正切函数的导数

函数导数公式及证明

函数类型原函数求导公式

常量函数()fxC，C为常量'()0fx

幂函数

()afxx

'1()aaxax

()()(1)...(1)ananxaaanx

(0,1,2...,1)an

()mfxx()

!

()

()!

mnmn

m

xx

mn





,()nm

指数函数

()xfxa

'ln()xxaaa

()()lnxnxnaaa,(01)a

()xfxe

'()xxee

()()xnxee

对数函数

()log

a

fxx

'

1

(log)

lna

x

xa



1

()

(1)(1)!

(log)

ln

n

n

a

n

n

x

xa



,(01)a

()lnfxx

'

1

(ln)x

x



1

()

(1)(1)!

(ln)

n

n

n

n

x

x





三角函数

()sinfxx

'(sin)cosxx

()(sin)sin()

2

n

n

xx





()cosfxx'(cos)sinxx

()(cos)cos()

2

n

n

xx





()tanfxx

'22

2

1

(tan)c1(tan)

cos

xxx

x



()cotfxx

'22

2

1

(cot)csc1(cot)

sin

xxx

x



反三角函数

()arcsinfxx

'

2

1

(arcsin)

1

x

x





()arccosfxx

'

2

1

(arccos)

1

x

x





()arctanfxx

'

2

1

(arctan)

1

x

x





()arccotfxx

'

2

1

(arccot)

1

x

x





双曲函数

()sinhfxx'(sinh)coshxx

()coshfxx'(cosh)sinhxx

()tanhfxx

'

2

1

(tanh)

cosh

x

x



()cothfxx

'

2

1

(coth)

sinh

x

x



反双曲函数

()arsinhfxx

'

2

1

(sinh)

1

arx

x





()arcoshfxx

'

2

1

(cosh)

1

arx

x





()tanhfxarx

'

2

1

(artanh)

1

x

x





复合函数导数公式

复合函数求导公式

()()fxgx'''[()()]()()fxgxfxgx

()()fxgx

'''[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx

''[()]()CfxCfx

()

()

fx

gx

,

()0gx

'

''

2

()()()()()

()()

fxfxgxfxgx

gxgx











()fgx

'''()(())()fgxfgxgx

,

1．证明幂函数()afxx的导数为''1()()aafxxax

证：

'

00

()()()

()limlim

nn

xx

fxxfxxxx

fx

xx





根据二项式定理展开

()nxx

01122211

0

(...)

lim

nnnnnnnn

nnnnn

x

CxCxxCxxCxxCxx

x









消去0nn

n

Cxx

1122211

0

...

lim

nnnnnn

nnnn

x

CxxCxxCxxCx

x









分式上下约去

x

11221121

0

lim(...)nnnnnn

nnnn

x

CxCxxCxxCx





因0x，上式去掉零项

11

1

n

n

n

Cx

nx









1221

0

()[()()...()]

lim

nnnn

x

xxxxxxxxxxxx

x









1221

0

lim[()()...()]nnnn

x

xxxxxxxxx





1221...nnnnxxxxxx

1nnx

2．证明指数函数()xfxa的导数为'ln()xxaaa

证：

'

00

()()

()limlim

xxx

xx

fxxfxaa

fx

xx









0

(1)

lim

xx

x

aa

x





令1xam，则有log(1)

a

xm，代入上式

00

(1)

limlim

log(1)

xxx

xx

a

aaam

xm







1

000

lnln

limlimlim

ln(1)1

ln(1)

ln(1)

ln

xxx

xxx

m

amaaaa

m

m

m

am











根据e的定义

1

lim(1)x

x

e

x



，则

1

0

lim(1)m

x

me



，于是

1

0

lnln

limln

ln

ln(1)

xx

x

x

m

aaaa

aa

e

m







3．证明对数函数()log

a

fxx的导数为''

1

()(log)

lna

fxx

xa



证：

'

00

log()log

()()

()limlimaa

xx

xxx

fxxfx

fx

xx







000

loglog(1)ln(1)

limlimlim

ln

aa

xxx

xxxx

xxx

xxxa







00

ln(1)ln(1)

limlim

lnln

x

x

xx

xxx

xxx

xaxa





根据e的定义

1

lim(1)x

x

e

x



，则

0

limln(1)

x

x

x

x

e

x

，于是

0

ln(1)

ln1

lim

lnlnln

x

x

x

x

e

x

xaxaxa





4．证明正弦函数()sinfxx的导数为''()(sin)cosfxxx

证：

'

00

()()sin()sin

()limlim

xx

fxxfxxxx

fx

xx





根据两角和差公式sin()sincoscossinxxxxxx

00

sin()sinsincoscossinsin

limlim

xx

xxxxxxxx

xx





因

0

lim(sincos)sin

x

xxx



，约去sincossinxxx，于是

0

cossin

lim

x

xx

x



因

0

sin

lim1

x

x

x

，于是

0

sin

lim(cos)cos

x

x

xx

x



5．证明余弦函数()cosfxx的导数为''()(cos)sinfxxx

证：

'

00

()()cos()cos

()limlim

xx

fxxfxxxx

fx

xx





根据两角和差公式cos()coscossinsinxxxxxx

00

cos()coscoscossinsincos

limlim

xx

xxxxxxxx

xx





因

0

lim(coscos)cos

x

xxx



，约去

coscoscosxxx

，于是

0

sinsin

lim

x

xx

x





因

0

sin

lim1

x

x

x

，于是

0

sinsin

lim()sin

x

xx

x

x



6．证明正切函数()tanfxx的导数为''

2

1

()(tan)

cos

fxx

x



证：

'

00

()()tan()tan

()limlim

xx

fxxfxxxx

fx

xx





00

sin()sin

sin()cossincos()

cos()cos

limlim

cos()cosxx

xxx

xxxxxx

xxx

xxxxx













根据两角和差公式

sin()sincoscossinxxxxxx

,

cos()coscossinsinxxxxxx

代入上式

0

(sincoscossin)cossin(coscossinsin)

lim

cos()cosx

xxxxxxxxxx

xxxx







00

coscossin(sinsinsin)sin(coscossinsin)

limlim

cos()coscos()cosxx

xxxxxxxxxxx

xxxxxxxx







因22cossin1xx

0

sin

lim

cos()cosx

x

xxxx





因

0

sin

lim1

x

x

x

，

0

limcos()cos

x

xxx



，上式为

2

0

sin11

lim

cos()coscosx

x

xxxxx











7．证明余切函数()cotfxx的导数为''

2

1

()(cot)

sin

fxx

x



证：

'

00

()()cot()cot

()limlim

xx

fxxfxxxx

fx

xx





00

cos()cos

cos()sincossin()

sin()sin

limlim

sin()sinxx

xxx

xxxxxx

xxx

xxxxx













根据两角和差公式

sin()sincoscossinxxxxxx

,

cos()coscossinsinxxxxxx

代入上式

0

(coscossinsin)sincos(sincoscossin)

lim

sin()sinx

xxxxxxxxxx

xxxx







2222

00

sinsincossinsin(sincos)

limlim

sin()sinsin()sinxx

xxxxxxx

xxxxxxxx







因22sincos1xx,且

0

sin

lim1

x

x

x

，

0

limsin()sin

x

xxx



，代入上式

2

0

sin11

lim

sin()sinsinx

x

xxxxx











8．证明复合函数()()fxgx的导数为'

''()()()()fxgxfxgx

证:

'

0

()()()()

()()lim

x

fxxgxxfxgx

fxgx

x











0

()()()()

lim

x

fxxfxgxxgx

xx











''()()fxgx

9．证明复合函数()()fxgx的导数为'

''()()()()()()fxgxfxgxfxgx

证:

'

0

()()()()

()()lim

x

fxxgxxfxgx

fxgx

x













0

()()()()()()()()

lim

x

fxxfxfxgxxfxgxxgxxgx

x













0

()()()()()()()()()()

lim

x

fxxfxgxxfxgxxfxgxxfxgxxgx

x













0

()()()()()()

lim

x

fxxfxgxxfxgxxgx

x











0

()()()()

lim()()

x

fxxfxgxxgx

gxxfx

xx











''()()()()fxgxfxgx

10．证明复合函数

()

()

fx

gx

的导数为

'

''

2

()()()()()

()()

fxfxgxfxgx

gxgx











证:

'

0

()()

()

()()

lim

()x

fxxfx

fx

gxxgx

gxx



























0

()()()()

lim

()()x

fxxgxfxgxx

xgxgxx















0

()()()()()()()()

lim

()()x

fxxfxfxgxfxgxxgxgx

xgxgxx















0

()()()()()()()()()()

lim

()()x

fxxfxgxfxgxfxgxxgxfxgx

xgxgxx















0

()()()()()()

lim

()()x

fxxfxgxfxgxxgx

xgxgxx















0

()()()()

()()

lim

()()x

fxxfxgxxgx

gxfx

xx

gxgxx





















''

'

2

()()()()

()

fxgxfxgx

gx





11．证明复合函数()fgx

的导数为'''()(())()fgxfgxgx

证:

'

0

(())(())

(())lim

x

fgxxfgx

fgx

x











令()ugx,则有()()ugxxgx

0

())()

lim

x

fuufu

x











0

())()

lim

x

fuufuu

ux











0

())()()()

lim

x

fuufugxxgx

ux











''()()fugx

''(())()fgxgx

12．证明复合函数ln()fx的导数为'

'()

ln()

()

fx

fx

fx



证:

令()ufx,

''

'ln()lnfxuu

'

'

1()

()

fx

u

ufx



13．求复合函数xx的导数

解:

令xux

lnlnuxx

等式左边求导为

'

'ln

u

u

u



等式右边求导为

'

''

1

lnln(ln)lnln1xxxxxxxxx

x



于是有

'

ln1

u

x

u

,

'(ln1)uxu

则'()(ln1)xxxxx

14.证明反三角函数arcsinx的导数为'

2

1

(arcsin)

1

x

x





证:

令arcsinyx,则

sinyx

对上式两边求导,等式右边'1x

等式左边(根据复合函数求导公式),其导数为''(sin)(cos)yyy

于是有'(cos)1yy

'

2

11

(cos)

1sin

y

y

y





再将arcsinyx代入上式

'

22

11

(arcsin)

1sin(arcsin)1

x

xx





15.证明反三角函数arccosx的导数为'

2

1

(arccos)

1

x

x





证:

令arccosyx,则

cosyx

对上式两边求导,等式右边'1x

等式右边(根据复合函数求导公式),其导数为

'

'cos(sin)yyy

于是有'(sin)1yy,整理后如下：

'

2

11

(sin)

1cos

y

y

y





再将arccosyx代入上式

'

22

11

(arccos)

1cos(arccos)1

x

xx





16.证明反三角函数arctanx的导数为'

2

1

(arctan)

1

x

x





证:

令arctanyx,则

tanyx

对上式两边求导,等式右边'1x

等式右边(根据复合函数求导公式),其导数为

'

2'tan(1tan)yyy

于是有2'(1tan)1yy,整理后如下：

'

2

1

1tan

y

y





再将arctanyx代入上式

'

22

11

(arctan)

1tanarctan1

x

xx





17.证明:反函数的导数为原函数导数的倒数'

1'

'

1

(),(()0)

()

fyfx

fx







如果函数()xy在某区间

y

I内单调、可导且'()0y，那么它的反函数()yfx在对应区间

x

I内

也可导，并且'

'

1

()

()

fx

y

。

证：

因为()yfx连续，所以当0x时，0y

'

'

00

11

()limlim

()xx

y

fx

x

xy

y





即'

'

1

()

()

fx

y



举例：

'

'

222

11111

(arcsin)

(sin)cos

1sin1sin(arcsin)1

x

yy

yxx



