系数矩阵。在A的基础上再添上线性方程组的一列常数，得一4×6矩阵







































281111

354133

242122

130111

~

A，

称为该方程组的增广矩阵。

二、一些常用的特殊矩阵

nm

个元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为

nm

O



。

只有一行的矩阵称为行矩阵：

),,,(

21n

aaaA，(2.2)

只有一列的矩阵称为列矩阵：































m

b

b

b

B



2

1

，(2.3)

行数等于列数（即

nm

）的矩阵称为

n

阶方阵。下面是几种特殊的方阵：

若ji时

0

ij

a，即































nnnn

aaa

aa

a

A





21

2221

11

，(2.4)

则称A为

n

阶下三角矩阵。

若ji时

0

ij

a，即































nn

n

n

a

aa

aaa

A







222

11211

，(2.5)

则称A为

n

阶上三角矩阵。

若ji时

0

ij

a，即























nn

a

a

A

11

，(2.6)

则称它为对角矩阵，它既是上三角阵，也是下三角阵，可以记作

),,(

11nn

aadiagA。

若A为

n

阶对角矩阵，且主对角元素全相等，即



























，(2.7)

则称为

n

阶数量矩阵。

特别地，若1，即























1

1

E，(2.8)

则称E为

n

阶单位矩阵。

当且仅当

)(

ij

aA，)(

ij

bB是同规格矩阵（即行数相等、列数也相等）、且所有元素也对应

相等（即

njmiba

ijij

,,2,1;,,2,1，

）时，矩阵A与矩阵B相等，记作BA。