可交换矩阵

矩阵可交换成立的条件与性质

毕业设计（论文）

题目矩阵可交换成立的条件与性质

学院理学院专业数学与应用数学

年级2008级班级0814

姓名吴锦娜学号2008530088

指导教师李伟职称副教授

矩阵可交换成立的条件与性质

矩阵可交换成立的条件与性质

[摘要］矩阵是高等数学中一个重要内容，在数学领域以及其他科学领域有着重大的理论

意义．众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，BAAB．但

是,在某些特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律．可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的

作用．本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵

的部分性质及应用，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵．

[关键词］矩阵可交换条件性质应用

矩阵可交换成立的条件与性质

TheConditionsforTheCommutationofMatrixandItsSomeProperties

［Abstract]Matrix，aimportantcontentinaltitude－mathematics，hasagreattheoretic

significanceintheaspectofbothmathematicsandothersciencefield。Asfaraswehaveconcerned，

themultiplicationofmatrixcouldnotsatisfytheexchangeruleunderthenormalcondition,that

istosay,normally，AB≠BA。Whereas,insomecertainconditions,themultiplicationofmatrix

couldsatisfytheexchangerule。Theexchangeablematrixhasmanyspecialpropertiesandimportant

effection。Thispaperdiscusssomeconditionsofthematrixexchangeandpartoftheproperty

oftheexchangeablematrix,andalsointroducesveralkindsofspecificexchangeablematrix.

Allofthearediscusdfromtheconceptofexchangeablematrixandrelativeinformation。

［Keywords]MatrixInterchangeableConditionsPropertyApplication

矩阵可交换成立的条件与性质

目录

引言……………………………………………………………………………………………1

1.矩阵可交换成立的条件……………………………………………………………………1

1.1矩阵可交换成立的充分条件…………………………………………………………1

1。2矩阵可交换成立的充要条件…………………………………………………………4

2。可交换矩阵的性质…………………………………………………………………………6

3。几类常用的可交换矩阵……………………………………………………………………9

4.可交换矩阵的应用………………………………………………………………………11

结论…………………………………………………………………………………………15

致谢语………………………………………………………………………………………16

参考文献……………………………………………………………………………………17

矩阵可交换成立的条件与性质

1

引言

矩阵是高等代数以及线性代数的重要内容．由矩阵的理论可知,矩阵的乘法不适合交换律。

矩阵的乘法不满足交换律，其原因有以下几点：

（1）AB有意义时，BA不一定有意义；

（2）AB与BA均有意义时,阶数可能不相等；

（3）AB与BA均有意义，且阶数相等时，BAAB仍可能出现[1］．

但是,在某些特殊情况下，矩阵的乘法是满足交换律的.如果两个矩阵A与B满足BAAB，则

称矩阵A与B是可交换的，这样的矩阵称为可交换矩阵．可交换矩阵有许多良好的性质．

本课题从可交换矩阵和各类矩阵的定义出发，在指导教师的指导下，分析、筛选已有的信

息资料,在此基础上,重点分析书本已有结论成立的条件及证明技巧，对可交换矩阵成立的条件

做了进一步深入的探讨，意图得到一些新的性质和特殊的应用．

本课题对矩阵可交换成立的条件与性质这个问题的研究,目的在于给出矩阵可交换成立的

条件，得出一些可交换矩阵的良好性质，进一步促进和完善矩阵理论，这对矩阵理论的研究具

有重要的意义(文中的矩阵如无特别说明，均指

n

阶实方阵）．

1矩阵可交换成立的条件

1.1矩阵可交换成立的充分条件

定理1。1。1设EAB,则BA，可交换.

证明当EAB时，BA，均可逆，且互为逆矩阵,故

EBA，

矩阵可交换成立的条件与性质

2

因此

BAAB.

即BA，可交换．

定理1.1.2[2］（1）设BAAB，其中



,为非零实数，则BA，可交换；

（2）设mAEABα，其中

m

为正整数,

α

为非零实数，则BA，可交换.

证明（1）由BAAB可得

EBEAE，

即

αβ

1EEBEA.

故由定理1。1。1，得

αβ

1EEAEB,

于是

EEBABA，

所以

ABBABA。

得证，BA，可交换．

（2)由mAEαAB得,

EBAA1m,

故由定理1.1.1得

EABA1m，

所以

mAEBA，

矩阵可交换成立的条件与性质

3

因此可得

BAAB，

即BA，可交换．

定理1.1。3［3](1)设A可逆，若OAB,或ABA或BAA，则BA，可交换；

（2）设BA，均可逆,若对任意实数k,均有E)B(AAk，则BA，可交换．

证明（1）若OAB，由A可逆得

OABABAAB11

从而

OBA，

所以

BAAB.

若ABA，同理可得

EABABAAB11,

所以

BAAB。

若BAA，同理可得

EABAAABB11)(，

所以

BAAB。

（2)证法一：因为BA，均可逆，故由BkEAA得

A

kEAB1，

则

T

T

TTAkEABkEABA1

矩阵可交换成立的条件与性质

4

1T

T

T

TkEAAkEAB

1kEAkAAABTTTTT

1kEAkEAABTTTT

TTAB

TAB)(

.

两边取转置可得

BAAB,

即BA，可交换．

证法二：由BA，均可逆，可得

1

11

11





AkEABkEABA

E)(AAkEABk1

1

1





E)(AkAABk1

21



E)(AAkEABk1

1



11AB.

两边取逆可得

BAAB，

即BA，可交换．

1.2矩阵可交换成立的充要条件

定理1。2。1[4］以下均是BA，可交换的充要条件:

(1）TT

TBAAB

；

（2）**

*BAAB

.

矩阵可交换成立的条件与性质

5

证明（1）分别由BAAB,TT

TBAAB

两边取转置可证得;

(2)分别由BAAB，**

*BAAB

两边取伴随可证得．

定理1。2.2可逆矩阵BA，可交换的充要条件是11

1



BAAB

.

证明因为BAAB，

故有

11

11

11



BABAABAB

即，1A和1B是可交换的．

反之，因1A和1B可交换，故有

1

1111

1



ABABBABA

两边求逆得到

BAAB。

定理1。2。3[5]设BA，均为对称矩阵，则BA，可交换的充要条件是AB为对称矩阵．

证明设BA，均为对称矩阵，由于BAAB，则

ABBAABABTT

T

所以AB是对称的．

反之，注意到

ABABT

,

所以

BAABABABTT

T

因此，BA，可交换．

定理1.2.4A设为对称矩阵，B为反对称矩阵,则BA，可交换的充要条件是AB为反对称矩

阵.

证明设AAT，BBT由于BAAB，

矩阵可交换成立的条件与性质

6

所以

)(ABBAABABTT

T

。

所以AB为反对称矩阵.

反之，若AB为反对称矩阵,则

)(BAABABABTT

T，

从而

BAAB。

定理1。2.5设BA，均为反对称矩阵，则BA，可交换的充要条件是AB为对称矩阵．

证明因为AB均为反对称矩阵，故有AAT，BBT

又因为BA，可交换，故有

BAAB。

从而

BAABBAABABTT

T

,

反之,若AB为对称矩阵，则

ABBAABABABABTT

T

，

所以BA，是可交换的.

定理1.2.6[6]设BA，均为对称正定矩阵，则BA，可交换的充要条件均为AB对称正定矩

阵．

证明充分性由定理1.2。3可得，下面证明必要性:

因为BA，均为对称正定矩阵，故有可逆矩阵P，Q，使得

TPPA，TBBB

于是

TTQQPPAB

矩阵可交换成立的条件与性质

7

T

TTQPQPABPP1

所以ABPP1为对称正定矩阵，其特征值全为正数

而AB与ABPP1相似,从而AB的特征值也全为正数，

因此AB为对称正定矩阵。

2可交换矩阵的性质

高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质．

性质2.1若BA，可交换,则BABABABABA22.

证明因为

22BBAABABABA

22BBAABABABA

由已知

BAAB，

可得

BABABABABA22。

性质2。2若BA，可交换，则222BABABA2

．

证明由矩阵运算法则可得

BABABA2

22BBAABA

由已知

矩阵可交换成立的条件与性质

8

BAAB,

可得

2BA222BABA

同理可得

2BA222BABA。

性质2。3若BA，可交换,则kk

kBAAB

,ABABmm.

证明由已知BAAB，可得

kk

kBAABAABBABABABAB

，

同理可得

ABABBBBBABBABBABmm.

性质2。4若BA，可交换，则ABBAff，其中Bf是B的多项式，即A与B的多项式

可交换．

证明因为A与B的任意多项式Af与Bf相乘展开的每一项都是kA与mB的形式,其

中,mk，皆为正整数.故要证这个命题,只要证kA与mB可交换即可.

由性质2。3，可得，若BA，可交换，kA与mB可交换.从而，可证得A与B的多项式可交

换．

性质2。5若BA，可交换，则)(121mmmmmBBAABABA

BABBAA)(121mmm。

证明运用数学归纳法．

(1）当2m时，由性质2.2,等式成立，

BABABA22，

（2）假设1km，等式成立，即有

)(23211kkkkkBBAABABA

矩阵可交换成立的条件与性质

9

(3）当km时，由已知BAAB,有

ABBABABABA1111kkkkkk

ABBABABBAABA11232)(kkkkk

kkkkkkBABABBABAA3322221

BA1kAB1k

由性质2。3，有

11kkABAB，11kkBABAABABmm，

因此，上式可以转化为

kkBAABBABABABBABAA113322221kkkkkkkk

kkkkkkkBABABABBABAA2211221

BABBABABAA121kkk

BABBAA)(121kkk

即

mmBABABBAA)(121mmm。

由性质2。3可得，

)(121mmmBBAABA)(121mmmBBAA)(BA

即可证得

)(121mmmmmBBAABABA

BABBAA)(121mmm.

性质2。6(矩阵二项式定理)若BA，可交换，则

kkm

mBACBA

m

0k

k

m







.

证明对

m

用数学归纳法同性质2.5即可证得．

性质2.7[7］设BA，可交换，则有：

(1）若BA，均为对合矩阵，则AB也为对合矩阵；

(2)若BA，均为幂等矩阵，则AB,ABBA也为幂等矩阵；

矩阵可交换成立的条件与性质

10

(3）若BA，均为幂幺矩阵，且使EAk，EBk，则AB也为幂幺矩阵；

（4)若BA，均为幂零矩阵，则AB，BA均为幂零矩阵。

证明(1)因为BA，都是对合矩阵，故

EA2，EB2

又BA，可交换，则

BAAB,

所以

EABABAB2

故AB是对合矩阵．

（2）因为BA，皆为幂等矩阵，故

AA2，BB2

当BAAB时，有

ABAABABAABBAABABAB2

故AB也是幂等矩阵

同理可得，

2）（ABBA）（ABBA）（ABBA

ABABBABBAABBABABABAA2222

AABBABBABABBABAABBAA

ABABABABBABABABA

ABBA

（3）因为EAk,E

Bk且BA，可交换

所以

(AB)(AB)(AB)ABk

B)A)(BB(AA

矩阵可交换成立的条件与性质

11

kkBA

EE

E。

得证AB是幂幺矩阵。

（4）设O

Al，O

A1l，O

Bk,O

B1l（11kl，），

令)min(klh，，则

O

BA

ABhh

h

,

令klm，则

BAm

=O

BA

Ckkm

m

0k

k

m







证毕．

性质2.8若BA，可交换，且A是可逆的，则BA，1也可交换.

证明因为BAAB，A可逆,1A存在，故

BAAABA11，BAAB1,

BABA)A(ABA1111，

即BA，1可交换．

性质2.9若BA，可交换，A且是正交阵,则BAT，也可交换

证明因为BAAB，A是正交阵，

故

BEBABABAATT

BAABAABATTTT

得证BAT，也可交换.

矩阵可交换成立的条件与性质

12

性质2.10形如















22

1211

a

aa

A

0

且

a11

=

a22

的二阶上三角阵的交换阵仍是二阶上三角阵















22

1211

b

bb

B

0

，且

b11

=

b22

,其中

aij

，

bij

211，，ji为任意实数，则BA，可交换．

证明















22

1211

a

aa

AB

0













22

1211

b

bb

0

=















ba

bababa

2222

221212111111

0















22

1211

b

bb

BA

0













22

1211

a

aa

0

=















ba

bababa

2222

221212111111

0

又

a11

=

a22

,

b11

=

b22

，所以

BAAB.

3几类常用的可交换矩阵

定理3。1［8］

（1)设BA，至少有一个为零矩阵，则BA，可交换；

（2）设BA，至少有一个为单位矩阵，则BA，可交换；

（3）设BA，至少有一个为数量矩阵,则BA，可交换;

（4）设BA，均为对角矩阵，则BA，可交换；

（5)设BA，均为准对角矩阵，则BA，可交换；

（6）设*A是A的伴随矩阵，则*A与A可交换；

（7）设A可逆,则1A与A可交换。

证明：

（1）对任意的矩阵A，均有：OAAO，O表示零矩阵；

（2）对任意的矩阵A,均有:EAAE，E表示单位矩阵;

矩阵可交换成立的条件与性质

13

（3）对任意的矩阵A，均有：EAEAkk，k为任意实数；

(4)、（5）显然成立；

（6）

EAAAAA**；

(7）EAAAA11.

4可交换矩阵的应用

例4。1

n

阶数量矩阵能与所有的

n

阶矩阵可交换。即对任意一个

n

阶矩阵A,都有

)((EAE)Akk，其中E为

n

阶单位矩阵，k为一常数.

证明由矩阵的数量乘法的运算律可得

E)A(k(AE)(EA)E)Akkk(。

例4。2[9］如果矩阵A与所有的n阶矩阵可交换，则A一定是数量矩阵，即kEA。其中E

为

n

阶单位矩阵，k为一常数。

证明记

nn

ij

aA





，用

ij

E

将第i行第j列的元素表示为1，而其余元素为零的

nn

矩阵。

因为A与任何的矩阵均可交换，所以A必与

Eij

可交换。

由定理3。1。（2)得,

AEAE

ijij



所以

jjii

aa

nji，，，，211以及0

ij

anjiji，，，，，21，

故A是数量矩阵。

例4.3若矩阵BA，都与C可交换，则ABnBmA，也都与C可交换。

证明已知CAAC，CBBC，

那么

nCBmCAnBCmACCnBmA

矩阵可交换成立的条件与性质

14

ABCACBBCACAB

得证ABnBmA，都与C可交换.

例4.4［10］（1）由已知设矩阵

n

aaadiagA，，

21

，

为对角矩阵，其中ji时

ji

aa

nji，，，，21，则BA，可交换的充要条件是B为对角矩阵；

（2)由已知设

rr

EaEaEadiagA，，

21

，为准对角矩阵,其中ji时

ji

aanji，，，，21，

i

E

是

i

n阶单位矩阵，n





r

1i

in

，则BA，可交换的充要条件是B为准对角矩阵．

证明（1）若BA，皆为对角矩阵,则由定理1.3.（4）知BA，可交换。

若B与

n

aaadiagA，，

21

，可交换,ji时

j

aa

i

nji，，，，21，

设

nn

ij

bB





,

nn

ij

cAB





，

nn

ij

dBA





，

因为A为对角矩阵,所以

bacijiij

，

badijjij

nji，，，，21

因为BAAB，可得

dcijij

nji，，，，21

得

0baa

ijji



而ji时

ji

aanji，，，，21

故

0

ij

b

，nji，，，，21

所以B为对角矩阵。

（2）仿（1）不难证（2）．

利用矩阵的可交换性，我们还可以使一些矩阵的运算简化，尤其是求矩阵的

n

次幂。下面举

例说明.

例4.5计算

n

















10

11

，

n

是正整数。

矩阵可交换成立的条件与性质

15

解设BEA























































00

10

10

01

10

11n

则





















































00

00

00

10

00

10

2B

因为BE，可交换,所以由二项式定理可得

nn

n

n

n

n

n

nCCBBEBEEBEA22211

EBEn

BEn





































00

10

10

01

n



















10

1n

即

n

















10

11



















10

1n

.

例4.6计算

n

















11

11

,

n

是正整数。

解设

BEA























































01

10

10

01

11

11

EB





















































10

01

01

10

01

10

2

BEBBBB23

EEEBBB224

又E，B可交换,所以由二项式定理可得

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

nCCCCBBEBEEBEA222110

BEn

nnn

n

nnn

CCCCCC31120

BE1122nn

矩阵可交换成立的条件与性质

16





































01

10

2

10

01

211nn























11

11

22

22

nn

nn

即

n

















11

11























11

11

22

22

nn

nn

.

注意到以上两个例子的求解过程中,都是把较复杂的矩阵变成两个矩阵的和，再利用二项式

定理,求出最后的和.这里必须指出一点，在把一个矩阵变成两个矩阵合的时候，这两个矩阵一

定要满足可交换的条件，才能运用二项式定理.否则会得到错误的结果.例如例4。5，如果设

DBA























































10

10

00

01

10

11

则

2B

















00

01

















00

01

B



















00

01

,…，BBn

2D

















10

10

















10

10

D



















10

10

，…,DDn

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

nCCCCDDBDBBDBA222110

DBDBDB11n

nn

CC

DBDB121n

nnn

CCC























































10

10

00

10

2

00

01

1n

即

n

















10

11























10

1211n

.

结论

本文通过大量的例题对可交换矩阵在计算与证明两方面的应用进行了总结分析，在证明方

矩阵可交换成立的条件与性质

17

面，涉及了矩阵的相关问题；在计算方面利用可交换矩阵这一工具我们主要解决了矩阵运算的

简化问题，通过本文的论述，充分体现了可交换矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优

越性，也给出了可交换矩阵和矩阵可交换在代数学中所具有的重要地位，当然在对可交换矩阵

的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，所以在应用的完整性上还有

待改进，并可以继续进行研究探讨。

致谢语

本文是在导师李伟副教授的细心指导下完成的，导师在学业上的谆谆教诲和身体力行、在

生活上的默默关心和无私帮助将使我受益终身，在此谨向导师表示衷心的感谢！导师对科学事

业的献身精神以及高度的敬业精神，为学生们树立了良好的风范，也是我今后所追求的目标。

“登泰山始懂尊冠五岳,遇导师才知德高智睿”,师恩浩瀚，溢于言表！课题的顺利进行,还得

益于四年来各位同门的支持和帮助，在此特别感谢在文献查阅与思路启发上给予的莫大帮助,为

研究工作的顺利进行奠定了基础.感谢本课题组的兄弟姐妹提供的友好合作和无私帮助，永远难

忘在一起拼搏的日日夜夜。最后谨向所有帮助和支持过我的领导、老师、同学及亲友们表示最

诚挚的谢意.

矩阵可交换成立的条件与性质

18

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