平行四边形判定定理

平行四边形的判定定理(基础)

【学习目标】

1.平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形.

2.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题.【要点梳理】

要点一、平行四边形的判定

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

要点诠释：

(1)这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，

应选择较简单的方法

(2)这些判定方法既可作为判定平行四边形

的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.【典

型例题】

类型一、平行四边形的判定

1、如图所示，E、F分别为四边形ABCD勺边ADBC上的点，且四边形AECF和DEBF都是

平行四边形，AF和BE相交于点GDF和CE相交于点H.求证：四边形EGFH为平行四边形.

AED

【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG/FH,

FG//HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形.

【答案与解析】

证明：•••四边形AECF为平行四边形，

•••AF//CE

•••四边形DEBF为平行四边形，

•BE//DF.

•四边形EGFH为平行四边形.

【总结升华】平行四边形的定义既包含平行四边形的性质，又可以用来判定一个四边形是平

行四边形，即平行四边形的两组对边分别平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

举一反三：

【变式】(2015?厦门校级一模)如图，在四边形ABCD中,AB//CD/BAD的平分线交直线

BC于点E,交直线DC于点F,若CE=CF求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明：•••/BAD的平分线交直线BC于点E,

•••/仁/2,

•/AB//CD

•••/仁/F,

•/CE=CF

•••/F=Z3,

•••/仁/3,

•••/2=Z3,

•AD//BC,

•/AB//CD

•四边形ABCD是平行四边形.

【思路点拨】(1)根据全等三角形的判定方法，判断出厶ADE◎△CBF，即可推得DE=BF.

(2)首先判断出DE//BF;然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四边形

DEBF是平行四边形即可.

【答案与解析】

证明：(1)v四边形ABCD是平行四边形,

•AD//CB,AD=CB,

•••/DAE=/BCF,在厶ADE和厶CBF中，rAD=CB

•ZDAE=ZBCF

t

AE=CF

•△ADECBF,•DE=BF.

（2）由（1）,可得△ADE◎△CBF,

•••/ADE=/CBF,

•••/DEF=/DAE+ZADE，/BFE=/BCF+ZCBF,

?ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE=CF.求证:

D

(1)DE=BF;

(2)四边形DEBF是平行四边形.

•••/DEF=ZBFE,

•DE//BF,

又•••DE=BF,

•四边形DEBF是平行四边形.

【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，以及全等三角形的判定和性

质的应用，要熟练掌握.

3、（2015?张掖校级模拟）已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上

的点，且AP=CQ

求证：四边形PBQD是平行四边形.

【思路点拨】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来证明.

【答案与解析】

证明：连接BD交AC与O点，

•••四边形ABCD是平行四边形，

•AO=COBO=DO

又•••AP=CQ

•AP+AO=CQ3Q

即PO=QO

•四边形PBQD是平行四边形.

【总结升华】本题主要考查平行四边形的判定，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边

形”来证明.

举一反三：

0A=0C0D=0B推出0E=0F得出平

【变式】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交

BE的延长线于F,且AF=DC连接CF.试说明：D是BC的中点.

【答案】

证明：•••AF//BC,

•••/AFE=/DBE

•••E是AD的中点，

•AE=DE

在厶AEF和厶DEB中,

.AFE=DBE,•••<

NAEF=ZDEB,

AE=DE,

•△AEF^ADEB(AAS,

•AF=BD

•/AF=DC

•BD=DC

•D是BC的中点.

类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用

Ge如图，在平行四边形ABC州E、F是对角线AC上的点，且AE=CF

(1)猜想探究：BE与DF之间的关系：____________________

【思路点拨】(1)BE平行且等于DF;

(2)连接BD交AC于O根据平行四边形的性质得出行

四边形BEDF即可.

【答案与解析】

(1)解：BE和DF的关系是：BE=DFBE/DF,

故答案为：平行且相等.

(2)证明：连接BD交AC于0,

•••ABCD是平行四边形，

•0A=0C0B=0D

•/AE=CF

D

•••OE=OF

•••BFDE是平行四边形，

•BE=DFBE//DF.

【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，能否熟练地运用平行四边形的性

质和判定进行推理是你解决本题的关键，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能

力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力.

举一反三：

变式：如图，在「ABCD中,E、F分别在ADBC边上，且AE=CF请你猜想BE与DF的关系，并

说明理由.

解：猜想BE与DF的关系是BE=DFBE/DF,

理由是：•••四边形ABCD是平行四边形，

•AD//BC,AD=BC

•/AE=CF

•AD-AE=BC-CF

即DE=BF

•••DE//BF,

•四边形BFDE是平行四边形，

•BE=DFBE/DF.

5、如图，四边形ABCD的对角线ACBD交于点P,过点P作直线交AD于点E,交BC于点F.

若PE=PF,且AP+AE=CP+C.F

(1)求证：PA=PC

(2)若AD=12AB=15/DAB=60,求四边形ABCD勺面积.

【思路点拨】(1)首先在PA和PC的延长线上分别取点MN,使AM=AECN=CF可得PN=PM则易证

四边形EMFN是平行四边形，则可得ME=FN/EMAMCNF,即可证得厶EAM^AFCN则可得

PA=PC

(2)由PA=PCEP=PF,可证得四边形AFCE为平行四边形，易得△PED^APFB,则可得四边形

ABCD为平行四边形，由AB=15,AD=12/DAB=60,即可求得四边形ABCD的面积.

【答案与解析】

(1)证明：在PA和PC的延长线上分别取点MN,使AM=AECN=CF

•/AP+AE=CP+CF

•PN=PM

•/PE=PF,

•四边形EMFN是平行四边形

•••ME=FN/EMA2CNF

又•••/AMEMAEM/CNF=ZCFN

•△EAM^AFCN

•AM=CN

•/PM=PN

•PA=PC

(2)解：TPA=PCEP=PF

•四边形AFCE为平行四边形.

•AE//CF.

•••/PED玄PFB,MEPDMFPBEP=PF

•△PED^APFB

•DP=PB

由(1)知PA=PC

•四边形ABCD为平行四边形.

•/AB=15,AD=12MDAB=60,

•四边形ABCD勺面积为903.

【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质等知识.

题图形比较复杂，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用.