展开式公式

二项式定理中展开式系数的六种常见类型

求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理

试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。

一、

(ab)n(nN)

型

例1

．

(x2y)10的展开式中

x6y4项的系数是（）

（A）840（B）－840（C）210（D）－210

解析：在通项公式

T

r1

rC

10

(2y)rx10r中令

r

=4，即得

(x2y)10的展

4开式中x6y4项的系数为C

10

(2)4=840,故选A。

例2．(x

1

x

)8展开式中

x5的系数为。

解析：通项公式

T

r1

Cxr

8

8r(

1

x

)(1)Cxrrr

8

3

8r

2

3

，由题意得

8r5

，

2

则r2，故所求x

5的系数为(1)2C

8

228。

评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定

系数法确定

r

的值。

二、

(ab)(cd)(n,mN)

型

21

例3

．

(x3)4(x)8的展开式中整理后的常数项等于.

xx

2

r34

2

rrr124r解析；

(x3)4的通项公式为

T

r1

C

,令

()(x)rC

44

(2)x

x

x

2

332=－32,124r0，则r3,这时得

(x3)4的展开式中的常数项为C

4x

nm

1

k

1

k8kk82k()xC

8

x

,令82k0，则k4,这时得

(x)8的通项公式为

T

k1

C

8x

x

121

(x)8的展开式中的常数项为C

8

4=70，故

(x3)4(x)8的展开式中常数项

xxx

等于327038。

例4

．

在(1x)5(1x)6的展开式中，含x3的项的系数是（）

(A)

5

(B)5(C)

10

(D)10

解析：(1x)5中

x3的系数C

5

310,(1x)6中

x3的系数为

3C

6

(1)320,故(1x)5(1x)6的展开式中

x3的系数为

10

,故选D。

评注：求型如(ab)n(cd)m(n,mN)的展开式中某一项的系数，可分

别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。

nm(ab)(cd)(n,mN)

型三、

27例5

．

(x1)(x2)

的展开式中

x3项的系数是。

13(2)6和C

7

(2)4，故解析：(x2)7的展开式中x、

x3的系数分别为C

7

13(2)6+C

7

(2)4=1008。(x21)(x2)7的展开式中

x3项的系数为C

7

例6

．



x1



x1



的展开式中

x5的系数是（）

（A）14（B）14（C）28

（D）28

略解：(x1)8的展开式中

x4、

x5的系数分别为C

8

4和C

8

5,故



x1



x1



展

开式中

x5的系数为C

8

4C

8

514,故选B。

评注：求型如(ab)n(cd)m(n,mN)的展开式中某一项的系数，可分别

展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。

四、

(abc)n

8

8

(nN)

型

x1

例7

．

(2)5的展开式中整理后的常数项为.

2x

k1

x1



x1



k

2

x

5解法一：

(2)

=



()2



，通项公式T

k1

C

5

2()5k,

2x

2x2x

5

x1

()5k的通项公式为T

r1

C

5

r

k

xrx5kr2(5kr)C

5

r

k

x52rk2kr5,令

2x

52rk0，则k2r5，可得

k1,r2

或

k3,r1

或

k5,r0

。

当

k1,r2

时，得展开式中项为CC2221

5

2

4

1

2

152

；

2

31当

k3,r1

时,，得展开式中项为C

5

C

2

2221202；

5当

k5,r0

时，得展开式中项为C

5

4242。

152632

x1

20242综上，

(2)5的展开式中整理后的常数项为。

22

2x

x222x2

5

(x2)2x1

5)=解法二：

(2)

=(

2x

2x(2x)5



5(x2)10=，对于二

5(2x)

r10r项式(x2)10中，T

r1

C

10

x(2)r，要得到常数项需10r5，即r5。所

5C

10

(2)5632

以，常数项为。

2

25

x1x1

解法三：

(2)5是5个三项式

(2)

相乘。常数项的产生有三

2x2x

x1

x

种情况：在5个相乘的三项式

(2)

中，从其中一个取，从另外4个三

2x

2

1

项式中选一个取，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得

x

x1

1

1

13从其中两个取，从另外3个三项式中选两个取，

C

5

C

4

C

3

(2)3202

；

2

2x

115

从剩余的1个三项式中取常数项相乘，可得

C

5

2()2C

3

222

；从5个相

22

x1

5乘的三项式

(2)

中取常数项相乘，可得C

5

(2)5=

42

。

2x

x1

综上，

(2)5的展开式中整理后的常数项为

2x

202

152632

42。

22

评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项

式来解决。解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法

原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。

mm1五、

(ab)(ab)(ab)n(m,nN,1mn)

型

例8

．

在(1x)(1x)2(1x)6的展开式中，x2项的系数是。

（用数字作答）

22C

3

2C

4

C

5

2C

6

235。解析：由题意得x

2项的系数为C

2

例9

．

在(1－x)＋(1－x)＋(1－x)＋(1－x)的展开式中，含x的项的系数是56783

()

(A)74(B)121(C)－74(D)－121

解析

8

：(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－

(1x)5[1(1x)4](1x)5(1x)9x)

=

1(1x)x

(1x)5中

x4的系数为

C

5

45

，

(1x)9中

x4的系数为

－C

9

4126

,

－

126+5=

－

121,故选D。

评注：

例8的解法是先求出各展开式中

x2项的系数，然后再相加；例9则

从整体出发，把原式看作首相为(1－x)5，公比为(1－x)的等比数列的前4项和，

用等比数列求和公式减少项数，简化了运算。例8和例9的解答方法是求

(ab)m(ab)m1(ab)n(m,nN,1mn)的展开式中某特定项系数的

两种常规方法。

六、求展开式中若干项系数的和或差

例10

．

若(12x)2004a

0

a

1

xa

2

x2...a

2004

x2004(xR)

，

则(a

0

a

1

)(a

0

a

2

)(a

0

a

3

)(a

0

a

2004

)_______。(用数字作答)

解析：在(12x)2004a

0

a

1

xa

2

x2...a

2004

x2004中，令x0，则a

0

1，

令x1，则a

0

a

1

a

2

a

3

a

2004

(1)20041

故(a

0

a

1

)(a

0

a

2

)(a

0

a

3

)(a

0

a

2004

)

=2003a

0

+a

0

a

1

a

2

a

3

a

2004

2004。

例11

．

(2x3)4a

0

a

1

xa

2

x2a

3

x3a

4

x

的值为（）

(A)1(B)－1(C)0(D)2

解析：在

(2x3)4a

0

a

1

xa

2

x2a

3

x3a

4

x4中，

令x1，可得a

0

a

1

a

2

a

3

a

4



(23)4，

令x1，可得a

0

a

1

a

2

a

3

a

4



(23)4

4，则(a

0

a

2

a

4

)2(a

1

a

3

)2

所以，

(a

0

a

2

a

4

)2(a

1

a

3

)2=(a

0

a

2

a

4

a

1

a

3

)(a

0

a

2

a

4

a

1

a

3

)

=(a

0

a

1

a

2

a

3

a

4

)(a

0

a

1

a

2

a

3

a

4

)=(23)4(23)4=1

,故

选

A。

评注：

求展开式中若干项系数的和或差常采用“赋值法”。

赋值法是给代数式

(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题

的目的，

它普遍适用于恒等式，是一种重要的解题方法

。实际上赋值法所体现的

是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应

用尤为明显，巧赋特值可减少运算量。