复数的几何意义

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复数的几何意义及应用

一、教学目标：

(一)知识与技能:

通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示

法及彼此之间的关系。

(二)过程与方法:1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力;

2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点；

3、提高知识之间的理解与综合运用能力。

(三)情感、态度、价值观:通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，

对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。

二、教学重点：复平面内两点间距离公式的应用

三、教学难点：复平面内两点间距离公式的应用

四、教学工具：计算机、投影仪

五、教学方法：探究式教学法、问题解决教学法

六、教学过程：

(一)设置情境，问题引入

问题1：复数z的几何意义？设复平面内点Z表示复数z=a+bi（a，b∈R），连结OZ，则

点Z，

OZ

，复数z=a+bi（a，b∈R）之间具有一一对应关系。

直角坐标系中的点Z(a,b)

一一对应一一对应

复数z=a+bi

问题2：∣z∣的几何意义？若复数z=a+bi（a，b∈R）对应的向量是

OZ

，则向量是

OZ

的模叫做复数z=a+bi（a，b∈R）的模，|z|=

Z0

=|a+bi|=22ba（a，b∈R）。

问题3：∣z1-z2∣的几何意义？两个复数的差zzz

21

所对应的向量就是连结

21

ZZ并

且方向指向（被减数向量）的向量,

2

21

2

211221

)()(yyxxZZzzd

一一对应

向量OZ

(二)探索研究

根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程：

1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

设),(yxZ以),(

000

yxZ

为

圆心，)0(rr为半径的圆上任意一点,

则rZZ

0

)0(r

（1）该圆向量形式的方程是什么?)0(

0

rrZZ

（2）该圆复数形式的方程是什么?rzz

0

)0(r

（3）该圆代数形式的方程是什么?

)0()()(22

0

2

0

rryyxx

2．椭圆的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的和等于常数(大于

21

ZZ)的点的集合(轨

迹)

设),(yxZ是以),(

211

yxZ),(

222

yxZ为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任意一点,

则aZZZZ2

21

)2(

21

ZZa

（1）该椭圆向量形式的方程是什么?aZZZZ2

21

)2(

21

ZZa

（2）该椭圆复数形式的方程是什么?azzzz2

21

)2(

21

ZZa

变式:以),(

211

yxZ),(

222

yxZ为端点的线段

（1）向量形式的方程是什么?aZZZZ2

21

)2(

21

ZZa

（2）复数形式的方程是什么?azzzz2

21

)2(

21

ZZa

3．双曲线的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的差的绝对值等于

常数(小于

21

ZZ)的点的集合(轨迹)

设),(yxZ是以),(

211

yxZ),(

222

yxZ为焦点，2a为实轴长的双曲线的上

任意一点,

则aZZZZ2

21

)2(

21

ZZa

（1）该双曲线向量形式的方程是什么?aZZZZ2

21



)2(

21

ZZa

（2）该椭圆复数形式的方程是什么?azzzz2

21

)2(

21

ZZa

变式:射线

（1）向量形式的方程是什么?aZZZZ2

21



)2(

21

ZZa

（2）复数形式的方程是什么?azzzz2

21

)2(

21

ZZa

变式：以),(

211

yxZ),(

222

yxZ为端点的线段的垂直平分线

（1）该线段向量形式的方程是什么?aZZZZ2

21

)02(a即

21

ZZZZ

（2）该线段复数形式的方程是什么?azzzz2

21

)02(a即

21

zzzz

（三）应用举例

例1．复数z满足条件∣z+2∣-∣z-2∣=4，

则复数z所对应的点Z的轨迹是（）

（A）双曲线（B）双曲线的右支

（C）线段（D）射线

答案：（D）一条射线

变式探究：

（1）若复数z所对应的点Z的轨迹是两条射线，复数z应满足什么条件？

（2）若复数z所对应的点Z的轨迹是线段，复数z应满足什么条件？

（3）若复数z所对应的点Z的轨迹是双曲线的右支，复数z应满足什么条件？

（4）若复数z所对应的点Z的轨迹是双曲线，复数z应满足什么条件？

（5）若复数z所对应的点Z的轨迹是椭圆，复数z应满足什么条件？

（6）若复数z所对应的点Z的轨迹是线段的垂直平分线，复数z应满足什么条件？

例2．若复数z满足条件1z，

求iz2的最值。

解法1：（数形结合法）由1z可知，z对应于单位圆上的点Z；

iz2表示单位圆上的点Z到点P（0，2）的距离。

由图可知，当点Z运动到A（0，1）点时，12

min

iz,此时z=i；

当点Z运动到B（0，-1）点时，32

max

iz,此时z=-i。

解法2：（不等式法）

212121

zzzzzz



iziziz222

,1z22i，



321iz

解法3：（代数法）设),(Ryxyixz，则122yx



yyxiyixiz45)2(2222

1y，即11y



当1y，即iz时，12

min

iz；

当1y，即iz时，32

max

iz=3,

解法4：（性质法）

)2)(2()2)(2()2()2(22iziziziziziziz

yiizzzz454)(2

1y，即11y



当1y，即iz时，12

min

iz；

当1y，即iz时，32

max

iz,

变式探究：

（1）

min

iz，

max

iz；0；2

（2）



min

2

1

iz，

max

2

1

iz；

2

3

,

2

1

（3）

min

22iz，

max

22iz；122;122

（4）



min

1

2

1

iz，

max

1

2

1

iz；

2

1

2;

2

1

2

例3．已知z1、z2∈C，且1

1

z，

若izz2

21

，则

21

zz的最大值是（）

（A）６（B）５（C）４（D）３

解法1：izzizzz

11121

2)2(

2

max

1

iz



21

zz的最大值是4

解法2：

izz2

21

,

21

2ziz

1

1

z



12

2

zi,即12

2

iz

1

1

z表示以原点为圆心，以1为半径的圆；

12

2

iz表示以（0，2）为圆心，以1为半径的圆。



21

zz的最大值为两圆上距离最大的两点间的距离为4。

(四)反馈演练：

1．复数z满足条件∣z+i∣+∣z-i∣=２，

则∣z+i-1∣的最大值是________

5

最小值是__________.1

2．复数z满足条件∣z-2∣+∣z+i∣=5，

则∣z∣的取值范围是（B）

(A)













5,

5

52

(B)













2,

5

52

(C)5,1

(D)2,1

3．已知实数x,y满足条件

















3

0

05

x

yx

yx

，iyixz(为虚数单位），

则|21|iz的最大值和最小值分别是．

2

2

,262

(五)总结:

1.今天我们探索研究了什么?

2.你有什么收获?

（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待

您的好评与关注！）