相对论公式

--.

--考试资料.

狭义相对论几个公式公式推导

福建省永春县东关中心小学陈金江

运动物体的长度缩率公式和不同点上的时刻公式推导

爱因斯坦曾假设：“在真空中，光的传播速度相对任何参照系都

一样：不论发光体的运动速度如何，也不论光接受体的运动速度如

何，光波相对它们的传播速度都是一样的。”否则，我们观察到遥远

的恒星（特别是双星）将会发生十分混乱的现象。

根据这个假设，可以推导出：运动方向上长度的缩率和另参照

系看我参照系同时事件的情况的规律。

设在S系中看到两条等长线段AB和A’B’，它们分别在S参照系

和S’参照系。S和S’相对运动速度为v光秒/秒。并且在S参照

系看来：AB=A’B’=a光秒。如图所示：

图1

设A和A’相遇时，A和A’会发出闪光，或B和B’相遇时，

V光秒/秒

A

B

Q

P’

V光秒/秒

A（0秒）

B（0秒）

Q

S’系

S系

A’（t秒）B’（0秒）

S’系

S系

A’

B’

Q’

P’

--.

--考试资料.

A（0秒）

B（t

2

2

1

c

v

秒）

B和B’也会发出闪光。

我们在S系看来，由于AB=A’B’,所以A和A’与B和B’是同时

相遇的，所以它们同时发出闪光。光波将在AB中点Q相遇，在S’

系中光波也必在相应点Q’相遇（因为光波对S’系的传播速度和

S’运动无关）。

由于Q’点不在A’B’的中间，所以在S’系看来，两次闪光不是

同时的。因为B’发出的光波走的距离B’Q’比A’发出的光波走的距

离A’Q’多。因而是B’先闪光，A’后闪光。也就是B和B’先相遇，

A和A’后相遇。A’和B’的时刻在S’系看来是不同时的，而是B’

早，A’迟。

在S’系中，由于A、A’和B、B’不同时相遇，所以S’系看

到的两条段AB和A’B’也不相等。因为B、B’先相遇，所以必是

A’B’>AB。情况如图2所示：

t秒后

A（秒）B（0秒）

V光秒/秒

S’系

S系

A’（0秒）B’（0秒）

V光秒/秒

A’（t秒）

B’（t秒）P’

--.

--考试资料.

发出闪光时，A、A’的时刻数，B、B’的时刻数与在S系中看

到的是一样的。光波相遇点Q在AB中的位置比例，Q’在A’B’中的

位置比例和在S系中看到的一样，所以并不矛盾。

综上所述，在S系看来是同时的事件，相等的线段，而在S’

系中看来却是不同时，不相等的。那它们有什么规律呢？

在S系看来AB的长度为a光秒，而在S’系看来则缩短了，小

于a光秒。同样，在S系看来A’B’也是a光秒，其实也是缩小了的，

在S’系中看到的A’B’实际长度要大于a光秒。它们的缩率是相等的，

设为n。

由图1得，在S系中，从AB发光到光波相遇，两系已相对运

动了

c

av

2

光秒。也就是AB与A’B’的中点错开的距离P’Q’=

c

av

2

。（见图1）

由于S系系已把这距离缩短了，在S’系看来应是P’Q’=

cn

av

2

。所以

在S’系看来B’发出的光波比A’发出的光波多走了

cn

av

光秒。

假设S’系中看到B、B’相遇发出闪光后，再经过t秒，A、A’

才相遇发出闪光。则在S系看到的A’的时刻数应比B’的时刻数

V光秒/秒

S’系

S系

Q’

Q

图2

P’

--.

--考试资料.

多t秒。因此S’系认为B’发出的光波比A’发出的光波多ct光

秒。联系上面可列出方程：

cn

av

=ct(1)

由于运动方向上长度缩短，所以在S系中看到的AB=A’B’=a光

秒，而在S’系中则看到AB=na光秒，A’B’=

n

a

光秒。

由图2可得：

n

a

-an=vt(2)

联立（1）（2）可得方程组：

cn

av

=ct（1）

n

a

-an=vt（2）

化成：av=c2nt（3）

a-an2=vnt（4）

)3(

)4(

得：

v

n21

=

2c

v

得到长度缩率公式：

代入（1）得到不同点上的时刻公式（和运动方向相反，越往后

时刻数越多）：

n=

2

2

1

c

v



t=

2

2

2

1

c

v

c

v

a





--.

--考试资料.

运动物体上时间缩率公式公式推导

由运动上长度缩率公式可推导出时间缩率公式：设S’系中有

一点P，S系中有线段AB，S、S’系的相对速度是v光秒/秒。当P

遇A时，P和A时间的时刻数都是0秒，如图1所示：

在S系中，看到经过t秒后，P从A运动到B，AB=vt(光秒)，A

和B的时刻数都是t秒，P的时刻数是t’秒，如图2所示：

在S’系看到这一过程又是如何？S’系中看到P是不动的，A、

B在向右运动，由于运动方向上的线段长度缩短，所以在S’系中看

到AB=vt

2

2

1

c

v

光秒。P在0秒时刻时和A相遇，A的时刻数也是0

秒（如图3所示）。经过t’秒后，P和B相遇。P的时刻数是t’秒，B

的时刻数是t秒。（如图4所示）

S’系

P（0秒）

V光秒/秒

A（0秒）

S系

B（0秒）

图1

P（t’秒）V光秒/秒

S’系

S系

A（t秒）B（t秒）

图2

--.

--考试资料.

t’=

v

AB

=

v

c

v

-1vt

2

2

=t

2

2

1

c

v



在S系中，从P与A相遇到P与B相遇，经过了t秒钟，而看

到S’系中的P在0秒时刻与A相遇，与B相遇时，P上的时刻是t’

秒，即t

2

2

1

c

v

秒，比t秒钟缩小。所以时间的缩率也是：

2

2

1

c

v



即运动物体上的时间缩率公式是：

P（0秒）

A（0秒）B（秒）

图3

S’系

P（t’秒）

V光秒/秒

A（秒）

S系

B（t秒）

图4

t’=t

2

2

1

c

v



--.

--考试资料.

相对论速度合成公式的推导

由于在高速（与光速相比）运动时，运动物体上的长度与时间

发生了变化，因而不同参照系中速度的合成也不是简单的v1+v2就可

以的。

设有三个个惯性坐标系S1、S2、S3，我们在S2观察，S1向右运

动，S3向左运动，速度分别是v1、v2。某个时刻，三个系的A、B、C

三重合于一点，这三点的时刻数都为0秒，t秒后，情形如图1所

示。

t秒后

此时，tA=t

2

2

11

c

v



S1系V1

S2系

S3系

V2

A（0秒）

B（0秒）

C（0秒）

S1系V1

S2系

S3系

V2

A（t

A

秒）

B（t秒）

C（秒）

D（t秒）

E（t

E

秒）

图1

--.

--考试资料.

tE=t

2

2

21

c

v

+

2

2

2

2

2

21

1

)(

c

v

c

v

tvv





这个过程，如果我们在S3系观察，将会看到图2情形。

tE秒后

开始时，A、B、C重合于一点，时刻数都为0秒。C点不动，B

点以V2的速度向右运动，A点以更快的V合速度向右运动。

tE秒后，A点运动到S3系的E点处。此时，E点处的时刻数为tE

秒，而A点的时刻数为tA秒。（只有这样，才能和要S2系中看到的

情形相一致。）

根据tA、tE和V合的关系，可列出方程：

S1系V合

S2系

S3系

V2

A（0秒）

B（0秒）

C（0秒）

S1系

V合

S2系

S3系

V2

A（t

A

秒）

B（秒）

C（t

E

秒）

D（t秒）

E（t

E

秒）

图2

--.

--考试资料.

2

2

1

c

v

合=

E

A

t

t

=

2

2

2

2

2

21

2

2

2

2

2

1

1

)(

1

1

c

v

c

v

tvv

c

v

c

v

t









2

2

1

c

v

合=

2

2

221

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

11

c

vvv

c

v

c

v

c

v







2

2

1

c

v

合=

21

2

2

2

2

2

1

2))((

vvc

vcvc





两边平方得到：

1－

2

2

c

v

合=

2

2

2

1

2

21

4

2

2

2

1

2

2

2

2

1

4

2

)(

vvcvvc

vvcvvc





2

2

c

v

合=

2

2

2

1

2

21

4

2

2

2

2

1

2

21

2

)(2

vvcvvc

cvvcvv





v合

2=

4

2

2

2

1

2

21

2

2

2

121

21

2

c

vv

c

vv

vvvv





v合

2=

2

2

21

2

21

)1(

)(

c

vv

vv





得到速度合成公式：

v合=

2

21

21

1

c

vv

vv



