反三角函数定义域

三角函数的基本关系式

倒数关系:商的关系：平方关系：

tanα·cotα＝1

sinα·cscα＝1

cosα·cα＝1

sinα/cosα＝tanα＝

cα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝

cscα/cα

sin2α＋cos2α＝1

1＋tan2α＝c2α

1＋cot2α＝csc2α

?

诱导公式

sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα

??

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

sin（3π/2－α）＝

－cosα

cos（3π/2－α）＝

－sinα

tan（3π/2－α）＝

cotα

cot（3π/2－α）＝

tanα

sin（3π/2＋α）＝

－cosα

cos（3π/2＋α）＝

sinα

tan（3π/2＋α）＝

－cotα

cot（3π/2＋α）＝

－tanα

sin（2π－α）＝－

sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－

tanα

cot（2π－α）＝－

cotα

sin（2kπ＋α）＝

sinα

cos（2kπ＋α）＝

cosα

tan（2kπ＋α）＝

tanα

cot（2kπ＋α）＝

cotα

(其中k∈Z)

两角和与差的三角函数公式万能公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

???????2tan(α/2)

sinα＝——————

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

??????????????tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————

?????????????1－tanα·tanβ

??????????????tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

?????????????1＋tanα·tanβ

??????1＋tan2(α/2)

???????1－tan2(α/2)

cosα＝——————

??????1＋tan2(α/2)

???????2tan(α/2)

tanα＝——————

??????1－tan2(α/2)

?

半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式

??

二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－

2sin2α

????????2tanα

tan2α＝—————

???????1－tan2α

sin3α＝3sinα－4sin3α

cos3α＝4cos3α－3cosα

???????3tanα－tan3α

tan3α＝——————

???????1－3tan2α

??

三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式

?????????????????α＋β???????α－β

sinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－—

??????????????????2??????????2

?????????????????α＋β???????α－β

sinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—

??????????????????2??????????2

?????????????????α＋β???????α－β

cosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—

??????????????????2?????????2

???????????????????α＋β???????α

－β

cosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－—

????????????????????

2??????????2

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)

]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

?

化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）

函数变换

360k+αsinαcosαtanαcotαcαcscα

90°-αcosαsinαcotαtanαcscαcα

90°+αcosα-sinα-cotα-tanα-cscαcα

180°-αsinα-cosα-tanα-cotα-cαcscα

180°+α-sinα-cosαtanαcotα-cα-cscα

270°-α-cosα-sinαcotαtanα-cscα-cα

270°+α-cosαsinα-cotα-tanαcscα-cα

360°-α-sinαcosα-tanα-cotαcα-cscα

﹣α-sinαcosα-tanα-cotαcα-cscα

反三角函数

三角函数的，是多值函数。它们是反正弦Arcsinx，反余弦Arccosx，反正切Arctanx，

反余切Arccotx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制

为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为

y=arcsinx；相应地，反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctanx

的主值限在-π/2

反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要

求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由提出，并且首先使用了arc+函数

名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x).

反三角函数主要是三个：

y=arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，图象用红色线条；

y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用兰色线条；

y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条；

sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域【-π/2,π/2】

证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x,将这两个式子代如上式即可得

为限制反三角函数为单值函数，将反的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的，

记为y=arcsinx；相应地，反y=arccosx的主值限在0≤y≤π；y=arctanx的主值限在

-π/2

反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要

求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+

函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x).

（1）正弦函数y=sinx在[-π/2,π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。arcsinx表示一个

正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。

（2）余弦函数y=cosx在[0,π]上的反函数，叫做反余弦函数。arccosx表示一个余弦

值为x的角，该角的范围在[0,π]区间内。

（3）正切函数y=tanx在(-π/2,π/2)上的反函数，叫做反正切函数。arctanx表示一个

正切值为x的角，该角的范围在(-π/2,π/2)区间内。

反三角函数主要是三个：

y＝arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]图象用红色线条；

y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用蓝色线条；

y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条；

sin(arcsinx)=x,定义域[-1,1],值域[-1,1]arcsin(-x)=-arcsinx

证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x,将这两个式子代入上式即可得

其他几个用类似方法可得

cos(arccosx)=x,arccos(-x)=π-arccosx

tan(arctanx)=x,arctan(-x)=-arctanx

反三角函数其他公式

arcsin(-x)=-arcsinx

arccos(-x)=π－arccosx

arctan(-x)=-arctanx

arccot(-x)=π－arccotx

arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)

当x∈[—π/2，π/2]时，有arcsin(sinx)=x

当x∈[0,π],arccos(cosx)=x

x∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=x

x∈(0，π),arccot(cotx)=x

x〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似

若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)