质心怎么求

物体质心的理论求法及其意义

作者：徐谭妥

来源：《科协论坛·下半月》2010年第02期

摘要:利用平行四边形定则和极限的思想求出了不共点平行力合成的法则,并由该法则推导

出一般物体质心的求法,证明了质心的存在,分析了质心求解法则的微观意义,并进一步用该法则

推导出两质点重心求导公式,三角形重心求导公式及杠杆平衡条件。

关键词:物体质心平行四边形定则理论求法意义应用

中图分类号:O4文献标识码:A文章编号:1007-3973(2010)02-090-03

1问题的提出

物理学经常把一些复杂的事物抽象化、简单化,这样有助于对物体进行分析和研究。在对

物体受力情况进行研究的时候,我们常常会把物体的质量集中在一个假想点上,从而忽略物体复

杂的形状给研究带来的不便。这个假想的物体质量集中点就是物体的质心。质心的引入之所以

会给研究带来便利,是因为在物体运动时物体上各点都受到力的作用,我们不可能因此分析物体

所有点的受力情况,于是我们就引入物体的质心并用物体质心的受力来代替物体所有点的受力,

从而简化了对物体运动的分析。但是,物体的质心为什么一定存在呢?为什么物体所有点的受力

可以等效于物体质心的受力呢?怎样求导物体的质心呢?物体的质心跟重心又有什么关系呢?本

文将对这些问题进行探究。

2质心的理论求法

2.1非平行力的合力求法——平行四边形定则

质心的引入是为了等效物体各点的受力,也就是说,在物体加速平动的过程中,物体仅仅质心

处受力跟物体各部分都受力是等效的。要想研究质心,就必须研究物体加速平动时每个点受力

的情况。因为分子是组成物质的最小微粒,所以,我们可以把物体分割成一个个分子,也就是等质

量的点,并把每个分子当做一个最小的受力(在此我们研究物体密度均匀,且为纯净物的理想情

况)。只要我们能找出这些分子受力和的等效方法,就可以求出质心的位置。由于物体在加速平

动,物体上所有分子所受的力应该是相等的(下文中将把分子当做点对待)。为了分析这些点所受

力的合成方法,我们先从更加基本的问题的着手分析。

对于一个点来说,如果它受到多个力,这些力的等效作用力就是这些力的矢量和,即该点所受

的合力。如图1所示,合力的求解需满足平行四边形定则。

图1图2图3

对于一个物体来说,假设它受到两个不共点且不平行的力,如图2所示。由于力的作用点在

力的方向上变动不影响力的作用效果,如果我们想求导出这个物体所受到的合力,就可以找到这

两个分力延长线的交点,并以此点作为两个力的公共作用点,如图3所示。这样的话,根据对第一

种情况的分析用平行四边形定则就可以求出这个物体所受的合力了。这个合力的作用点可以是

物体上合力所在直线上的任意一点。

2.2平行力合成法则——质心的理论求法

上面第二种情况给我们提供了一种求物体合力的方法,即找到力的公共作用点,把力进行合

成,从而找到两个力作用效果的等效力。但第二种情况的前提是物体所受的两个力不平行。而

我们要研究的是物体平动时各部分力的合成方法,这种情况下物体上各点所受的力是平行的,各

力所在的直线在欧式几何内不相交,没有公共作用点。为了研究这种情况,我们仍需要从两个平

行力的合成说起。当一个物体受到两个平行力时,我们可以用极限的思想假想这两个力相交于

无限远处。具体的做法是,将这两个平行力都各自偏向对方一个非常小的角度,使误差小到几乎

为零,不影响我们对合力的求解。这样以来两个力所在直线就会有一个交点,我们也就可以用两

个具有共同作用点的力的合力等效两个平行力的合力,从而用第二种情况的合力求法等效出两

个平行力的合力。如果知道该对平衡力的大小、方向及两点间的距离,我们甚至可以求出他们

合力的大小、方向及作用点。让我们从最一般的情况着手分析。如图4所示,A、B是物体上任

意两点,F1、F2分别是作用在A、B上的一对方向相同,大小任意的力。为了求解这种最基本情

况下两个平行力的合力,首先,我们可以把这对力分解成沿线段AB方向的力跟垂直于AB方向

的力。由于沿AB方向上物体受的力在同一直线上,如果F1,F2与AB所夹锐角的大小是,那么

物体在AB方向上受到的力的大小就是cos(F1+F2)。接下来我们研究垂直于AB方向上物体的

受力情况。如图5所示,我们按上文所述的方法尝试合成这对方向相同的力。先使两个力各自

偏离对方一个很小的角度,然后反向延长这对力使它们交于点Q,并以Q为它们的公共作用点,

根据平行四边形定则合成这两个力,即图中力QM。如果将图中力QE,QG正交分解并求和,可得

出力QM的大小为,当角趋近于零度,即图中力QE,QG趋近平行时,QM的大小为,等于sin

(F1+F2)。知道了该力的大小,我们再求导它的作用点及方向。此处分段?设该合力的作用点是点

O,由于合力F合作用点的集合(一条线段)与AB定有交点,为了便于计算,我们可以将O置于线

段AB上。在图5中M点是偏转近似合力QF的顶点。过M点做AB的平行线分别交QB,QA

于点C,D。由于△QCD与△QBA相似,所以CM:MD=BO:OA。由于△GCM与△EMD相似,所

以CM:MD=GC:EM。又因为△GCM是等腰三角形,所以GM=GC,所以CM:MD=GM:EM

=QE:QG.。由此,我们可以得到M点距C,D点的距离之比与A,B点处受到AB垂直方向上力的

比值相等。从上述结论中我们可以注意到一旦A,B两点受平行力大小确定,M点在线段CD上

的比例位置就不会发生变化,但图中∠QMN却会随着角的大小变化而变化。当两平行力偏折角

度变化时,QN,NM的长度也会发生变化。它们之间满足关系式QN:NM=tan。由于,所以,换言之,

当角为0€笆保珹B垂直方向原F1,F2分力的合力也与AB方向垂直。又由于M点在线段CD

上比例位置不变,结合上文中对几何关系的描述可得知该合力的作用点的位置满足

CM:MD=OB:OA=sinF2:sinF1=F2:F1。由此我们便知道了AB垂直方向上力的大小、方向及

理想作用点。再把这个合力与沿AB方向上F1,F2分力的合力进行简单合成,如图5所示,就可以

得出F1,F2合力的性质了。根据矢量合成法则,F1,F2的合力大小为F1,F2之和,方向与F1,F2方

向相同,作用点O的位置满足OA:OB=F2:F1。由于F1,F2的大小与方向都是任意选取的,我们就

由此得到了两点受到的同向力合成的法则,即该合力满足方向与原力方向相同;大小等于原力大

小之和;作用点可以在以原力作用点为顶点的线段上,且该作用点距离两个原力作用点大小之比

的倒数等于这两个点分别受到力的大小之比。由此我们得到了合成一对同向不共点的力所需的

方法。

3质心存在的理论依据——平行力合成法则

在上述结论的基础上,让我们再次回到我们的原来的问题上。对于一个加速平动的物体来

说,我们只需要把它各点处所受的力按照第三种情况的方法以任意顺序逐一进行合成,就可以理

论上求出这些力的合力。该合力的大小与方向可以用表示,其中Fk是矢量,表示物体各点处所受

的力。由于物体上各点都受到了力,所以K等于物体所含分子的个数。由于物体的质心处受力

与物体各点处均受力的情况等效,而物体各点处的受力与该合力等效,所以物体在质心处受到的

力与该合力相等。质心一定在这个合力所在直线上。由于同一平面内两条不平行的直线可以确

定一个交点,所以理论上我们只需要在另一方向上合成物体各点所受的任意大小的力,找到该合

力与原合力所在直线的交点,就可以找到我们所要求的质心了。在生活中,当我们想要找到一个

物体的质心时,我们经常利用的悬挂法就是根据这个原理设计的。当我们悬挂一个物体时,这个

物体仅受到重力和绳子的拉力。由于物体各点受到的重力都相等,我们可以按照情况3所述方

法把物体各点所受的重力等效为物体在质心处受到的重力。由于物体所受绳子拉力与物体质心

所受的重力是平衡力,所以物体所受拉力一定与物体质心处所受的重力等值反向。所以物体的

质心一定在物体所受拉力所在的直线上,即绳子所在的直线上。这样悬挂两次的话,两次拉力所

在直线的交点就是物体的质心。这种求物体质心的方法似乎十全十美,但为什么两次物体所受

的绳子拉力一定在同一平面并相交呢?物体为什么一定会有一个像质心一样能保证在质心处受

力能够等效于物体各点在任意方向上受力的点呢?换句话说,为什么对于一个点,如果它的受力能

等效于物体各点在两个方向上的受力,该点(我们所求的质点)就一定能够等效物体各点在所有方

向上的受力呢?简言之,质心为什么一定存在呢?

对于这个问题,我们仍需要从最基本的情况谈起。当物体仅仅发生加速平动时,可以看做该

物体受到了一个合力,由于我们不清楚质心存在与否,这个合力不一定过所谓的质心。但如果我

们能证明该物体沿任意方向运动时在任意方向上的合力所在的直线都交于一点时,我们根据质

心的性质就能证明该点一定是质心。我们知道,一个物体上所有点受力的合力是由它们两两逐

一合成的结果。根据我们上文中得出的结论,物体上任意两点受到两个力合力的作用点(此处与

下文所指作用点是在受力点组成线段上的点)只跟两点所受力大小的比值有关,与物体的加速度

方向,即两点所受力的方向无关。对于两点,只要它们所受的力大小确定,它们所受力合力的作用

点位置也就确定了。由于合力与原平行力的方向相同,如果我们把这两点所受平行力的合力与

另外一对力的合力进行合成时,新合力的作用点也只和各点处受力大小的比值有关。类似,新合

力的合力作用点也不会因原力受力方向的改变而改变。如此一来,当物体加速平动时,由于物体

各点处分子所受力相同,比值也相同,无论我们研究的物体朝任何方向运动,只要我们把该物体上

各点受到的同向力按照相同的顺序逐一进行合成,在不同方向上加速平动时物体各点受力合力

的作用点也一定相同。该合力的共同作用点就是我们需要求的质心。之所以物体各点处所有力

的合力具有相同的作用点,是因为物体各点受力的合成遵守相同的合成定律,且该定律指出不共

点平行力合力的作用点与原平行力方向无关。由于物体正是由许多点组成的,物体受力平动就

相当于物体上各点受力平动,物体平动时其各点处受力合力的作用点也就相同了。总之,物体的

质心不仅一定存在,还可以用悬挂法及理论方法准确求得。

4质心理论求法的微观意义

以上我们用力的合成的思路证明了质心的存在并找到了质心的求导方法。由于力的合成与

分解是一对互逆的过程,在用上述方法求导出的质心处受到力的作用时,该力一定能够均匀地被

分解到物体的每一个点上,使它们具有相同的加速度,以使物体保持无转动的状态。而质心处受

到的力之所以能够被分解到物体各个点上,是因为分子之间有内力。当我们从理论上分析物体

的质心处受到力的时候,微观上,往往物体的真正受力点在物体的边缘。如悬挂物体时,绳子只对

物体边缘上的分子产生了拉力,该点与其周围的分子产生挤压,并通过分子间的斥力及引力带动

周围分子一起运动。我们能够用绳子提起一块砖却不能用绳子提起松软的泥巴就是因为泥巴是

混合物,内部有空隙,分子间作用力在空隙处较小。用绳子提泥巴时,泥巴边缘分子处受的力不足

以通过分子的内力分解到各个泥巴分子上。所以泥巴各部分会产生不同加速度,也就无法被提

起了。分子之间的连带效应?促使整个物体能够以整体运动,从而造就了物体整体的概念,以及物

体的质心。而质心不一定是实际受力点(物体实际受力点往往在物体的边缘处),它只是一个假想

受力点,质心的引入是为了帮助我们把复杂的物体运动进行简化分析,而这种简化是在符合物理

定律的基础上的,即符合力的合成与分解。既然只是一个假想点,一个物体的质心就不必处在物

体之中,如一个密度分布均匀的空心球的质心处在该球的球心,而其质心周围没有能引发分子连

带效应的物质。之所以这种情况下质心处受力仍能引发分子连带效应,是因为该物体质心处在

任何方向上的受力都能找到一个所在直线过质心的等效力?。如图7所示,当一个同心圆的质心

处受到力的时候,无论这个力指向任何方向,我们总能够通过将这个力沿其所在直线进行平移,并

最终在该物体上找到一个质心的等效代替点从而借助该点引发物体上分子的连带效应。由此我

们可以得知质心只是一个假想点。对质心处受力的引入只是为了方便我们对物体运动做理论研

究。微观上讲,质心处受到的力大多是由物体边缘处受力平移而得的。物体边缘处受到的力是

实际的受力,而质心处受到的力是理论研究所简化的力。由于物体实际受力与假想受力大小方

向都相同,作用点也都在力的方向上,所以物体假想的受力模型与实际的受力模型效果吻合。质

心处受力之所以可以等效物体各点处受力是因为物体质心处受力可以通过分子间的内力均匀分

解到物体的每个分子上。总之,物体质心受力是理论分析时对物体受力的一种简化,而这种简化

建立在基本物理定律的基础上,所以质心在我们研究物体受力时被广泛应用。

图7图8

5质心求法的应用

5.1推导重心求导公式

质心处受力在某些情况下是通过物体边缘处受力转化而得的,如我们用绳子拉一个物体运

动,物体只在绳子与物体交接处受到了绳子的拉力,但由于分子间的相互作用力,整个物体都会相

对运动。然而在另外一种情况下,物体的各个部分可以直接受到力的作用,如重力,由此不需要分

子间的相互作用亦可达到加速平动的效果。根据牛顿第二定律,物体上任意部分所受到的重力

都与其质量?成正比,而物体任意部分的重力加速度都是相等的,均为g。当物体只受到重力作用

时,物体一定会作没有转动的加速运动,而这种运动状态跟物体在其质心处受到Mg的作用效果

是一样的。我们常常把一个物体各部分受到的重力等效为物体的重心处受到重力。其实质心与

重心是同一个点,只不过重心是物体各部分受到重力的等效替代点,而质心是能满足自身处?受力

时物体各部分都具有相同加速度的理想受力点。这两种情况的不同之处在于物体在重心处受重

力时各点的加速度不是由分子间的相互作用力引起的,而物体在质心处受力只有通过物体分子

间相互作用才能分解到物体每个部分。由于两种情况的作用效果相同,无论是物体质心处受力

的分解还是物体各部分受到重力的合成都遵守我们在上文得到的质心求解方法。这样的话,我

们就可以通过有关重心的求法验证并诠释我们对质心的求解方法。

如两个质量为m1、m2的重物被一个长为L的较长轻杆连接,设物体重心距离m1、m2分

别为L1、L2,如果两个重物的体积可以忽略不计,那么L1,L2,m1,m2满足L1m1=L2m2。这个物

体重心的求导公式与我们上文提到的合成两个不共点同向力时其合力作用点的求导公式惊人地

相似。其原因在于重力只不过是一种特殊的力,重力的合成也需要遵守我们得出的结论,而两点

处受重力合力的作用点就是重心。所以,可以说重心求导公式是由质心求导的方法推导的。

5.2证明三角形的重心是其三条中线的交点

11段再如,密度均匀分布的三角形的重心在其三条中线的交点,我们也可以用上述结论推导

出来。为了表述方便,我们不必考虑三角形受到重力的情况,而可以直接用上文中我们得出的重

心求导式进行证明。首先我们可以沿三角形任意一边的方向对三角形进行切割,如图8,把它分

成无限条线段。由于三角形的密度均匀,根据公式L1m1=L2m2,每条切割而得的线段的重心都在

线段的中点上。所有这些线段重心的集合就是三角形的一条中线。这些重心的重心就是三角形

的重心。由于沿三角形任意一边的方向分割三角形其重心都要满足上述结论,所以三角形的重

心必然在其三条中线的交点上。由此一来我们便证明了三角形的重心为其三条中线的交点。

5.3证明杠杆平衡的条件

我们所熟知的杠杆平衡条件也可以用上述方法证明。如果我们将一个平衡杠杆上所有点处

所受的力(包括杠杆在支点处受到的力)按照上述方法进行合成,其合力一定为零。著名的杠杆平

衡公式L1F1=L2F2与重心公式及我们得出的同向力合力作用点求导公式之所以如此相似,是因

为它们的本质都在于同向力的合成。

参考文献:

[1]人民教育出版社物理室.物理[M].北京:人民教育出版社.2007.

[2]彭前程,杜敏等.物理[M].北京:人民教育出版社.2007.