幂运算法则

学生姓名：授课时间：2014.2.22

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七年级下册数学讲义

课题幂的运算

教学目的

1.同底数幂的乘法

2.幂的乘方

3.积得乘方

4.同底数幂的除法（零指数幂贺峰负整数指数幂）

教学内容

知识梳理

一、同底数幂的乘法

1.表达式：nmnmaaa（m，n都是正整数）

2.文字语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

3.注意：（1）对于三个（或三个以上）同底数幂相乘，也具有底数不变，指数相加的性质。

（2）同底数幂的乘法运算中的“同底数”，不仅可以是数，也可以是代数式。

（3）要注意分清底数和指数，注意同底数幂的乘法与合并同类项的区别

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

合并同类项，系数相加，字母和字母的指数不变。

二、幂的乘方

1.表达式：mn

n

maa（m，n都是正整数）

2.文字语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘

3.注意：（1）p

n

mmnpaa









（m，n，p都是正整数）仍成立。

（2）幂的乘法中的底数“a”可以是数，也可以是代数式

（3）要注意区分幂的乘法运算法则和同底数幂的乘法法则。

幂的乘法运算，是转化为指数相乘加的运算（底数不变）

同底数幂相乘，是转化为指数相加的运算（底数不变）。

三、积得乘方

1.表达式：nn

nbaab

（n都是正整数）

2.文字语言叙述：积的乘方，等于每个因式分别乘方

3.注意：（1）三个（或三个以上）的积的乘方，也具有这一特性，即n

nnnabcabc（n都是正整数）。

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（2）这里的“a”，“b”可以是数，也可以是代数式

（3）应抓住“每一个因数乘方”这一要点。

四、同底数幂的除法

1.表达式：nmnmaaa（a≠0，m，n都是正整数，且m＞n）

2.文字语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减

3.注意：（1）公式中的底数可以是具体的数，也可以是代数式，但由于除式不能为0，所以a≠0。

（2）公式推广：mnpmnpaaaa（a≠0，m、n、p都是正整数，且m＞n+p）

（3）对比同底数幂的乘法法则

（4）当指数相等的同底数幂相除的商为1，所以规定mmmmaaa=10a，即任意不为0的数的零

次幂都是等于1；

同底数幂相除，若被除式的指数小于除式的指数，则出现负指数，因此规定

p

p

a

a

1

（其中a≠0，p

为正整数。

（5）在进行幂的运算时，一般的运算顺序是：先算幂的乘方或积的乘方，然后才是同底数幂相乘或相除。

五、用科学记数法表示小于1的正数

在七年级上册学习到的科学计数法是讲一个绝对值较大的数写成10na的形式（其中1a＜10，n为正整数）

同样对于一个小于1的正数也可以用科学计数法表示

一般的，一个小于1的正数可以表示10na的形式（其中1a＜10，其中n为负整数＝

方法：将一个小于1的正数写成10na的形式n为负整数，n等于第一个非零数字前面所有泠的个数（包括

小数点前面的零）

题型一：比较幂的大小

方法一：化幂的底数为相同后，通过比较指数的大小来确定幂的大小

1.314161a=b=27c=9abc若81，，，则比较、、的大小关系是

方法二：化幂的知识为相同后，通过比较底数大大小来确定幂的大小

2.444333222a=b=3c=5abc已知1，，，则比较、、的大小关系是

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方法三：将幂乘方后，通过比较乘方所得数的大小来确定幂的大小

3.35a=3b=4ab已知，，则比较、的大小关系是

方法四：利用中间量传递来确定幂的大小

4.16131533比较和的大小

5.计算541053

423223aaaaaaa

题型二、法则的逆用

（1）逆用同底数幂的乘法法则

根据同底数幂的乘法法则，可以得到mnmnaaa（m，n都是正整数）。其中，等式右边的两个幂的底数与等式

左边幂的底数相同，右边幂的指数和等于左边幂的指数

+n5=4,535n已知，求的值。7计算2007200822+

（2）逆用幂的乘方法则

根据幂的乘方法则，可以得到nm

mnmnaaa（m，n都是正整数）。

（3）逆用积的乘方法则

根据积的乘方法则，可以得到n

nnabab，特点是：将指数相同的两个幂的积转化为两个底数的积的幂。

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8.2n64=3,aann已知a求的值9.计算：2.12524

10.已知mm25=52，求m的值。

11.把下列化成nkxy（k为系数的形式）38137

54

6326

yxxyyx









12.先化简，在求值：3

2

332

11

,,4.

24

ababb









其中a=

13.设n是正整数，且42

n32=3,-4n

nx４x求２ｘ的值

14.已知2a+3b5,106,10ab已知10求的值15.计算：2

2010

20100.045







（4）逆用同底数幂的除法法则

A.变负整数指数为正整数指数B.逆用同底数幂除法的法则

16.计算：102

311

162

332









17.3464,16,mnmnaaa已知求的值

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18.2105,1015,10xyxyz已知则

19若2,mnnxxx则m=

20.已知031,x则（）

A、4xB、2xC、x为任意数D、3x

21.计算：（1）

101331

223









（2）2

2

310

1

2815

2



















22.化简并计算

（1）23xyyxxy（2）2323xyxyyxyx

（3）23abcbcacab（4）23

32abba







（5）32

23323mmmmm（6）3

2

2nnaabb









（7）已知

2

11912

11

,

28

mnababmn









求和的值（8）比较161023与101423的大小

（9）3

24aa（10）已知4

4

34,3,2012

81

mmnn求的值

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（11）229,6,4,mnkmnkxxxx求值（12）已知51,xx试探究x的取值

222222

9,6,4,

9644

mnk

mnkmnk

xxx

xxxx





因为

所以

23.已知33

3322423,2,mnmnmnmnabababab求的值

原式=33

22422232327mnmnmnababab

24.学习了整数幂的运算后，小明给小华出了这样一道题目：试比较5554443333,4,5的大小，小华怎么也做不出来，聪

明的同学你能帮小华解答吗？

111111111

111111

111111

,125

125,





444455551113333

3

442563=3=243,55，

因为256243所以435。

25.计算nnabba，其中n为自然数。

当n为偶数是，原式=2nab

；当n为奇数时候，原式=

2nab

26.若x＜-1，则120,xxx，之前的大小关系是什么？（按从大到小的顺序排列）

取特殊值，如当x=-2时，120

120120

11

=2=2,21,

24

xxxxxx

，所以。







01(1),51

511;

1151451

064.

x

x

x

aax

x

xxx

x







所以当x=0时，x-50,此时。

又因为1的任何次幂都等于1，所以当，即x=6时，x-5

又因为的偶次方等于，所以当，即时，

综上可知，的值为或或