log求导

高中数学教案第三册(选修Ⅱ)第3章导数（第10课时）王新敞

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课题：3．5对数函数与指数函数的导数(2)

教学目的：

1.理解掌握指数函数的导数的两个求导公式.

2.在学习了函数的四则运算的求导法则与复合函数的求导法则的基础上，应

用指数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数

教学重点：结合函数四则运算的求导法则及复合函数的求导法则，应用对数函

数、指数函数的求导公式求简单的初等函数的导数．

教学难点：指数函数的求导公式的记忆，以及应用指数函数的求导公式．

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.常见函数的导数公式：

0'C

；1)'(nnnxx；

xxcos)'(sin；xxsin)'(cos

2.法则1)()()]()(['''xvxuxvxu．

法则2[()()]'()()()'()uxvxuxvxuxvx



,[()]'()CuxCux





法则3

'

2

''

(0)

uuvuv

v

vv











3.复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′

x

=′(x)，函数y=f(u)

在点x的对应点u处有导数y′

u

=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也有

导数，且

xux

uyy'''或f′

x

((x))=f′(u)′(x).

4.复合函数的求导法则

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变

量对自变量的导数

5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．

6.对数函数的导数：

x

x

1

)'(lne

x

x

aa

log

1

)'(log

7.引例求函数)100()3)(2)(1(xxxxy)100(x的导数．

分析：这里所给的函数是100个因式的积，对于这种结构形式的函数，直

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接应用乘积的导数法则求导比较繁琐．如果先对两边取对数后再求导，就可以

使问题简化，但必须注意取对数时真数应为正实数．

解：∵)100()3)(2)(1(xxxxy且100x，

∴)100ln()3ln()2ln()1ln(lnxxxxy．

两边对x求导，得

100

1

3

1

2

1

1

1'

















xxxxy

y

，

∴





























100

1

3

1

2

1

1

1

'

xxxx

y

)100()3)(2)(1(xxxx

我们知道指数函数xey、xay和对数函数xyln、xy

a

log互为

反函数，根据这个关系和对数函数的导数公式，我们可以得到指数函数的导数

公式，不过需要用到反函数的求导法则，这超出了我们目前的学习范围．鉴于

此，我们就直接给出指数函数的求导法则．

二、讲解新课：

指数函数的导数：xxee)'(aaaxxln)'(

这两个公式的证明需要用到反函数的求导法则，这超出了目前的学习范围，

所以这里就不再证明.只需记住它的结论，以e为底数的指数函数的导数是它本

身，以a为底数的指数函数的导数是它的本身乘以lna

三、讲解范例：

例1求

xeyx3cos2的导数．

解：

)3sin3(3cos2'22xexeyxxxexexx3sin33cos222．

例2求xay5的导数．

解：

aaaayxxln55ln'55．

例3求下列函数的导数

⑴xeysin；⑵)21ln(xy；⑶xey2)2(；

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⑷

1

ln

2

2





x

x

e

e

y；⑸xy2sin10；⑹3ln

2



x

e

y

x

．

解：⑴xeyxcos'sin；⑵

x

x

y

21

)'21(

'







x

x

21

2ln2



；

⑶)12(ln)2(22)2ln()2('22xxeeey；

⑷)]1ln(2[

2

1

1

ln

2

1

2

2

2





x

x

x

ex

e

e

y，

'y

]

1

2

2[

2

1

2

2





x

x

e

e

1

2

2

1

2



xe1

1

2



xe

；

⑸xxyxcossin210ln10'2sinxx2sin10ln102sin；

⑹

4

22

'

x

xexe

y

xx



3

)2(

x

xex

．

例4求函数y=e-2

xsin3x的导数.

分析：先用积的求导法则，(uv)′=u′v+uv′，再用复合函数的求导法则求

导，

xux

uyy'''

解：y′=(e-2

x)′sin3x+e-2

x·(sin3x)′=e-2

x(－2x)′sin3x+e-2

xcos3x(3x)′

=－2e-2

xsin3x+3e-2

xcos3x=e-2

x(3cos3x－2sin3x)

例5求y=

x

ex

3sin

2

的导数

分析：先用商的求导法则

2

)(

v

vuvu

v

u











，再用复合函数求导法则求导

解：y′=(

x

ex

3sin

2

)′=

2

22

)3(sin

)3(sin3sin)(

x

xexexx





x

xxe

x

xexexxx

3sin

)3cos33sin2(

3sin

33cos3sin)2(

2

2

2

22









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例6求y=xsin

x的导数.

解：两边取对数.lny=lnxsin

x=sinx·lnx

两边对x求导

y

y



=cosx·lnx+sinx·

x

1

∴y′=(cosxlnx+

x

xsin

)y=(cosx·lnx+

x

xsin

)·xsin

x.

另解：由所给函数知x＞0

∵xxxxeexyxlnsinlnsinsin

∴y′=)ln(sin)(lnsinlnsin



xxeexxxx

)

sin

ln(cos)

sin

ln(cossinlnsin

x

x

xxx

x

x

xxexxx

幂指函数，可以用两种方法求导，其一，是两边取对数后再对x求导；其

二，是把它化成指数函数与其他函数复合.

例7求y=32

xlg(1－cos2x)的导数.

解：y=32

xlg(1－cos2x)=9xlg(1－cos2x)

y′=9xln9·lg(1－cos2x)+9xx

e

2cos1

lg



·(1－cos2x)′

=9xln9·lg(1－cos2x)+9xx

e

2cos1

lg



sin2x·2.

=9x·ln9·lg(1－cos2x)+29x·lge·

x

xx

2sin2

cossin2

=9x·2ln3·lg(1－cos2x)+29x·lge·cotx=2·9x［ln3·lg(1－cos2x)+lge·cotx］

例8求y=2xx的导数.

解法一：两边取对数，得lny=ln2+xlnx.

两边对x求导

y

1

y′=(x)′lnx+x(lnx)′=

2

1

x2

1



lnx+x·

x

1

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)2(ln

2

1

ln

2

1

2

1

2

1

2

1

xxxxx

∴y′=)2(ln2)2(ln

2

1

2

1

2

1

xxxxxx

x

解法二：xxxxeexyxln2ln2ln2.

y′=)

1

ln

2

1

()ln(2

1

ln2lnln2ln

x

xxxexxexxxx







)2(ln)2(ln

2

1

22

1

2

1

xxxxxx

x

点评：比较这两种方法，是不是难易程度差不多，都只要对xlnx求导就

可以了.所以碰到这类题目，两种方法可以任选其一

四、课堂练习：

求下列函数的导数.

1.y=x2ex解：y′=(x2ex)′=2xex+x2ex=(2+x)xex

2.y=e3

x解：y′=(e3

x)′=e3

x·3=3e3

x

3.y=x3+3x解：y′=3x2+3x·ln3.

4.y=xne－x解：y′=nxn－1e－x+xne－x·(－1)=(n－x)xn－1e－x.

5.y=exsinx解：y′=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)

6.y=exlnx解：y′=exlnx+ex·

x

1

=ex(lnx+

x

1

)

7.y=a2

x

+1解：y′=a2

x

+1lna·2=2a2

x

+1·lna

8.y=2（22

xx

ee）解：y′=22222)

2

1

2

1

(

xxxx

eeee

五、小结：这节课主要学习了指数函数的两个求导公式.(ex)′=ex，(ax)′=axlna，

以及它们的应用.还有幂指函数的求导有两种方法：其一，两边取对数，再两边

对x求导，其二是把它化成指数函数与其他函数复合，再进行求导