标准差和方差的区别

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§2、1方差与规范差审核人：戴蔚

【目标导航】

1．经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性.

2．掌握方差和规范差的概念，卉计算方差和规范差，理解它们的统计意义.

3．经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验.

【要点梳理】

1．我们知道极差只能反映一组数据中两个之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感.

2．描述一组数据的离散程度可以采取许多方法，在统计中常采用先求这组数据的，再求这组数据与的差的的平均数，用

这个平均数来衡量这组数据的波动性大小

3．设在一组数据X

1

，X

2

，X

3

，X

4

，……X

N

中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是（X

1

-）2，（X

2

-）2，（X

3

-）

2，……，（X

n

-）2,,那么我们求它们的平均数，即用S2=.

4．一组数据方差的算术平方根叫做这组数据的。

5．方差是描述一组数据的特征数，可通过比较其大小判断波动的大小，方差说明数据越稳定，

6．为什么要这样定义方差？

7．为什么要除以数据的个数n?

8．规范差与方差的区别和联系？

【问题探究】

知识点1.探究计算数据方差和规范差的必要性

例1.质检部门从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径进行了检测，结果如下（单位：mm）

A厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1

B厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，40.2，39.8，40.2

思考探索：1、请你算一算它们的平均数和极差？

2、根据它们的平均数和极差，你能断定这两个厂生产的乒乓球直径同样规范吗？

3、观察根据上面数据绘制成的下图，你能发现哪组数据较稳定吗？

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直径/mm直径/mm

A厂B厂

知识点2.如何计算一组数据的方差和规范差

例2.在一组数据中x

1

、x

2

、x

3

…x

n

中，它们与平均数的差的平方是(x

1

－)

2

,(x

2

－)

2

,(x

3

－)

2

,…,(x

n

－)

2

.我们用

它们的平均数，即用S2=

1

N

[(x

1

－)

2

＋(x

2

－)

2

＋(x

3

－)

2

…＋(x

n

－)

2

]来描述这组数据的离散程度，并把它叫

做这组数据的.

在有些情况下，需要用方差的算术平方根，即来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的规范差.

【变式】甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品分别是：

甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4

乙：2、3、1、2、0、2、1、1、2、1

分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能较好？

知识点3.

例3.已知，一组数据x1,x2,……，xn的平均数是10，方差是2，

①数据x1+3,x2+3,……，xn+3的平均数是方差是，

②数据2x1,2x2,……，2xn的平均数是方差是，

③数据2x1+3,2x2+3,……，2xn+3的平均数是方差是，

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你能找出数据的变化与平均数、方差的关系吗？

【课堂操练】

1、一组数据：2，1，0，

x

，1的平均数是0，则

x

=.方差2S.

2、如果样本方差2

4

2

3

2

2

2

1

2)2()2()2()2(

4

1

xxxxS，

那么这个样本的平均数为.样本容量为.

3、已知

321

,,xxx的平均数x10，方差2S3，则

321

2,2,2xxx的平均数为，方差为.

4、样本方差的作用是（）

A、估计总体的平均水平B、表示样本的平均水平

C、表示总体的波动大小D、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小

5、小明和小兵10次100m跑测试的成绩（单位：s）如下：

小明：14.8,15.5,13.9,14.4,14.1,14.7,15.0,14.2,14.9,14.5

小兵：14.3,15.1，15.0，13.2，14.2，14.3,13.5,16.1,14.4,14.8

如果要从他们两人中选一人参加学校田径运动会，那么应该派谁去参加比赛？

６、甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩均为7环，10次射击的方差分别分别是3和

1.2。设问射击成绩较为稳定的是谁？

【每课一测】

（完成时间：45分钟，满分：100分）

一、填空题（每题5分，共35分）

1、随机从甲、乙两块实验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：13

甲

x，13

乙

x，6.3S2甲，

8.15S2乙，则小麦长势比较整齐的实验田是.

2、样本数据3，6，

a

,4，2的平均数是3，则这个样本的方差是.

3、数据

1

x,

2

x,

3

x，

4

x的平均数为

m

，规范差为5，那么各个数据与

m

之差的平方和为_________.

4、已知数据1，2，3，4，5的方差为2，则11，12，13，14，15的方差为_________，规范差为_______。

5、已知一组数据-1、x、0、1、-2的平均数为0，那么这组数据的方差是。

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6、若一组数据的方差是1，则这组数据的规范差是。若另一组数据的规范差是2，则方差是。

7、一组数据的方差是0，这组数据的特点是；方差能为负数吗?

二、选择题（每题5分，共35分）

8、甲乙两人在相同的条件下各射靶10次，他们的环数的方差是S甲

2=2.4，•S乙

2=3.2，则射击稳定性是（）

A．甲高B．乙高C．两人一样多D．不能确定

9、若一组数据

1

a，

2

a，…，

n

a的方差是5，则一组新数据

1

2a，

2

2a，…，

n

a2的方差是（）

A．5B．10C．20D．50

10、在统计中，样本的规范差可以反映这组数据的()

A．平均状态B．分布规律C．离散程度D．数值大小

11、已知甲、乙两组数据的平均数分别是80x甲，90x乙

，方差分别是210S

甲

，25S

乙

，比较这两组数据，下列

说法正确的是()

A．甲组数据较好B．乙组数据较好C．甲组数据的极差较大D．乙组数据的波动较小

12、下列说法正确的是（）

A．两组数据的极差相等，则方差也相等B．数据的方差越大，说明数据的波动越小

C．数据的规范差越小，说明数据越稳定D．数据的平均数越大，则数据的方差越大

13、对甲、乙两同学100M短跑进行5次测试，他们的成绩通过计算得；甲=乙，S2

甲=0.025,S2

乙=0.026,下列说法正确

的是（）

A、甲短跑成绩比乙好B、乙短跑成绩比甲好

C、甲比乙短跑成绩稳定D、乙比甲短跑成绩稳定

14、数据70、71、72、73、74的规范差是（）

A、2B、2C、

5

2

D、

5

4

三、解答题（每题10分，共30分）

15、某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级(1)、(2)班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名

选手的复赛成绩(满分为i00分)如图所示．

(1)根据图示填写下表；

(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；

(3)计算两班复赛成绩的方差。

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16、若一组数据

1

x,

2

x，…,

n

x的平均数是2，方差为9，则数据32

1

x，32

2

x，…，32

n

x的平均数和规范

差各是多少？

17、在一次投篮比赛中，甲、乙两人共进行五轮比赛，每轮各投10个球，他们每轮投中的球数如下表：

轮次一二三四五

甲投中（个）

68759

乙投中（个）

78677

（1）甲在五轮比赛中投中球数的平均数是，方差是；

（2）乙在五轮比赛中投中球数的平均数是，方差是；

（3）通过以上计算，你认为在比赛中甲、乙两人谁的发挥更稳定些？