标准差越大说明什么

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标准差

标准差（StandardDeviation），也称均方差（meansquareerror），是各数据偏离平均数

的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。

标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。

标准差（StandardDeviation），在概率统计中最常使用作为统计分布程度

（statisticaldispersion）上的测量。标准差定义为方差的算术平方根，反映

组内个体间的离散程度。测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：

为非负数值，与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个

随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。

标准计算公式

假设有一组数值X1,X2,X3,......Xn（皆为实数），其平均值为μ，公式

如图1.

图1

标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如图2。

图2

简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大

的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，

代表这些数值较接近平均值。

例如，两组数的集合{0,5,9,14}和{5,6,8,9}其平均值都是7，但

第二个集合具有较小的标准差。

标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性

测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值

是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值

与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值

互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可

以合理推论预测值是否正确。

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标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越

大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准

差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。

例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、

85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的

平均数都是70，但A组的标准差为17.078分，B组的标准差为2.16分（此

数据是在R统计软件中运行获得），说明A组学生之间的差距要比B组学

生之间的差距大得多。

如是总体，标准差公式根号内N=n，如是样本，标准差公式根号内N=

（n-1)，因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1)。

公式意义

所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数

减一，即变异数)，再把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。

深蓝区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在正态分布中，

此范围所占比率为全部数值之68%。根据正态分布，两个标准差之内（深

蓝，蓝）的比率合起来为95%。根据正态分布，三个标准差之内（深蓝，

蓝，浅蓝）的比率合起来为99%。

正态分布

标准差的意义

标准计算公式假设有一组数值（皆为实数），其平均值为：此组数

值的标准差为：

样本标准差

在真实世界中，除非在某些特殊情况下，找到一个总体的真实的标准

差是不现实的。大多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本

并计算样本标准差估计的。

从一大组数值当中取出一样本数值组合，常定义其样本标准差：

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样本方差s是对总体方差σ的无偏估计。s中分母为n-1是因为样本

的自由度为n-1，这是由于存在约束条件。

这里示范如何计算一组数的标准差。例如一群儿童年龄的数值为{5,6,

8,9}：

第一步，计算平均值

第二步，计算标准差

σ=

σ=

σ=

σ=此为标准差

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离散度

标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精确

度的重要指标。说起标准差首先得搞清楚它出现的目的。我们使用方法去

检测它，但检测方法总是有误差的，所以检测值并不是其真实值。检测值

与真实值之间的差距就是评价检测方法最有决定性的指标。但是真实值是

多少，不得而知。因此怎样量化检测方法的准确性就成了难题。这也是临

床工作质控的目的：保证每批实验结果的准确可靠。

虽然样本的真实值是不可能知道的，但是每个样本总是会有一个真实

值的，不管它究竟是多少。可以想象，一个好的检测方法，其检测值应该

很紧密的分散在真实值周围。如果不紧密，与真实值的距离就会大，准确

性当然也就不好了，不可能想象离散度大的方法，会测出准确的结果。因

此，离散度是评价方法的好坏的最重要也是最基本的指标。

一组数据怎样去评价和量化它的离散度呢?人们使用了很多种方法：

1.极差

最直接也是最简单的方法，即最大值－最小值（也就是极差）来评价

一组数据的离散度。这一方法在日常生活中最为常见，比如比赛中去掉最

高最低分就是极差的具体应用。

2.离均差的平方和

由于误差的不可控性，因此只由两个数据来评判一组数据是不科学的。

所以人们在要求更高的领域不使用极差来评判。其实，离散度就是数据偏

离平均值的程度。因此将数据与均值之差（我们叫它离均差）加起来就能

反映出一个准确的离散程度。和越大离散度也就越大。

但是由于偶然误差是成正态分布的，离均差有正有负，对于大样本离

均差的代数和为零的。为了避免正负问题，在数学有上有两种方法：一种

是取绝对值，也就是常说的离均差绝对值之和。而为了避免符号问题，数

学上最常用的是另一种方法——平方，这样就都成了非负数。因此，离均差

的平方和成了评价离散度一个指标。

3.方差（S2）

由于离均差的平方和与样本个数有关，只能反应相同样本的离散度，

而实际工作中做比较很难做到相同的样本，因此为了消除样本个数的影响，

增加可比性，将标准差求平均值，这就是我们所说的方差成了评价离散度

的较好指标。

样本量越大越能反映真实的情况，而算数均值却完全忽略了这个问题，

对此统计学上早有考虑，在统计学中样本的均差多是除以自由度（n-1)，它

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的意思是样本能自由选择的程度。当选到只剩一个时，它不可能再有自由

了，所以自由度是n-1。

4.标准差（SD）

由于方差是数据的平方，与检测值本身相差太大，人们难以直观的衡

量，所以常用方差开根号换算回来这就是我们要说的标准差。

在统计学中样本的均差多是除以自由度（n-1)，它是意思是样本能自由

选择的程度。当选到只剩一个时，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。

5.变异系数（CV）

标准差能很客观准确的反映一组数据的离散程度，但是对于不同的检

目，或同一项目不同的样本，标准差就缺乏可比性了，因此对于方法学评

价来说又引入了变异系数CV。

一组数据的平均值及标准差常常同时做为参考的依据。在直觉上，如

果数值的中心以平均值来考虑，则标准差为统计分布之一“自然”的测量。

定义公式：其中N应为n-1，即自由度

1.变异系数（CV）

在描述波动情况的统计量时有一个变异系数CV=S/(X的平均)，是用于不同数据的离散程度

的比较变异系数就是几个数据的标准差与均值的比值。求标准差的函数是STDEV求均

值的函数是AVERAGE比如你的数据分别在A1,A2,A3选中B1，输入=STDEV(A1:A3)然

后回车再选中C1，输入=AVERAGE(A1:A3)回车再选中D1，输入=B1/C1回车这样D1

就是数据A1,A2,A3的变异系数了。一般变异系数用百分数表示

异系数是一组数据的变异指标与其平均指标之比，它是一个相对变异指标。变异系数有全

距系数、平均差系数和标准差系数等。常用的是标准差系数，用CV(CoefficientofVariance)

表示。CV(CoefficientofVariance):标准差与均值的比率。用公式表示为：CV＝σ/μ作用：

反映单位均值上的离散程度，常用在两个总体均值不等的离散程度的比较上。若两个总体的

均值相等，则比较标准差系数与比较标准差是等价的。变异系数又称离散系数。

标准差与平均值定义公式

1、方差s^2=[(x1-x)^2+(x2-x)^2+......(xn-x)^2]/(n)（x为平均数）

2、标准差=方差的算术平方根

errorbar。在实验中单次测量总是难免会产生误差，为此我们经常测量多次，

然后用测量值的平均值表示测量的量，并用误差条来表征数据的分布，其

中误差条的高度为±标准误。这里即标准差standarddeviation和标准误

standarderror的计算公式分别为

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标准差

标准误

解释

从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从n维空间的一个点到

一条直线的距离的函数。举一个简单的例子，一组数据中有3个值，

X1,X2,X3。它们可以在3维空间中确定一个点P=(X1,X2,X3)。想像一条

通过原点的直线。如果这组数据中的3个值都相等，则点P就是直线L

上的一个点，P到L的距离为0,所以标准差也为0。若这3个值不都相

等，过点P作垂线PR垂直于L，PR交L于点R，则R的坐标为这

3个值的平均数：

（公式）

运用一些代数知识，不难发现点P与点R之间的距离(也就是点P到

直线L的距离)是。在n维空间中，这个规律同样适用，把3换成n就

可以了。

标准差与标准误的区别

标准差与标准误都是心理统计学的内容，两者不但在字面上比较相近，而

且两者都是表示距离某一个标准值或中间值的离散程度，即都表示变异程

度，但是两者是有着较大的区别的。

首先要从统计抽样的方面说起。现实生活或者调查研究中，我们常常

无法对某类欲进行调查的目标群体的所有成员都加以施测，而只能够在所

有成员（即样本）中抽取一些成员出来进行调查，然后利用统计原理和方

法对所得数据进行分析，分析出来的数据结果就是样本的结果，然后用样

本结果推断总体的情况。一个总体可以抽取出多个样本，所抽取的样本越

多，其样本均值就越接近总体数据的平均值。

表示的就是样本数据的离散程度。标准差就是样本平均数方差的开平

方，标准差通常是相对于样本数据的平均值而定的，通常用M±SD来表示，

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表示样本某个数据观察值相距平均值有多远。从这里可以看到，标准差受

到极值的影响。标准差越小，表明数据越聚集；标准差越大，表明数据越

离散。标准差的大小因测验而定，如果一个测验是学术测验，标准差大，

表示学生分数的离散程度大，更能够测量出学生的学业水平；如果一个测

验测量的是某种心理品质，标准差小，表明所编写的题目是同质的，这时

候的标准差小的更好。标准差与正态分布有密切联系：在正态分布中，1个

标准差等于正态分布下曲线的68.26%的面积，1.96个标准差等于95%的面

积。这在测验分数等值上有重要作用。

标准误

表示的是抽样的误差。因为从一个总体中可以抽取出无数多种样本，

每一个样本的数据都是对总体的数据的估计。标准误代表的就是当前的样

本对总体数据的估计，标准误代表的就是样本均数与总体均数的相对误差。

标准误是由样本的标准差除以样本容量的开平方来计算的。从这里可以看

到，标准误更大的是受到样本容量的影响。样本容量越大，标准误越小，

那么抽样误差就越小，就表明所抽取的样本能够较好地代表总体。

Excel函数

Excel中有STDEV、STDEVP、STDEVA、STDEVPA四个函数，分别

表示样本标准差、总体标准差；包含逻辑值运算的样本标准差、包含逻辑

值运算的总体标准差（excel用的是“标准偏差”字样）。

在计算方法上的差异是：样本标准差=（样本方差/(数据个数-1))^2；总

体标准差=（总体方差/(数据个数))^2。

函数的excel分解：

（1）stdev（）函数可以分解为（假设样本数据为A1：E10这样一个矩阵）：

stdev(A1：E10)=sqrt(DEVSQ(A1：E10)/(COUNT(A1：E10)-1))

（2）stdevp（）函数可以分解为（假设总体数据为A1：E10这样一个

矩阵）：

stdev(A1：E10)=sqrt(DEVSQ(A1：E10)/(COUNT(A1：E10)))

同样的道理stdeva()与stdevpa()也有同样的分解方法。