可导的充要条件

总第４９期

Ｓｕｍ ＮＯ．４９

南京广播电视大学学报

Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎａｎｊｉｎｇ Ｒａｄｉｏ＆－ｒｖ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

２００７年第４期

ＮＯ．４．２００７

乘积函数可导的充要条件及其应用

金晓菁

（南通职业大学，江苏南通２２６００７）

【摘要】两个函数的乘积在某一点可导，并不一定要求这两个函数在该点都可导。这种可导性的研究．

在考研数学中的应用十分广泛。

【关键词】乘积函数 分段函数 连续性 可导性 考研数学

【中图分类号】 Ｉ１０６ 【文献标识码】 Ａ 【文章编号】 １００９—１４５９（２００７）０４—００４６—０２

有关定理

众所周知：若两个函数在某一点都可导，则它们的乘积在该点也可导．反之，在考研数学中，经常需

要研究的问题是：若两个函数的乘积在某一点可导，则它的充分条件是什么？必要条件又是什么？

定理若“ ：旌ＸｏＮ－￣，１， ）在 连续但不可导，则ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）在 可导铮 （Ｘｏ）＝Ｏ．

证明先证： ．因ｕ（ｘ）ｖ ）在 可导，故由， （ ）： ｍ０ ，

设， ）： ） ），则Ｉｉｍ竺（ ± ！ （ ± ！二竺（ Ｉ至（ ！存在．

＿÷ｏ

又因ｕ（ｘ）在 可导，１， ）在 连续，故

ｌｉｍ竺（ ± ！！（ ± ！二竺（ ！ ！

ｌｉｍ

△ Ｏ

＝ＵＩ（％

Ｕ（Ｘｏ＋￣ ）Ｕ（Ｘｏ）ｖ（

。 ）＋ 、

）ｙ（ 州Ｊｃｏ）牌

（ ） （ ＋ ）一 （ ） （ 。）］

Ａｘ Ｊ

Ｖ（Ｘｏ＋￣）－Ｖ（Ｘｏ） （ ）

Ａ ｘ 、

其中，因１，（咖： 不可导，故 不存在，于是，上式成立的条件为

（ ）＝ｏ。再证仁一，，（ ）

ｌｉｍ

设ｆ ）＝ ）１， ），则因 （ ）＝０，１，（ ）Ｘ在 ｘｏ连续

故

＿÷

［ （ ） （ ）］

＊ｘｏ Ｘ——Ｘｏ

【收稿日期１２００７—０９—１４

【作者简介】金晓菁，女，高级讲师，南通职业大学机械工程系。

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金晓菁：乘积函数可导的充要条件及其应用

二、应用举例

例１（１９９５年考研数学一试题）设‘厂 ）可导，Ｆ ）＝厂 ）（１＋ｓｉｎ ｘ），则ｆ（ｏ）＝０是Ｆ（ｘ）

在 ＝Ｏ可导的

（Ａ）充分必要条件 （Ｂ）充分条件但非必要条件

（Ｃ）必要条件但非充分条件 （Ｄ）既非充分条件又非必要条件

分析因很难利用排除法或观察法对本题作出选择，故只能从定义出发．分别验证充分性和必要

性。下面直接利用本文定理的结论，很快即可得到答案。

解因ｆ ）在 ＝ｏ可导，ｌｓｉｎｘ ＝ｏ连续但不可导，故由本文定理的结论知，ｆ（ｏ）＝０

是Ｆ（， １在 ＝０可导的充要条件．故选（Ａ）．

例２（１９９８年考研数学一试题）函数厂（ ）＝（ －ｘ－２）ｘ 一 ｌ不可导点的个数是

（Ａ）３ （ｎ）２ （Ｃ）１ （Ｄ）Ｏ

分析因绝对值函数的本质是分段函数．而分段函数就有可能出现不可导的尖点．故本题的通常解

法是：先将ｆ ）改写为

ｆ（ ）＝

（ －ｘ－２）ｘＯ－ｘ ），

（ －ｘ－２）ｘ（ｘ －１），

（ －ｘ－２）ｘＯ－ｘ ），

（ －ｘ－２）ｘ（ｘ －１），

＜一１．

１≤ ＜０．

０≤ ＜１．

１≤ ．

然后分别求三个界点 ＝０，±ｌ处的左右导数（共六个）

从而判定不可导点的个数．

解因 ）＝ 一 一２处处可导， Ｘ）￣Ｘ３－Ｘｌ＝ｌＸｌｌＸ 一ｌｌ在ｘ＝Ｏ，±ｌ连续但不可导，故由

本文定理的结论知： （一１）＝ｏｊ厂 ）在 ＝一１可导； （ｏ）＝ （１）＝一２≠ｏｊ ｆ ）

在 ＝０，１不可导，故选（Ｂ）．

【参考文献】

【１】同济大学应用数学系．高等数学【Ｍ】．北京：高等教育出版社，２００２

【２】华东师范大学数学系．数学分析ｆＭ】．北京：高等教育出版社，２００２

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