椭圆形面积计算公式

椭圆焦点三角形面积公式的应用

性质1(选填题课直接用，大题需论证):

在椭圆1

2

2

2

2



b

y

a

x

（

a

＞b＞0）中，焦点分别为

1

F

、

2

F

，点P是椭圆上任意一点，



21

PFF

，则

2

tan2

21



bS

PFF





.

证明：记

2211

||,||rPFrPF，由椭圆的第一定义得

.4)(,222

2121

arrarr

在△

21

PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22

21

2

2

2

1

crrrr

配方得：

.4cos22)(2

2121

2

21

crrrrrr

即

.4)cos1(242

21

2crra

.

cos1

2

cos1

)(2222

21









bca

rr

由任意三角形的面积公式得：

2

tan

2

cos2

2

cos

2

sin2

cos1

sin

sin

2

1

2

2

22

21

21



















bbbrrS

PFF

.

.

2

tan2

21



bS

PFF





同理可证，在椭圆1

2

2

2

2



b

x

a

y

（

a

＞b＞0）中，公式仍然成立.

典型例题

例1若P是椭圆1

64100

22



yx

上的一点，

1

F、

2

F是其焦点，且60

21

PFF，求

△

21

PFF的面积.

例2已知P是椭圆1

925

22



yx

上的点，

1

F、

2

F分别是椭圆的左、右焦点，若

2

1

||||

21

21





PFPF

PFPF

，则△

21

PFF的面积为（）

P

y

F1OF2x

P

A.

33

B.

32

C.

3

D.

3

3

例3（04湖北）已知椭圆1

916

22



yx

的左、右焦点分别是

1

F、

2

F，点P在椭圆上.若P、

1

F、

2

F是一个直角三角形的三个顶点，则点P到

x

轴的距离为（）

A.

5

9

B.

7

79

C.

4

9

D.

4

9

或

7

79

答案：

例1若P是椭圆1

64100

22



yx

上的一点，

1

F、

2

F是其焦点，且60

21

PFF，求

△

21

PFF的面积.

解法一：在椭圆1

64100

22



yx

中，,6,8,10cba而.60记.||,||

2211

rPFrPF

点P在椭圆上，

由椭圆的第一定义得：.202

21

arr

在△

21

PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22

21

2

2

2

1

crrrr

配方，得：

.1443)(

21

2

21

rrrr

.1443400

21

rr从而.

3

256

21

rr

.

3

364

2

3

3

256

2

1

sin

2

1

21

21





rrS

PFF

解法二：在椭圆1

64100

22



yx

中，642b，而.60

.

3

364

30tan64

2

tan2

21







bS

PFF

解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！

例2已知P是椭圆1

925

22



yx

上的点，

1

F、

2

F分别是椭圆的左、右焦点，若

2

1

||||

21

21





PFPF

PFPF

，则△

21

PFF的面积为（）

A.

33

B.

32

C.

3

D.

3

3

解：设

21

PFF，则

2

1

||||

cos

21

21







PFPF

PFPF

，.60

.3330tan9

2

tan2

21







bS

PFF

故选答案A.

例3（04湖北）已知椭圆1

916

22



yx

的左、右焦点分别是

1

F、

2

F，点P在椭圆上.若P、

1

F、

2

F是一个直角三角形的三个顶点，则点P到

x

轴的距离为（）

A.

5

9

B.

7

79

C.

4

9

D.

4

9

或

7

79

解：若

1

F或

2

F是直角顶点，则点P到

x

轴的距离为半通径的长

4

92



a

b

；若P是直角顶点，设

点P到

x

轴的距离为h，则945tan9

2

tan2

21







bS

PFF

，又,7)2(

2

1

21

hhcS

PFF





97h，.

7

79

h故答案选D.

金指点睛

1(略).椭圆1

2449

22



xy

上一点P与椭圆两个焦点

1

F、

2

F的连线互相垂直，则△

21

PFF的面积为

（）

A.20B.22C.28D.24

2.椭圆1

4

2

2

y

x

的左右焦点为

1

F、

2

F，P是椭圆上一点，当△

21

PFF的面积为1时，

21

PFPF

的值为（）

A.0B.1C.3D.6

3.椭圆1

4

2

2

y

x

的左右焦点为

1

F、

2

F，P是椭圆上一点，当△

21

PFF的面积最大时，

21

PFPF

的值为（）

A.0B.2C.4D.2

4．已知椭圆12

2

2

y

a

x

（

a

＞1）的两个焦点为

1

F、

2

F，P为椭圆上一点，且60

21

PFF，

则||||

21

PFPF的值为（）

A．1B．

3

1

C．

3

4

D．

3

2

5.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，

1

F、

2

F为焦点，点P在椭圆上，直线

1

PF与

2

PF倾

斜角的差为90，△

21

PFF的面积是20，离心率为

3

5

，求椭圆的标准方程.

6．已知椭圆的中心在原点，

1

F、

2

F为左右焦点，P为椭圆上一点，且

2

1

||||

21

21





PFPF

PFPF

，△

21

PFF

的面积是

3

，准线方程为

3

34

x，求椭圆的标准方程.

答案

1.解：24,902

21

bPFF

，2445tan24

2

tan2

21







bS

PFF

.

故答案选D.

2.解：设



21

PFF

，1

2

tan

2

tan2

21







bS

PFF

，90,45

2





，0

21

PFPF.

故答案选A.

3.解：3,1,2cba，设



21

PFF

，

2

tan

2

tan2

21







bS

PFF

，

当△

21

PFF

的面积最大时，为最大，这时点P为椭圆短轴的端点，120，

2120coscos||||2

2121

aPFPFPFPF.

故答案选D.

4．解：

60

21

PFF

，1b，

3

3

30tan

2

tan2

21







bS

PFF

，

又||||

4

3

sin||||

2

1

2121

21

PFPFPFPFS

PFF







，



3

3

||||

4

3

21

PFPF，从而

3

4

||||

21

PFPF

.

故答案选C.

5.解：设



21

PFF

，则90.2045tan

2

tan222

21





bbbS

PFF



，

又

3

522







a

ba

a

c

e

，



9

5

1

2

2



a

b

，即

9

520

1

2



a

.

解得：452a.

所求椭圆的标准方程为1

2045

22



yx

或1

2045

22



xy

.

6．解：设



21

PFF

，





120,

2

1

||||

cos

21

21

PFPF

PFPF

.

3360tan

2

tan222

21





bbbS

PFF



，1b.

又

3

342



c

a

，即

3

3

3

3

3411222









c

c

c

c

c

bc

.



3c或

3

3

c.

当3c时，222cba，这时椭圆的标准方程为

1

4

2

2

y

x

；

当

3

3

c时，

3

32

22cba，这时椭圆的标准方程为1

3

4

2

2

y

x

；

但是，此时点P为椭圆短轴的端点时，为最大，60，不合题意.

故所求的椭圆的标准方程为

1

4

2

2

y

x

.

性质二：有关角的问题

已知椭圆方程为),0(1

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

左右两焦点分别为,,

21

FF设焦点三角形

21

FPF，

若

21

PFF最大，则点P为椭圆短轴的端点。

问题1.椭圆1

49

22



yx

的焦点为Fl、F2，点P为其上一点，当

21

PFF为直角时，点P的横

坐标是_______。

问题2：椭圆1

49

22



yx

的焦点为Fl、F2，点P为其上动点，当

21

PFF为钝角时，点P横

坐标的取值范围是_______。

变式

1.已知

1

F、

2

F是椭圆的两个焦点，满足

12

0MFMF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值

范围是（）（09江西）

A．(0,1)B．

1

(0,]

2

C．

2

(0,)

2

D．

2

[,1)

2

问题1.椭圆1

49

22



yx

的焦点为Fl、F2，点P为其上一点，当

21

PFF为直角时，点P的横

坐标是_______。

方法1：设，则当时，点的轨迹方程为，由此可得的横坐标为

方法2：

利用性质一

2

tan2

21



bS

PFF





方法3：【分析】令|F1P|=m、|PF2|=6-m，

RtΔF1PF2中，由勾股定理可得m2+(6-m)2=20

问题2：椭圆1

49

22



yx

的焦点为Fl、F2，点P为其上动点，当

21

PFF为钝角时，点P横

坐标的取值范围是_______。

问题分解：

方法1：设，则当时，点的轨迹方程为，

由此可得的横坐标为，所以点P横坐标的取值范围是

方法2：利用性质一

2

tan2

21



bS

PFF





问题2.而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？

解题的关键在于点动，发现

21

PFF的大小与点P的位置有关，

究竟有何联系，成了大家探索的焦点。

变式

1.已知

1

F、

2

F是椭圆的两个焦点，满足

12

0MFMF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值

范围是（C）（09江西）

A．(0,1)B．

1

(0,]

2

C．

2

(0,)

2

D．

2

[,1)

2