势能的定义

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重力势能和弹性势能

【学习目标】

1．理解重力势能的概念，会用重力势能的定义式进行计算．

2．理解重力势能的变化和重力做功的关系．知道重力做功与路径无关．

3．知道重力势能的相对性．

4．明确弹性势能的含义，理解弹性势能的相对性

5．知道弹性势能与哪些量有关．

【要点梳理】

要点一、重力做功的特点

要点诠释：

重力对物体所做的功只跟物体的初末位置的高度有关，跟物体运动的路径无关．物体沿闭合的路径运

动一周，重力做功为零，其实恒力(大小方向不变)做功都具有这一特点．

如物体由A位置运动到B位置，如图所示，A、B两位置的高度分别为h

1

、h

2

，物体的质量为m，无

论从A到B路径如何，重力做的功均为：

cos

G

Wmgl＝mgh＝mg(h

1

-h

2

)＝mgh

1

-mgh

2

．

可见重力做功与路径无关．

要点二、重力势能

要点诠释：

(1)定义：物体由于被举高而具有的能．

(2)公式：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积．

h是物体重心到参考平面的高度．

(3)单位：焦(J)．

1J＝21kgms1Nmm••••．

(4)重力势能是一个相对量，它的数值与参考平面的选择有关．实际上是由h为相对量引起的．参考平

面的选择不同，重力势能的值也就不同，一般取地面为参考平面．

在参考平面内的物体，E

P

＝0；

在参考平面上方的物体，E

P

＞0；

在参考平面下方的物体，E

P

＜0．

(5)重力势能是标量，它的正、负值表示大小．

(6)重力势能是地球和物体共有的．

要点三、重力势能的相对性与重力势能变化的绝对性

要点诠释：

(1)重力势能是一个相对量，它的数值与参考平面的选择有关．在参考平面内，物体的重力势能为零；

在参考平面上方的物体，重力势能为正值；在参考平面下方的物体，重力势能为负值．

(2)重力势能变化的不变性(绝对性)．

尽管重力势能的大小与参考平面的选择有关，但重力势能的变化量都与参考平面的选择无关，这体现

了它的不变性(绝对性)．

(3)某种势能的减少量，等于其相应力所做的功．

重力势能的减少量，等于重力所做的功；弹簧弹性势能的减少量，等于弹簧弹力所做的功．

(4)重力势能的计算公式E

P

＝mgh，只适用于地球表面及其附近g值不变时的范围，若g值变化时，不

能用其计算．

要点四、重力做功和重力势能改变的关系

要点诠释：

(1)设A、B两点为物体在运动过程中所经历的两点(如图所示)。

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若从B点运动到A点，则

G

Wmgh(重力对物体做负功mgh)；从能量的角度，

P

Emgh△(重力

势能增加mgh)．

若从A点运动到B点，则

G

Wmgh(重力对物体做正功mgh)；从能量的角度，

P

Emgh△(重力

势能减小mgh)．可见，重力势能的改变△E

P

只与重力做功

G

W有关，跟物体做什么运动以及是否同时还有

其他作用力(如牵引力、阻力等)的存在无关，即

GP

WE△．也就是说，重力做正功时，重力势能减少，

减少的重力势能等于重力所做的功；克服重力做功时，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做

的功．即

(2)重力做功与重力势能的比较．

概念

比较项目

重力做功重力势能

物理意义重力对物体所做的功

由于物体与地球的相互作用，且由它们之间

的相对位置决定的能

表达式

G

WGhmgh△△

P

Emgh

影响大小的因素重力G和初、末位置的高度差△h重力mg和某一位置的高度h

特点

只与初、末位置的高度差有关，与路

径及参考平面的选择无关

与参考平面的选择有关，同一位置的物体，

选择不同的参考平面会有不同的重力势能

值

过程量状态量

联系

重力做功过程是重力势能变化的过程，重力做正功，重力势能减小，重力做负功，

重力势能增加，且重力做了多少功，重力势能就变化了多少功，即

12GPP

WEE

要点五、弹性势能

要点诠释：

1.弹性势能

发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫做弹性势能。

2.弹性势能的大小跟形变的大小有关，形变量越大，弹性势能越大

对于弹簧来说，弹性势能还与劲度系数有关，当形变量一定时，劲度系数越大的弹簧弹性势能也越大。

3.弹性势能的表达

注意：式中

P

E为弹簧的弹性势能，k为劲度系数，l为弹簧的形变量（即压缩或伸长的长度）

4.弹力做功跟弹性势能变化的关系

当弹簧的弹力做正功时，弹簧的弹性势能减小，弹性势能变成其他形式的能；当弹簧的弹力做负功时，

弹簧的弹性势能增加，其他形式的能转化为弹性势能。

这一点与重力做功跟重力势能变化的关系类似。

【典型例题】

类型一、重力势能的理解

例1、如图所示，一人造卫星绕地球做椭圆轨道运动，试比较该卫星在近地点与远地点时的重力势能大小．

【解析】设A、B两点与地球的距离分别为h

A

和h

B

．

错解一：因为

A

PA

Emgh

，

B

PB

Emgh

，

AB

hh，所以

AB

PP

EE

．

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错解二：设卫星在A、B两处时的重力加速度分别为

A

g与

B

g．则有

2

A

PAAA

AA

GMGMm

Emghmh

hh

，

2

B

PBBB

BB

GMGMm

Emghmh

hh

．因为

AB

hh，所以

AB

PP

EE．

正确解法：在AB连线上取A′点，使A与A′同处于以地心为圆心的同一圆弧上，则A′和A处物体重

力势能大小相等。另外，卫星由B至A′时，引力做正功，重力势能减小，故有

BA

PP

EE．

【总结升华】错解的原因是公式

P

Emgh只能在地球表面及附近g值认为不变时才能适用，而卫星

在A、B两点时的g值不同，重力势能的计算就不能用此公式了．

举一反三

【变式1】塔吊把一质量为200kg的物体，从距地面高为h

1

=10m的高度匀速运到高为h

2

=3m的地方，

重力做了多少功？物体的重力势能如何变化？(g=10m/s2)

【答案】14000J；重力势能减少了14000J

【变式2】下面关于重力势能的说法中，正确的是（）

A．有甲、乙两个物体，甲的高度是乙的高度的2倍，那么物体甲的重力势能的数值一定是物体乙的

3倍

B．从同一高度将某一物体以不同的速率分别竖直上抛和平抛，则物体从抛出到落地的过程中，重力

势能的变化是相同的

C．有一物体从楼顶落到地面，如果受到空气阻力作用，物体重力势能的减小量小于自由下落时重力

势能的减小量

D．重力做功时，不仅与物体运动的高度差有关，还与物体的运动性质、运动路径有关

【答案】B

【解析】重力势能的大小与物体的质量及零势能参考平面的选取有关，故A错；重力做功与路径无关，

与物体的运动性质无关，只与物体的初、末位置的高度差及重力的大小有关，从抛出到落地重力做的正功

相同，物体重力势能的变化是相同的，故B正确，C、D错．

【总结升华】重力做功与路径无关，只取决于初、末位置的高度差；重力势能的变化只与重力做功有

关，两者数值上相等．

类型二、重力势能的相对性与重力势能变化的绝对性

例2、质量为20kg的薄铁板平放在二楼的地面上，二楼地面与楼外地面的高度差为5m．这块铁板相对二

楼地面的重力势能为________J，相对楼外地面的重力势能为________J；将铁板提高1m，若以二楼地面

为参考平面，则铁板的重力势能变化了________J；若以楼外地面为参考平面，则铁板的重力势能变化了

________J．(g取10N/kg)

【思路点拨】注意参考平面的选择。

【答案】

【解析】根据重力势能的定义式，以二楼地面为参考平面：

E

P

＝0．

以楼外地面为参考平面：

E

P

＝mgh＝20×10×5J＝103J．

以二楼地面为参考平面：

以楼外地面为参考平面：

【总结升华】重力势能的相对性是指其数值与参考平面的选择有关；重力势能变化的绝对性是指重力

势能的变化量与所选择的参考平面无关．

举一反三

【变式】桌面B高1m，一质量为1kg的小球，从离桌面1m高的A处自由落下，不计空气阻力，在

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这个过程中，分别取地面和桌面为零势能面来计算。求：(g=10m/s2)

（1）小球在A处和落地时C处的重力势能

（2）小球从A到C的重力所做的功

（3）小球从A到C的重力势能的变化量

【答案】

类型三、等效法计算重力势能的变化

例3、质量为m的均匀链条长为L，开始放在光滑的水平桌面上时，有

1

4

的长度悬在桌边缘，如图所

示，松手后，链条滑离桌面，问从开始到链条刚滑离桌面过程中重力势能变化了多少?

【答案】

15

32P

EmgL△

【解析】解法一：等效法，由图中始态和末态比较，可等效成将开始桌面上的

3

4

的链条移至末态的下

端

3

4

处，故重心下降了

5

8

L，所以重力势能减少了

3515

4832

mgLmgL，即

15

32P

EmgL△．

解法二：设桌面为参考面，开始时重力势能

1

1

4832P

LmgL

Emg，末态时重力势能

222P

LmgL

Emg．

故重力势能变化量

21

15

32PPP

EEEmgL△．

例4、面积很大的水池，水深为H，水面上浮着一正方体小木块，木块边长a，密度为水的1/2，质量

为m．开始时，木块静止，如图甲所示．现用力F将木块缓慢压到水池底部，不计摩擦．求：从木块刚好

完全浸入水中到停止在池底的过程中，木块重力势能的改变量和池水重力势能的改变量．

【解析】由图乙知木块从位置1称到位置2，相当于使同体积的水从位置2移动到位置l，重心升高

H-a，所以池水势能的改变量等于这部分水在位置1和位置2的势能之差．木块的质量为m，与木块同体

积的水的质量为2m，故水块和池水势能的改变量分别为

()EmgHa

木

△

，

2()EmgHa

水

△

．

【总结升华】获取题目信息，同等效思想确定物体重心变化高度是解题关键．

类型四、弹性势能的理解

例5、如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块(可视为质点)的质量为m，

在水平桌面上沿x轴运动，与桌面间的动摩擦因数为μ。以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧

的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F=kx，k为常量。

(1)请画出F随x变化的示意图；并根据F-x图像

求物块沿x轴从O点运动到位置x的过程中弹力所做的功。

(2)物块由x

1

向右运动到x

3

，然后由x

3

返回到x

2

，在这个过程中，

a．求弹力所做的功，并据此求弹性势能的变化量；

b．求滑动摩擦力所做的功；并与弹力做功比较，说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能”的概

念。

【解析】(1)F-x图像如图所示。

物块沿x轴从O点运动到位置x的过程，弹力做负功：F-x图线下的面积等于弹力做功大小。弹力做

功

(2)a．物块由x

1

向右运动到x

3

的过程中，弹力做功

物块由x

3

向左运动到x

2

的过程中，弹力做功

整个过程中，弹力做功

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弹性势能的变化量22

21

11

22PT

EWkxkx△

b．整个过程中，摩擦力做功

与弹力做功比较：弹力做功与实际路径无关，只与始末位置有关，所以，我们可以定义一个由物体之

间的相互作用力(弹力)和相对位置决定的能量——弹性势能。而摩擦力做功与x

3

有关，即与实际路径有关，

所以，不可以定义与摩擦力对应的“摩擦力势能”。

【总结升华】（1）由题设F=kx可知F与x成正比，即可画出F-x图像。图线下的面积即是弹力做功大

小。（2）a.由弹力做功表达式求出全过程弹力功，弹性势能变化量等于弹力做功的负值。b.列出全过程摩

擦力的功的表达式可知，摩擦力做功与实际路径有关，所以不能定义“摩擦力势能”。

举一反三

【变式1】在光滑的水平面上，物体A以较大的速度v

A

向右运动，与较小速度v

B

向同一方向运动的、

连有轻质弹簧的物体B发生相互作用，如图所示。在相互作用的过程中，弹簧的弹性势能最大时（）

A．v

A

>v

B

B．v

A

B

C．v

A

=v

B

D．无法确定

【答案】C

【变式2】如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在

力F的作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动．在物体向右运动的过程中，下列说法正

确的是（）

A．弹簧的弹性势能逐渐减小

B．弹簧的弹性势能逐渐增大

c．弹簧的弹性势能先增大后减小

D．弹簧的弹性势能先减小后增大

【思路点拨】弹簧被压缩或被拉伸导致的形变量越大最长弹性势能越大。

【解析】由物体处于静止状态可知，弹簧处于压缩状态，撤去F物体在向右运动的过程中，弹簧的弹

力对物体先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能应先减小后增大．

【答案】D

【总结升华】弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势

能增加．

类型五、弹性势能的探究

例6、弹弓是一种兵器，也是一种儿童玩具，它是由两根橡皮条和一个木叉制成的．拉伸橡皮条的过程人

对橡皮条做功，使其具有一定的弹性势能，放手后橡皮条的弹力做功，将储存的弹性势能转化为石子的动

能，使石子以较大的速度飞出，具有一定的杀伤力．试设计一个实验，求出橡皮条在拉伸到一定长度的过

程中，弹力所做的功是多少？橡皮条具有的弹性势能是多少?(只要求设计可行的做法和数据处理方式，不

要求得出结论)

【解析】(1)准备橡皮条、测力计、坐标纸、铅笔、直尺、笔．

(2)将橡皮条的一端固定，另一端拴一绳扣．

(3)用直尺从橡皮条的固定端开始测量橡皮条的原长

0

x，记录在表格中．

(4)用测力计挂在绳扣上，测出在不同拉力F

1

、F

2

、F

3

……的情况下橡皮条的长度

10

x、

20

x、

30

x……

(5)计算出在不同拉力时橡皮条的伸长量

1

x、

2

x、

3

x……

(6)以橡皮条的伸长量为横坐标，以对应的拉力为纵坐标在坐标纸上建立坐标系、描点、并用平滑的曲

线作出Fx图像．

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(7)测量曲线与x轴包围的面积S，这个面积在数值上等于外力克服橡皮条的弹力所做的功，也就是弹

力所做负功的数值．

【总结升华】本题旨在考查学生对探究方法的理解水平，从目标着眼根据实际问题的特殊性设计构思

实验的能力，考查学生对物理图像的理解和微积分思想在处理图像问题中的运用．本题的解答过程还有许

多值得思考的问题：如用

i

Fx，图像能否求出外力克服弹力所做的功；图像与

i

x轴包围的面积为什么是

外力的功；此几何图形的面积如何求得或测得等，同学们可继续探究．

举一反三

【变式】某同学做“探究弹力和弹簧伸条量的关系”的实验。

①图甲是不挂钩码时弹簧下端指针所指的标尺刻度，其示数为7.73cm；图乙是在弹簧下端悬挂钩码

后指针所指的标尺刻度，此时弹簧的伸长量为Δl为________cm；

②本实验通过在弹簧下端悬挂钩码的方法来改变弹簧的弹力，关于此操作，下列选项中规范的做法是

________；（填选项前的字母）

A．逐一增挂钩码，记下每增加一只钩码后指针所指的标尺刻度和对应的钩码总重

B．随意增减钩码，记下增减钩码后指针所指的标尺刻度和对应的钩码总重

③图丙是该同学描绘的弹簧的伸长量Δl与弹力F的关系图线，图线的AB段明显偏离直线OA，造成

这种现象的主要原因是________。

【答案】（1）①6.93②A③超过弹簧的弹性限度

【解析】这是一个“探究弹力合弹簧伸长量之间的关系”的实验题，涉及到刻度尺的读数和实验步骤的考察

以及误差和错误分析。刻度尺读数时注意估读。